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江西省宜春市丰城中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
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这是一份江西省宜春市丰城中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了5D， 对于实数，，定义运算“”等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共6小题，每小题3分）
1. 某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康情况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A. 在某小区同一居民楼上调查了10名老年人的健康状况
B. 在某医院调查了1000名老年人的健康状况
C. 利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况
D. 在某公园调查了100名老年人的健康状况
【答案】C
【解析】
【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【详解】解：A、调查不具代表性，故本选项不符合题意；
B、调查不具广泛性，故本选项不符合题意；
C、调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意；
D、调查不具代表性，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
2. 已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据方程组，求出，再代入和中，得到关于a、b的方程组，即可求解．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【详解】解：根据题意得：，
由①+②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把，代入和中得：
，解得：．
故选：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，遇到有关二元一次方程组的解的问题时，将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程组中的字母系数．
3. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞2，则a的取值范围为（ ）
A. a＜−2B. a＞−2C. a＜2D. a＞2
【答案】A
【解析】
【分析】先解根据关于x，y的二元一次方程组①+②得4x+4y=2-3a，；然后将其代入x＋y＞2，再来解关于a的不等式即可．
【详解】解：
①+②得
4x+4y=2-3a
∴由x+y>2，得
即a<-2
故选A
【点睛】本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
4. 在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，且点P到原点O的距离为6，则m＋3n的值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据P在y轴正半轴上可得：横坐标m﹣n＝0，点P到原点O的距离为6可得：2m+n＝6，解方程组可得结论．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
∴m+3n＝2+6＝8．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形性质，用到的知识点为：y轴上的点横坐标为0的性质．
5. 方程组的解，的值互为相反数，则的值是（ ）
A. B. 2C. 0.5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组等知识．根据相反数的定义得到，代入方程组得，即可求出a的值．
【详解】解：∵，互为相反数，
∴，
∴，
把代入方程组得
得，
解得．
故选：B
6. 已知关于的不等式组的最小整数解是2，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大及不等式组的最小整数解求解即可．
【详解】解：解不等式，得：x≥4＋m，
解不等式x−4≤3（x−2），得：x≥1，
∵不等式组的最小整数解是2，
∴1＜4＋m≤2，
解得−3＜m≤−2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
二．填空题（共6小题，每小题3分）
7. 在画频数分布直方图时，一个容量为80的样本最大值是172，最小值是149，取组距为3，则可以分成______组．
【答案】8
【解析】
【分析】先求出最大值与最小值的差，再除以组距，由此即可得出答案．
【详解】解：，
则可以分成8组，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了频数分布直方图中的组数，熟练掌握组数的计算方法是解题关键．
8. 已知点和点，若直线轴，则线段的长是________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据直线轴可得点的纵坐标相等，从而可求出的值，由此即可得出答案．
详解】解：直线轴，，
点的纵坐标相等，即，
解得，
，
．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了点的坐标与图形，推断出点的纵坐标相等是解题关键．
9. 对于实数，，定义运算“”：，例如，因为，所以，若，因为，所以，若，满足方程组，则________．
【答案】32
【解析】
【分析】先解关于x，y的二元一次方程组，再判断两者大小，最后代入题目定义的新运算计算即可．
【详解】解：，
得，
∴，
代入①得，
∵，
∴，
故答案为：32．
【点睛】本题考查解二元一次方程组及定义新运算的结合，熟练解答二元一次方程组并按照题目要求代入运算是解题的关键．
10. 如图，用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①的正方形，其阴影部分的面积为25；8个矩形纸片围成如图②的正方形，阴影部分的面积为16；12个矩形纸片围成如图③的正方形，其阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】图①中阴影部分的边长为，图②中，阴影部分的边长为；设小矩形的长为，宽为，依据等量关系即可得到方程组，进而得出，的值，即可得到图③中，阴影部分的面积．
【详解】解：由图可得，图①中阴影部分的边长为，图②中，阴影部分的边长为；
设小矩形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
∴图③中，阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元，无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程，确定数量关系是解答的关键．
11. 如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键．根据“若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，”列式，然后解不等式，即可作答．
【详解】解：∵结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，
∴
由，得；
由，得
即
故答案为：
12. 若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m的取值范围是__________．
【答案】﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2．
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得和为即可得出答案.
