江西省上饶市鄱阳县第二中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份江西省上饶市鄱阳县第二中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用最简二次根式的定义判断即可．
【详解】A选项：，故不是最简二次根式；
B选项：是最简二次根式；
C选项：，故不是最简二次根式；
D选项：，故不是最简二次根式．
故选：B
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的定义（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数，大于等于0，进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，且，
解得且．
故选：D．
【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开方数，大于等于0，该试卷源自 每日更新，享更低价下载。是解题的关键．
3. 若直角三角形的三边长分别为、、，其中，，则的值为（ ）
A. 15B. 225C. 63D. 225或63
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查勾股定理，关键是分12是直角边和斜边两种利用勾股定理解答．分12是直角边和斜边两种利用勾股定理解答即可．
【详解】解：当是直角边时，的值，
当是斜边时，的值，
故选：D．
4. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，得出是解题关键．由平行四边形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：如图，
∵平行四边形中，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
5. 如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在内部．若，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，，根据折叠的性质列式，解之可得答案．
本题考查了长方形，折叠．解决问题的关键是熟练掌握长方形的性质，折叠的性质，设未知数数构建方程．
【详解】设，则,
由折叠知，，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：B．
6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）

A. 当时，它是菱形B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形D. 当时，它是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形、菱形及正方形的判定可进行求解．
【详解】解：A、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是菱形，故不符合题意；
B、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是菱形，故不符合题意；
C、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是矩形，故不符合题意；
D、由四边形是平行四边形，，可知该四边形是矩形，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查矩形、菱形及正方形的判定，熟练掌握它们的判定定理是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如图，在的正方形网格中标出了和，则_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题．
【详解】解：如图所示，作，连接，

则，
设每个小正方形的边长为，
则，，，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
8. 直角三角形斜边长是6，则此直角三角形的斜边的中位线长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：直角三角形斜边长是6，则此直角三角形斜边的中位线长为．
故答案为：3．
9. 如图所示，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，图中有_______个平行四边形．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平行四边形的概念：两对对边分别平行的四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】依据已知条件，A′B′∥AB，B′C′∥BC，C′A′∥CA，
能够判断四边形ABCB′，C′BCA，ABA′C都是平行四边形．
所以有3个平行四边形．
故答案：3．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
10. 如图，在中，点D为的中点，以，为边作平行四边形，连接．若，，，垂足为A，则的值为_________．

【答案】5
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接，证明四边形为矩形，根据矩形的对角线相等，结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接，设交于点，

∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴；
故答案为：5．
11. 如图，以正方形的边为腰在右侧作等腰三角形，其中，连接，若，则的度数为______．

【答案】##45度
【解析】
【分析】过作交于，可证，可求，从而可求，，即可求解．
【详解】解：过作交于，

，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握相关的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形中，，，D为的中点，P为边上一点，若是以为腰的等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为______________.
【答案】或或
【解析】
【分析】是以为腰的等腰三角形，分两种情况：或，分别画图用勾股定理求解即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
是以为腰的等腰三角形，分两种情况：
①当时，如图所示：
在中，，
此时，点的坐标为；
②当时，如图所示：
设点，则，
解得：，
此时，点的坐标为和，
综上分析可得，点的坐标为或或，
故答案为：或或.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确分类并画出图形是解题的关键.
三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可得到答案；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，再计算二次根式加减法即可得到答案．
【小问1详解】
原式
．
【小问2详解】
原式
．
14. 已知．求代数式的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、求代数式的值、平方根的定义，先由二次根式有意义的条件得出，，计算出，再由平方根的定义计算即可．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
，
，
的平方根为．
15. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…，翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
【答案】14.5尺
【解析】
【分析】设尺，，表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握“勾股定理，用含有一个未知数的代数式表示直角三角形的边”是解本题的关键．
【详解】解：设尺，
∵尺，尺，
∴（尺），尺，
中尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
整理得：即，
解得：．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
16. 如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为．
（1）求，间的距离；
（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）没有超速，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理代入数据即可求得答案．
（2）先根据，间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速比较大小即可．
【小问1详解】
解：在中，由，，且为斜边，
根据勾股定理可得．
答：，间的距离为．
【小问2详解】
解：这辆小汽车没有超速，理由如下：
，
而，
，
所以这辆小汽车没有超速．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17. 如图，等边三角形沿翻折到，E为的中点，请你仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）

