湖南省怀化市溆浦县第一中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份湖南省怀化市溆浦县第一中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分）
1. 已知二元一次方程，则用含的代数式表示，应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、多项式除单项式法则、积的乘方、完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：与不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项符合题意；
，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项法则、多项式除单项式法则、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则该试卷源自 每日更新，享更低价下载。是解题的关键．
3. 已知与是同类项，则和的值分别为（ ）
A. 5和1B. 1和5C. 和5D. 和1
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得，解方程组即可得到答案．
【详解】解；∵与是同类项，
∴，
解得，
故选：B．
4. 如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（ ）

A. 102°B. 112°C. 120°D. 128°
【答案】A
【解析】
【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=26°，根据平角定义，则∠EFC=154°（图a），进一步求得∠BFC=154°-26°=128°（图b），进而求得∠CFE=128°-26°=102°（图c）．
【详解】解：∵AD∥BC，∠DEF=26°，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠EFC=154°（图a），
∴∠BFC=154°-26°=128°（图b），
∴∠CFE=128°-26°=102°（图c）．
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键．
5. 已知关于x、y的二元一次方程组的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想．首先利用整体代值的数学思想可以得到与的值，然后解关于m、n的方程组即可求解．
【详解】解：∵二元一次方程组的解为，
∴关于m、n的二元一次方程组中，
解得：，
故选D．
6. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示下列六个字：中、爱、我、苗、游、美；现将因式分解，结果呈现的密码可能是（ ）
A. 我爱美B. 苗中游C. 美我苗中D. 爱我苗中
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解．将所给整式利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，再与所给的整式与对应的汉字比较，即可得解．
【详解】解：
，
∴结果呈现的密码信息可能是：爱我苗中，
故选：D．
7. 以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）同位角相等；（3）对顶角相等；（4）相等的两个角是对顶角；（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（6）过直线m外一点P作直线m的垂线，垂足为O，则线段叫做点P到直线m的距离．其中正确的有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了余角的性质，平行线的性质，对顶角的性质，垂线的性质，点到这条直线的距离．根据余角的性质，平行线的性质，对顶角的性质，垂线的性质，点到这条直线的距离判断即可．
【详解】解：（1）同角或等角的余角相等；正确；
（2）两直线平行，同位角相等；错误；
（3）对顶角相等；正确；
（4）相等的两个角不一定是对顶角；错误；
（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；正确；
（6）过直线m外一点P作直线m的垂线，垂足为O，则线段的长度叫做点P到直线m的距离．错误；
故选：C．
8. 如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为 的正方形场地．场地甲中间有一个边长为 的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为 、宽为 的长方形花卉区，下方为草坪．那么甲、乙两块场地中草坪面积的比是 （ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，根据图形分别用含a、b的式子表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案．
【详解】解：甲中草坪面积，乙中草坪面积为，
∴甲、乙两块场地中草坪面积的比是，
故选：C．
9. 《九章算术》有题如下：“仅有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”意思是：今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重、燕轻，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相同．5只雀、6只燕重量为1斤．问燕雀每只各重多少？（注：古代1斤16两）若设每只雀、燕分别重两、两，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系是解题关键．根据有5只雀、6只燕分别聚集，将1只雀、1只燕交换位置而放重量相同；再根据 5只雀、6只燕重量为16两，两个等量关系建立方程组即可解题．
详解】解：由题意得，
，
故选：A．
10. 18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如记，；已知，则的值是（ ）
A. B. 20C. D. 44
【答案】C
【解析】
【分析】利用题中的新定义将已知等式左边化简，再利用等式左右两边相等即可求得，的值．
【详解】解：利用题中的新定义计算可知：
，
∵，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查整式的加减，根据多项式乘多项式将等式左边展开，求出，的值是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11. 若关于的方程组的解满足，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．两方程相加求得，结合已知得出关于a的式子，进而可求出a的值．
【详解】解：，
得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 将一副直角三角板作如图所示摆放，，，，则______°．
【答案】75
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，延长交于点H，根据平行线的性质求出，然后根据平角，求出结果即可．
【详解】解：延长交于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：75．
13. 分解因式＝________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式．先将原式变形为，再提取公因式即可求解．
【详解】解：
．
14. 若是完全平方公式的展开式，则k的值为______．
【答案】或18
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵是完全平方公式的展开式，
∴，
∴由解得；由解得：；
故答案为或18．
15. 要使中不含有的四次项，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式的混合运算．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有的四次项，可得，即可求解．
【详解】解：
，
∵中不含有的四次项，
∴，
∴．
故答案为：2
16. 如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了幂的混合运算，以及规律型：数字的变化类，由前面两个等式发现规律是解题的关键．
根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．依此即可求解．
【详解】解：根据前面两个等式，
王⊕=，
浩⊕，
得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．
∴阳⊕．
故答案为：．
17. 请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
（1） （2）
根据前面各式的规律，则（a+b）6=_______________________．
【答案】a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
【解析】
【分析】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
【详解】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1，
所以（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