【详解】解不等式①得：，
又不等式组的所有整数解得和为，
或，
或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能得出关于的不等式组时解此题的关键.
三．解答题（共11小题，13-17题每题6分，18，19，20题每题8分，21，22题每题9分，23题12分）
13. （1）解方程组；
（2）解不等式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次不等式组即可；
（2）先分别求不等式的解集，进而可得一元一次不等式组的解集．
【详解】解：，
得，，
解得，
将代入①得，，
解得，
∴；
（2），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组解集为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组．解题的关键在于正确的运算．
14. 已知不等式组
（1）若该不等式组的解集为，求 a的值：
（2）若该不等式组无解，求a的取值范围．
【答案】（1）a的值为2
（2）a的取值范围为
【解析】
【分析】（1）解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于a的方程，解之可得；
（2）根据“大小小大无解了”可确定关于a不等式，解之可得．
【小问1详解】
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组的解集是，
∴，
解得：；
【小问2详解】
∵不等式组无解，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，，．
（1）在图中画出三角形，并求其面积；
（2）已知三角形是由经过平移得到的，若为三角形内的一点，则点P在三角形内的对应点的坐标是 ．
【答案】（1）见解析，8
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，能够根据平移前后坐标的变化得出平移方式是解题的关键．
（1）根据题意描点，顺次连接A、B、C，即可；再根据长方形减去三个三角形的面积，即可求解；
（2）根据图形的位置关系得出平移方式，即可求解．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
；
【小问2详解】
∵点平移到，
∴平移规律为横坐标加4，纵坐标减3，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 解方程组时，由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
解：①-②得，所以③．
③×35-①得，解得，则．
所以原方程组的解是．
请你运用上述方法解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．
【详解】解：，
①+②得：，
即③，
③×1007-①得：，
解得：，
将代入③得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．
17. 如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨元的枇杷运回工厂加工，制成每吨元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为元吨千米，铁路运价为元吨千米，且这次运输共支出公路运输费元，铁路运输费元．求：
（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？
（2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？
【答案】（1）该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨
（2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元
【解析】
【分析】（1）设该工厂从湖州购买了吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干吨，根据运费每吨每千米的运费运输重量结合这次运输共支出公路运输费元、铁路运输费元，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据利润销售收入成本运费，即可得出结论．
小问1详解】
解：设该工厂从湖州购买了吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干吨，
根据题意得：，
解得：．
答：该工厂从湖州购买了吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干吨．
【小问2详解】
解：元．
答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据利润销售收入成本运费，列式计算．
18. “垃圾分类新时尚，文明之风我先行”．某地自开展“创卫、创文工作”以来，广大群众积极参与各项工作．新修订的生活垃圾分类标准为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小珂所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图：
a．线上垃圾分类知识测试频数分布表
b．线上垃圾分类知识测试频数分布直方图
c．成绩在这一组的成绩为80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）小珂居住的社区大约有居民2000人，若测试成绩达到80分为良好，那么估计小珂所在的社区成绩良好的人数约为______人；
（4）若测试成绩在前十五名的居民可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．已知居民A的得分为87分，请说明居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？
【答案】（1）18 （2）频数分布直方图见解析
（3）800 （4）可以领到
【解析】
【分析】（1）根据题意，可以得到样本容量，然后即可计算出m的值；
（2）根据频数分布表中的数据和m的值，可以将频数分布表补充完整；
（3）根据题目中的数据，可以计算出小珂所在的社区良好的人数；
（4）根据题目中的数据，可以得到88分是第多少名，从而可以得到居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
故答案为：18．
【小问2详解】
解：由（1）值m的值为18，
由频数分布表可知这一组的频数为12，
补全的频数分布直方图如图所示：
【小问3详解】
解：估计小珂所在的社区良好的人数约为（人），
故答案为：800；
【小问4详解】
解：由题意可得，87分是第12名，
故居民A可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．
【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、样本容量，解答本题的关键是明确频率等于频数除以总数．
19. 某快递公司为提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运10吨，型机器人10天搬运货物量与型机器人9天搬运的货物量相同．
