湖南省衡阳市蒸湘区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份湖南省衡阳市蒸湘区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共19页。试卷主要包含了 下列分式是最简分式的是， 分式可化简为， 下列运算正确的是， 将中的都扩大倍，则分式的值等内容，欢迎下载使用。
提示：
1.本学科试题共三道大题，满分120分，时量120分钟．
2.本学科试题的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框．直接在问卷上作答无效．
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每小题只有一个正确答案）
1. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
∴．
故选C．
2. 将直线平移，向上平移2个单位长度，则平移后的直线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将直线平移，向上平移2个单位长度后的直线解析式为，
故选：B．
3. 下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D. 该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，最简分式，故本选项符合题意；
C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 分式可化简为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式的化简，根据分式性质变形，加减即可得到答案；
【详解】解：原式，
故选：B．
5. 已知，，那么a，b，c之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查乘方，零指数幂和负整指数幂的运算，掌握相关运算法则是解题关键．
根据幂的运算法则计算出a，b，c的值即可求解．
【详解】，，
，
故选：B．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据异分母分式加法和同分母分式加减法等计算法则求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了异分母分式加法和同分母分式加减法，正确计算是解题的关键．
7. 将中的都扩大倍，则分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大倍C. 扩大倍D. 扩大倍
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目的要求将中的都扩大倍，将新得的分式进行化简后与原分式比较即可得解．
【详解】解：∵将中的 、都扩大倍
∴
∴将中的 、都扩大倍，分式的值扩大倍．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能够按照要求正确得到新的分式是解题的关键．
8. 已知一次函数y=﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是（ ）
A. 0B. 3C. ﹣3D. ﹣7
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】由于一次函数y=-2x+3中k=-2＜0由此可以确定y随x的变化而变化的情况，即确定函数的增减性，然后利用解析式即可求出自变量在0≤x≤5范围内函数值的最大值．
【详解】∵一次函数y=﹣2x+3中k=﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴在0≤x≤5范围内，
x=0时，函数值最大﹣2×0+3=3，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b的图象的性质：①k＞0，y随x的增大而增大；②k＜0，y随x的增大而减小．
9. 一次函数与反比例函数）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键．分别根据和讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得．
【详解】解：当时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故A符合题意；
当时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，没有符合题意的．
故选：A．
10. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．
【详解】解：由关于的分式方程可得：，且，
∵方程的解为非负数，
∴，且，
解得：且，
故选B．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11. 点在第_______象限．
【答案】二
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系内点的坐标特点即可得到答案．
【详解】解：点在第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特点，属于基础题．
12. 人体红细胞的直径约为，用科学记数法表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，据此进行表示即可．
【详解】；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键．
13. 若关于x的分式方程有增根，则k的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，化成整式方程，再根据增根为使得分母为0的值，将其代入变形后的整式方程即可解出k．
【详解】解：在方程两边同时乘以得，
∵方程有增根，即 满足方程，
将代入得，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，正确理解增根的含义是解题的关键．
14. 在反比例函数的图像上有三点，，，若，则、、由小到大排列为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先判断反比例函数的比例系数为负数，可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点（x1，y1）和（x2，y2）的纵坐标的大小即可．
【详解】∵反比例函数的比例系数为-1＜0，
∴图象的两个分支在第二、四象限；
∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点（x1，y1）、（x2，y2）在第四象限，点（x3，y3）在第二象限，
∴y3最大，
∵x1＞x2，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2，
∴y3＞y1＞y2．
故答案为：．
【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于0，图象的2个分支在第二、四象限；第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标；在同一象限内，y随x的增大而增大．
15. 已知，则的算术平方根是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减以及算术平方根，解题的关键是根据掌握异分母分式是运算法则．计算，然后根据，列出方程求出的值，并进一步求的算术平方根即可．
【详解】解：，
，
即，
，
，
解得，
，
的算术平方根为4．
故答案为： 4．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线上有一动点，当时，点的坐标是______．

【答案】
【解析】
【分析】由题意可得点P的横坐标为1，代入解析式可求点P的坐标．
【详解】∵点A（0，4），B（2，4），
∴AB∥x轴，
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为1，
∵点P在直线上，
∴，
∴点P的坐标为，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练利用线段的垂直平分线的性质是解决问题的关键．
17. 如图，图中的折线反映了圆圆从家到学校所走的路程与时间的函数关系，其中，所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，则_______．
【答案】50
【解析】
【分析】本题了求一次函数解析式．先利用待定系数法求得、的值，再求值即可．
【详解】解：把代入得：；
把，代入得：
，
解得，
∴．
故答案为：50．
18. 如图，是面积为4的等腰三角形，底边在轴上，若反比例函数图象过点，则该反比例函数的表达式为_____________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
作轴，根据条件可得，所以，依据图象在第四象限即可得到反比例函数解析式．
【详解】解：作轴，垂直为点，