18. 如图，已知直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，……以此类推，若，则n的值是____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的应用，探索图形规律、角平分线的定义等知识点．作则，根据平行线的性质得出，同理，，可归纳规律，依此建立方程，再求解即可解答．
【详解】解：如图：作，
∵，
∴，
∴， ，
∴，
∵与的平分线相交于点，
∴，
∴，
同理：作可证明：
作可证明：，，
…
归纳可得：
由题意得：，解得．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 计算：
（1）化简：
（2）分解因式
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式混合运算，分解因式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据乘方运算法则，单项式乘单项式运算法则进行计算即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
20. 对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，．
（1）求a，b的值；
（2）如果，求y的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解列、解二元一次方程组，弄清题中的新定义运算规则列出方程组是解本题的关键，
（1）根据题意得出关于a、b的方程组，求出的值即可；
（2）根据得出关于y的方程，求出y的值即可．
【小问1详解】
解：由题意得，
解得；
【小问2详解】
由（1）知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
21. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值，整式的混合运算，由得出，再利用完全平方公式和平方差公式、单项式乘以多项式将题目中的式子展开，合并同类项即可化简，最后将整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
．
22. 古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．伴着三月的春风，哼着欢快的曲调，七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话：
王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．”
小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．”
小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”．
根据以上对话，解答下列问题：
（1）参加此次活动的七年级师生共有 人；
（2）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（3）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有哪几种租车方案？
【答案】（1）420 （2）客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元；
（3）共有3种租车方案，方案1：租用60座客车7辆；方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆；方案3：租用60座客车1辆，45座客车8辆．
【解析】
【分析】本题主要考查列方程或方程组解决实际问题，以及最优方案的问题，解题的关键是列方程需要找到等量关系式．
（1）根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入中，即可求出结论；
（2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
解得：，
，
参加此次活动的七年级师生共有420人．
故答案为：420；
【小问2详解】
解：设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元；
【小问3详解】
解：设租用60座客车m辆，45座客车n辆，
根据题意得：，
．
又m，n均为自然数，
或或，
共有3种租车方案，方案1：租用60座客车7辆；方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆；方案3：租用60座客车1辆，45座客车8辆．
23. 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2请你写出之间的等量关系是___________；
（2）根据（1）中等量关系解决下面的问题；
①若，则_________；
②若，求的值．
（3）拓展应用：若，求的值．
【答案】（1）
（2）①；②
（3）
【解析】
【分析】本题考查利用完全平方公式的变形求解代数式的值，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键．
（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示，即可得出答案；
（2）①，将整体代入，即可得出答案；②由可得，，结合，从而可得答案；
（3）由设，，可得，，结合，即可求解．
【小问1详解】
解：由图2可知，大正方形的边长为a＋b，内部小正方形的边长为b−a，小长方形的长为b，宽为a，
∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为，
由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，
即．
【小问2详解】
①∵，
∴，
②∵，
∴，，
∴，
∴
；
【小问3详解】
设，，
∴，
∵，
∴，
∴
．
24. 阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如：
．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式（利用公式法）：；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的意义，完全平方公式和平方差公式：
（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案；
（3）先因式分解已知等式，再根据平方的非负性，确定，，的值即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴的周长为．
25. 规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）方程的共轭二元一次方程是__________；
（2）若关于x、y的方程组为共轭方程组，则________，________；
（3）若方程中x、y的值满足以下表格：则这个方程的共轭二元一次方程是________；
（4）拓展：求共轭方程组的解．
【答案】（1）
（2）1；1 （3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义方程及方程组：
（1）根据共轭二元一次方程的定义解答；
（2）由题意得，，解方程即可得到答案；
（3）将x与y的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程；
（4）用加减消元法解方程组得到，据此可得答案．
【小问1详解】
解：由题意得，方程的共轭二元一次方程是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵关于x、y的方程组为共轭方程组，
∴，
∴，
故答案为：1；1；
小问3详解】
解：由题意得，
∴，
∴原方程为，
∴方程的共轭二元一次方程是，
故答案为：；
【小问4详解】
解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∴共轭方程组的解是．
故答案为：．
26. 【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图1所示，已知，点E为之间一点，连接，得到，请猜想与之间的数量关系 ；
（2）如图2所示，已知，点E为之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请猜想与之间的数量关系；并说明理由 ；
【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题：
已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出之间的数量关系 ．
【答案】（1）；（2）；，理由见解析；
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
（1）过点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；
（2）如图2，作，，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
类比迁移：如图3，过作，过作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
变式挑战：延长，，交于点，根据角平分线的定义和四边形的内角和定理，平角的定义即可得到结论．
【详解】（1），
证明：过点作，
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）如图2，作，，
，
，
，，，，
，
，
和的角平分线相交于，
，
；
类比迁移：
；
理由：如图3，过作，过作，
，
，
，，
由（1）知，
平分与的平分线相交于点，
，，
，，
，
即；
变式挑战：
，理由如下：
如图4，延长，，交于点，
同时平分和，
，，
，
，，
，
四边形中，
，
即．
故答案为：．x
0
y
0
2