（1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台型机器人售价1.2万元，每台型机器人售价 2万元，该公司计划采购，两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2840吨，购买金额不超过48万元．请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】（1）每台型机器人每天分别搬运货物90吨，每台型机器人每天分别搬运货物100吨
（2）当购买型机器人16台，B型机器人14台时，购买总金额最少，最少金额是47.2万元
【解析】
【分析】（1）设每台型机器人每天分别搬运货物吨，每台型机器人每天分别搬运货物吨，找出题中等量关系：每台型机器人比每台型机器人每天少搬运 10吨，型机器人10天搬运货物量与型机器人9天搬运的货物量相同，列出方程组，求解即可；
（2）设购买型机器人台，则购买的型机器人为台，找出题中不等关系：每天搬运的货物不低于2840 吨，购买金额不超过48万元，列出不等式组，求出的整数解，再根据总金额=单价数量，代入的整数解比较总金额的值即可得出答案．
【小问1详解】
解：设每台型机器人每天分别搬运货物吨，每台型机器人每天分别搬运货物吨，
由题意得，解得，
每台型机器人每天分别搬运货物90吨，每台型机器人每天分别搬运货物100吨．
【小问2详解】
解：设购买型机器人台，购买总金额为万元，则购买的型机器人为台，
由题意得，
解得，的整数解为15，16，
，
当时，，
当时，，
当，时，最小，
当购买型机器人16台，B型机器人14台时，购买总金额最少，最少金额是47.2万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用及一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的等量关系列出二元一次方程组及不等关系列出一元一次不等式组是解题关键．
20. 已知关于x，y的方程组．
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？
【答案】（1），；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将方程化为，再由x，y为正整数，即可得出结论；
（2）将与组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：中，可得m的值；
（3）根据方程总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，可得这个解．
【小问1详解】
解：，
，
又因为，为正整数，
，
即：只能取2或4；
方程的所有正整数解：，；
【小问2详解】
由题意得：，
解得，
把代入，
解得；
【小问3详解】
方程总有一个固定的解，
即方程总有一个固定的解，
，．
．
【点睛】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，理解题意，熟练掌握求方程组的解的方法是本题的关键．
21. 先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．
例题：解一元二次不等式．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．
解不等式组①得，解不等式组②得．
所以一元二次不等式的解集是或．
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据题意得出两个不等式组是解此题的关键．
（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可．
【小问1详解】
解：
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，
得①或②，
解不等组①得：，
解不等组②得：，
∴不等式的解集或；
【小问2详解】
解：
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，
得①或②，
解不等组①得：，
解不等组②得：不等式组无解，
∴不等式的解集为．
22. 综合与实践：
问题背景：
（1）已知，，，．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和中点、，然后写出它们的坐标，则______，______．
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为______．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标．
【答案】（1）描点见解析，的坐标为，的坐标为，（2），（3）或或
【解析】
【分析】本题主要考查了在坐标系中描点，两点中点坐标公式，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是关键．
（1）在坐标系中描出A、B、C、D然后找到线段和中点P1、P2即可；
（2）根据（1）所求即可得到中点坐标公式；
（3）分当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，当线段HE的中点与线段FG的中点坐标重合时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，A、B、C、D为所求，点的坐标为，点的坐标为，
（2）解：由题意得若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为；
（3）解：∵，，，
∴线段EF的中点坐标为（1，），线段EG的中点坐标为（0，3），线段的中点坐标为（2，），
当线段HG中点与线段EF的中点重合时，则，
∴，
∴点H的坐标为；
同理当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，点H的坐标为；当线段的中点与线段的中点坐标重合时，点H的坐标为，
综上所述，点H的坐标为或或
23. 定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．
（1）方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ；
（2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据定义写出方程的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可；
（2）先求出与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入，得到p，m，n的关系，再代入即可求解；
（3）先写出的“交换系数方程”，令的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可．
【小问1详解】
解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或，
方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为：
①或②，
解方程组①，得，
解方程组②，得，
故答案为：或；
【小问2详解】
解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为：
①或②，
解方程组①，得，
由，得，
因此方程组①的解为，
解方程组②，得，
由，得，
方程组②的解为，
与它的“交换系数方程”组成的方程组为，
将代入，得，
．
【小问3详解】
解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或，
当与的各系数相等时，
可得方程组，
解方程组可得，与m为整数不符，不合题意；
当与的各系数相等时，
可得方程组，
解得，
∵，
∴，即
解得，
∵m为整数，
∴．