是等腰三角形，底边在轴上，，
，
，
反比例函数图象在第四象限，
，
故反比例函数解析式为：，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算括号内的减法，再给各项能因式分解的因式分解，然后将除法化为乘法，最后约分即可解答．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】先给方程两边乘以（x+1）(x－1)，将分式方程化为整式方程，然后解方程即可解答．
【详解】解：给方程两边乘以（x+1）(x－1)，
得：，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．
21. 已知一次函数．
（1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？
（2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查正比例函数的定义，一次函数的性质，能熟练地根据一次函数的性质是解此题的关键．
（1）根据正比例函数的性质得出且，求出方程的解即可；
（2）根据一次函数的性质得出不等式求解．
【小问1详解】
∵函数为正比例函数，
∴且，
解得：，
答：当时，这个函数为正比例函数；
【小问2详解】
∵函数y的值随着x值的增大而减小，
∴，
答：当时，函数y的值随着x值的增大而减小．
22. 某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．
今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：
（1）求今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？
【答案】（1）型车每辆售价为1000元；（2）型车30辆、型车20辆，获利最多．
【解析】
【分析】（1）设今年型车每辆售价为元，则去年型车每辆售价为元，根据数量总价单价结合今年6月份与去年同期相比销售数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进型车辆，则购进型车辆，根据总价单价数量结合总费用不超过4.3万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再根据销售利润单辆利润购进数量即可得出销售利润关于的函数关系式，利用一次函数的性质解决最值问题即可．
【详解】解：（1）设今年型车每辆售价为元，则去年型车每辆售价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程解．
答：今年型车每辆售价为1000元．
（2）设购进型车辆，则购进型车辆，
根据题意得：，
解得：．
销售利润为，
，
当时，销售利润最多．
答：当购进型车30辆、购进型车20辆时，才能使这批车售完后获利最多．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的最值以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，找出销售利润关于的函数关系式．
23. 泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
(1)分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
(2)从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【答案】(1)y＝100(8＜x≤9)；y＝(9＜x≤45)；(2)等待2分钟．
【解析】
【分析】（1）将D点的坐标代入反比例函数的一般形式，利用待定系数法确定反比例函数的解析式；再求得点C和点B的坐标，继而用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）将y＝90代入反比例函数的解析式，从而求得答案．
【详解】(1)停止加热时，设，
由题意得：50＝ ，
解得：k＝900，
∴y＝，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为(9，100)，
∴B点坐标为(8，100)，
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)；
当停止加热，得y与x的函数关系式 为y＝100(8＜x≤9)；y＝(9＜x≤45)；
(2)把y＝90代入y＝，得x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，解题时注意根据图象确定对应函数的取值范围．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题
（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形面积的和差，可得答案；
（3）根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得或（舍去），
∴点，
∵点，在一次函数图象上，
∴，
解得，
∴一次函数表达式为；
【小问2详解】
解：点为直线与轴的交点，
．
．
【小问3详解】
解：∵
∴
由图象得：或．
25. 如图，直线的图象与y轴交于点A，直线的图象与y轴交于点B，两者相交于点C．

（1）方程组的解是 ；
（2）当与同时成立时，x的取值范围为 ；
（3）在直线的图象上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据两直线交点C的坐标即可得到答案；
（2）根据函数图象进行求解即可；
（3）先求出A、B的坐标，进而得到的长，求出的面积，进而得到的面积，由此求解即可．
【小问1详解】
解：∵直线的图象与直线的图象交于
∴方程组的解为：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：由函数图象可知，当与同时成立时，x取何值范围是：；
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵令，则，，
∴，．
∴．
∴；
令，
∵与的面积相等，
∴，

∴．
∵点P异于点C，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与二元一次方程组的关系，图象法求不等式的解集等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
26. 请用学过的方法研究一类新函数（k为常数，）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象；
（2）对于函数，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
（3）在坐标系中画出函数的图象，并结合图象，求当时，x的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）①时，当，y随x增大而增大，时，y随x增大而减小．②时，当，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大；（3）图象见解析，或
【解析】
【分析】（1）利用描点法可以画出图象．
（2）分和两种情形讨论增减性即可；
（3）画出函数图象，根据图象即可求得．
【详解】（1）函数的图象，如图所示，
（2）①时，当，y随x增大而增大，时，y随x增大而减小．
②时，当，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大；
（3）由图象可知，当时，x的取值范围是或．
【点评】本题考查反比例函数图象、正比例函数的图象，反比例函数的性质，解题的关键是掌握描点法画函数图象，学会利用函数图象说明函数增减性．A型车
B型车
进价（元/辆）
800
950
售价（元/辆）
今年售价
1200