（1）请你在图①中画出一个等边三角形；
（2）请你在图②中画出一个菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接交于O，连接，即为所求；
（2）如图所示，延长交于F，连接交于G，连接并延长交于H，四边形即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
等边三角形沿翻折到，
，，
四边形是菱形，
点O为的中点，
E为中点，
为的中位线，
，
，
是等边三角形；
【小问2详解】
解：如图所示，四边形即为所求；
如图所示，延长交于F，连接交于G，连接并延长交于H，
由（1）得，，，
四边形是平行四边形，
G是的中点，，
同理可证是等边三角形，
，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
18. 课本再现
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：
类比迁移
（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______．
（3）在中，，，，点D为的中点，则______．
【答案】（1）见详解（2）13（3）1
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，
（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论；
（2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案；
（3）先运用勾股逆定理证明是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可作答．
【详解】解：（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，
∴，
则；
（2）如图：
则空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，
∵，，
∴空白部分的面积；
故答案为：13．
（3）如图：
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∵点D为的中点，
∴，
故答案为：1．
19. 如图，在中，，点是边的中点，连接，过点作，过点作，交于点．
（1）判断四边形是什么特殊的四边形，并证明；
（2）当再满足什么条件时，四边形是正方形，为什么？
【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析
（2）当是等腰直角三角形时，四边形是正方形；理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可得证；
（2）当是等腰直角三角形时，由等腰直角三角形的性质得出，即可得出四边形是正方形．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，
证明：，
四边形是平行四边形．
，是边上的中线，
，
平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：当是等腰直角三角形时，四边形是正方形；
理由如下：
，
当是等腰直角三角形，
为的中点，
，
，
四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．
（1）如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”；
（2）在中，，，若是“美丽三角形”，求长．
【答案】（1）详见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）作的中线，根据三线合一得出，勾股定理求得，根据美丽三角形的定义即可得出结论；
（2）①作的中线，根据是“美丽三角形”,得出 ，根据勾股定理求得；②作的中线，勾股定理求得，根据美丽三角形的定义得出，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，作的中线，
，是的中线，
，，
在中，由勾股定理得，
，
是美丽三角形.
【小问2详解】
解:①如图，作的中线，是“美丽三角形”,
当时，则 ,
由勾股定理得
②如图作的中线，是“美丽三角形”,
当时则，
，
在中，由勾股定理得 ，
则，
解得，
∴
综上：或．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键．
五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）
21. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：
（1）【提出问题】已知，求的最小值
（2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】

①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________；
②在（1）的条件下，已知，求的最小值；
（3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值．
【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展]
【解析】
【分析】[解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解；
②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解；
[应用拓展] 在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，勾股定理分别求得，进而根据当、、共线时，最大，勾股定理，即可求解．
【详解】[解决问题]①解：由题意得，，
故答案为：、；
②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，

此时，最小，即和最小，
由题意得：，，
则，
即的最小值为：；
[应用拓展]
如图，在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，

则，
，
当、、共线时，最大，即最大，
且的最大值，
即最大值为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键．
22. 阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，，
当，即时，的最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
（1）当时，的最小值为______；当时，的最大值为______；
（2）当时，求的最小值；
（3）如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为1，的面积为4，求四边形面积的最小值．

【答案】（1）4；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，由，可得的最小值，当时，由，可得的最大值；
（2）由，结合（1）的结论可得答案；
（3）设的面积为，可得四边形的面积，再结合（1）的结论可得答案．
【小问1详解】
解：当时，
，
当即时，的最小值为4；
当时，，
，
，
当即时，的最大值为；
【小问2详解】
而，由（1）可知的最小值为4
的最小值是．
【小问3详解】
设的面积为，
，
即，．
四边形的面积，
由（1）可知的最小值为4
的最小值是．
四边形面积最小为9．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用是解本题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23. 【问题情境】
（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质．

如图1，菱形的边长为，，则______，______．
【操作发现】
（2）如图2，在图1的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点P（点P不与点B重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．
①求证：；
②随着点P位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）中，连接，若，求此时的长．
【答案】（1） ；（2）①见解析；②的大小不变，且；（3）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的对角线平分原则对角，计算，利用菱形的对角线互相垂直且平分，勾股定理计算即可．
（2）①根据菱形的性质，结合，，得到，继而得到，证明即可．
②根据菱形的性质，得到，根据，得到，计算得．
（3）连接，交于点O，过点P作于点H，证明四边形是矩形，运用勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）连接，与交于点G，
∵ 菱形的边长为，，， 为对角线，
∴，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
（2）①证明：∵菱形，菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．

②的大小不变，且，理由如下：
∵菱形， ,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故的大小不变，且．
（3）连接，交于点O，过点P作于点H，
∵菱形，菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形性质，平行线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30读角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．