【点睛】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键．成绩分组
频数
3
9
12
8
一．选择题（共6小题，每小题3分）
1. 某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康情况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A. 在某小区同一居民楼上调查了10名老年人的健康状况
B. 在某医院调查了1000名老年人的健康状况
C. 利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况
D. 在某公园调查了100名老年人的健康状况
【答案】C
【解析】
【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【详解】解：A、调查不具代表性，故本选项不符合题意；
B、调查不具广泛性，故本选项不符合题意；
C、调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意；
D、调查不具代表性，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
2. 已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据方程组，求出，再代入和中，得到关于a、b的方程组，即可求解．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【详解】解：根据题意得：，
由①+②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把，代入和中得：
，解得：．
故选：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，遇到有关二元一次方程组的解的问题时，将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程组中的字母系数．
3. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞2，则a的取值范围为（ ）
A. a＜−2B. a＞−2C. a＜2D. a＞2
【答案】A
【解析】
【分析】先解根据关于x，y的二元一次方程组①+②得4x+4y=2-3a，；然后将其代入x＋y＞2，再来解关于a的不等式即可．
【详解】解：
①+②得
4x+4y=2-3a
∴由x+y>2，得
即a<-2
故选A
【点睛】本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
4. 在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，且点P到原点O的距离为6，则m＋3n的值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据P在y轴正半轴上可得：横坐标m﹣n＝0，点P到原点O的距离为6可得：2m+n＝6，解方程组可得结论．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
∴m+3n＝2+6＝8．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形性质，用到的知识点为：y轴上的点横坐标为0的性质．
5. 方程组的解，的值互为相反数，则的值是（ ）
A. B. 2C. 0.5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组等知识．根据相反数的定义得到，代入方程组得，即可求出a的值．
【详解】解：∵，互为相反数，
∴，
∴，
把代入方程组得
得，
解得．
故选：B
6. 已知关于的不等式组的最小整数解是2，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大及不等式组的最小整数解求解即可．
【详解】解：解不等式，得：x≥4＋m，
解不等式x−4≤3（x−2），得：x≥1，
∵不等式组的最小整数解是2，
∴1＜4＋m≤2，
解得−3＜m≤−2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
二．填空题（共6小题，每小题3分）
7. 在画频数分布直方图时，一个容量为80的样本最大值是172，最小值是149，取组距为3，则可以分成______组．
【答案】8
【解析】
【分析】先求出最大值与最小值的差，再除以组距，由此即可得出答案．
【详解】解：，
则可以分成8组，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了频数分布直方图中的组数，熟练掌握组数的计算方法是解题关键．
8. 已知点和点，若直线轴，则线段的长是________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据直线轴可得点的纵坐标相等，从而可求出的值，由此即可得出答案．
详解】解：直线轴，，
点的纵坐标相等，即，
解得，
，
．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了点的坐标与图形，推断出点的纵坐标相等是解题关键．
9. 对于实数，，定义运算“”：，例如，因为，所以，若，因为，所以，若，满足方程组，则________．
【答案】32
【解析】
【分析】先解关于x，y的二元一次方程组，再判断两者大小，最后代入题目定义的新运算计算即可．
【详解】解：，
得，
∴，
代入①得，
∵，
∴，
故答案为：32．
【点睛】本题考查解二元一次方程组及定义新运算的结合，熟练解答二元一次方程组并按照题目要求代入运算是解题的关键．
10. 如图，用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①的正方形，其阴影部分的面积为25；8个矩形纸片围成如图②的正方形，阴影部分的面积为16；12个矩形纸片围成如图③的正方形，其阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】图①中阴影部分的边长为，图②中，阴影部分的边长为；设小矩形的长为，宽为，依据等量关系即可得到方程组，进而得出，的值，即可得到图③中，阴影部分的面积．
【详解】解：由图可得，图①中阴影部分的边长为，图②中，阴影部分的边长为；
设小矩形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
∴图③中，阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元，无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程，确定数量关系是解答的关键．
11. 如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键．根据“若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，”列式，然后解不等式，即可作答．
【详解】解：∵结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，
∴
由，得；
由，得
即
故答案为：
12. 若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m的取值范围是__________．
【答案】﹣2＜m≤﹣1或1＜m≤2．
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得和为即可得出答案.
【详解】解不等式①得：，
又不等式组的所有整数解得和为，
或，
或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能得出关于的不等式组时解此题的关键.
三．解答题（共11小题，13-17题每题6分，18，19，20题每题8分，21，22题每题9分，23题12分）
13. （1）解方程组；
（2）解不等式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次不等式组即可；
（2）先分别求不等式的解集，进而可得一元一次不等式组的解集．
【详解】解：，
得，，
解得，
将代入①得，，
解得，
∴；
（2），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组解集为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组．解题的关键在于正确的运算．
14. 已知不等式组
（1）若该不等式组的解集为，求 a的值：
（2）若该不等式组无解，求a的取值范围．
【答案】（1）a的值为2
（2）a的取值范围为
【解析】
【分析】（1）解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于a的方程，解之可得；
（2）根据“大小小大无解了”可确定关于a不等式，解之可得．
【小问1详解】
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组的解集是，
∴，
解得：；
【小问2详解】
∵不等式组无解，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为，，．
（1）在图中画出三角形，并求其面积；
（2）已知三角形是由经过平移得到的，若为三角形内的一点，则点P在三角形内的对应点的坐标是 ．
【答案】（1）见解析，8
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，能够根据平移前后坐标的变化得出平移方式是解题的关键．
（1）根据题意描点，顺次连接A、B、C，即可；再根据长方形减去三个三角形的面积，即可求解；
（2）根据图形的位置关系得出平移方式，即可求解．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
；
【小问2详解】
∵点平移到，
∴平移规律为横坐标加4，纵坐标减3，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 解方程组时，由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
解：①-②得，所以③．
③×35-①得，解得，则．
所以原方程组的解是．
请你运用上述方法解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．
【详解】解：，
①+②得：，
即③，
③×1007-①得：，
解得：，
将代入③得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．
17. 如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨元的枇杷运回工厂加工，制成每吨元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为元吨千米，铁路运价为元吨千米，且这次运输共支出公路运输费元，铁路运输费元．求：
（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？
（2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？
【答案】（1）该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨
（2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元
【解析】
【分析】（1）设该工厂从湖州购买了吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干吨，根据运费每吨每千米的运费运输重量结合这次运输共支出公路运输费元、铁路运输费元，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据利润销售收入成本运费，即可得出结论．
小问1详解】
解：设该工厂从湖州购买了吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干吨，
根据题意得：，
解得：．
答：该工厂从湖州购买了吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干吨．
【小问2详解】
解：元．
答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据利润销售收入成本运费，列式计算．
18. “垃圾分类新时尚，文明之风我先行”．某地自开展“创卫、创文工作”以来，广大群众积极参与各项工作．新修订的生活垃圾分类标准为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小珂所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图：
a．线上垃圾分类知识测试频数分布表
b．线上垃圾分类知识测试频数分布直方图
c．成绩在这一组的成绩为80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）小珂居住的社区大约有居民2000人，若测试成绩达到80分为良好，那么估计小珂所在的社区成绩良好的人数约为______人；
（4）若测试成绩在前十五名的居民可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．已知居民A的得分为87分，请说明居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？
【答案】（1）18 （2）频数分布直方图见解析
（3）800 （4）可以领到
【解析】
【分析】（1）根据题意，可以得到样本容量，然后即可计算出m的值；
（2）根据频数分布表中的数据和m的值，可以将频数分布表补充完整；
（3）根据题目中的数据，可以计算出小珂所在的社区良好的人数；
（4）根据题目中的数据，可以得到88分是第多少名，从而可以得到居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
故答案为：18．
【小问2详解】
解：由（1）值m的值为18，
由频数分布表可知这一组的频数为12，
补全的频数分布直方图如图所示：
【小问3详解】
解：估计小珂所在的社区良好的人数约为（人），
故答案为：800；
【小问4详解】
解：由题意可得，87分是第12名，
故居民A可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．
【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、样本容量，解答本题的关键是明确频率等于频数除以总数．
19. 某快递公司为提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天少搬运10吨，型机器人10天搬运货物量与型机器人9天搬运的货物量相同．
（1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台型机器人售价1.2万元，每台型机器人售价 2万元，该公司计划采购，两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2840吨，购买金额不超过48万元．请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】（1）每台型机器人每天分别搬运货物90吨，每台型机器人每天分别搬运货物100吨
（2）当购买型机器人16台，B型机器人14台时，购买总金额最少，最少金额是47.2万元
【解析】
【分析】（1）设每台型机器人每天分别搬运货物吨，每台型机器人每天分别搬运货物吨，找出题中等量关系：每台型机器人比每台型机器人每天少搬运 10吨，型机器人10天搬运货物量与型机器人9天搬运的货物量相同，列出方程组，求解即可；
（2）设购买型机器人台，则购买的型机器人为台，找出题中不等关系：每天搬运的货物不低于2840 吨，购买金额不超过48万元，列出不等式组，求出的整数解，再根据总金额=单价数量，代入的整数解比较总金额的值即可得出答案．
【小问1详解】
解：设每台型机器人每天分别搬运货物吨，每台型机器人每天分别搬运货物吨，
由题意得，解得，
每台型机器人每天分别搬运货物90吨，每台型机器人每天分别搬运货物100吨．
【小问2详解】
解：设购买型机器人台，购买总金额为万元，则购买的型机器人为台，
由题意得，
解得，的整数解为15，16，
，
当时，，
当时，，
当，时，最小，
当购买型机器人16台，B型机器人14台时，购买总金额最少，最少金额是47.2万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用及一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的等量关系列出二元一次方程组及不等关系列出一元一次不等式组是解题关键．
20. 已知关于x，y的方程组．
（1）请直接写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？
【答案】（1），；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将方程化为，再由x，y为正整数，即可得出结论；
（2）将与组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：中，可得m的值；
（3）根据方程总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，可得这个解．
【小问1详解】
解：，
，
又因为，为正整数，
，
即：只能取2或4；
方程的所有正整数解：，；
【小问2详解】
由题意得：，
解得，
把代入，
解得；
【小问3详解】
方程总有一个固定的解，
即方程总有一个固定的解，
，．
．
【点睛】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，理解题意，熟练掌握求方程组的解的方法是本题的关键．
21. 先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．
例题：解一元二次不等式．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②．
解不等式组①得，解不等式组②得．
所以一元二次不等式的解集是或．
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据题意得出两个不等式组是解此题的关键．
（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可．
【小问1详解】
解：
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，
得①或②，
解不等组①得：，
解不等组②得：，
∴不等式的解集或；
【小问2详解】
解：
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，
得①或②，
解不等组①得：，
解不等组②得：不等式组无解，
∴不等式的解集为．
22. 综合与实践：
问题背景：
（1）已知，，，．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和中点、，然后写出它们的坐标，则______，______．
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为______．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标．
【答案】（1）描点见解析，的坐标为，的坐标为，（2），（3）或或
【解析】
【分析】本题主要考查了在坐标系中描点，两点中点坐标公式，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是关键．
（1）在坐标系中描出A、B、C、D然后找到线段和中点P1、P2即可；
（2）根据（1）所求即可得到中点坐标公式；
（3）分当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，当线段HE的中点与线段FG的中点坐标重合时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，A、B、C、D为所求，点的坐标为，点的坐标为，
（2）解：由题意得若线段的两个端点的坐标分别为，，则线段的中点坐标为；
（3）解：∵，，，
∴线段EF的中点坐标为（1，），线段EG的中点坐标为（0，3），线段的中点坐标为（2，），
当线段HG中点与线段EF的中点重合时，则，
∴，
∴点H的坐标为；
同理当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，点H的坐标为；当线段的中点与线段的中点坐标重合时，点H的坐标为，
综上所述，点H的坐标为或或
23. 定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．
（1）方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ；
（2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据定义写出方程的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可；
（2）先求出与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入，得到p，m，n的关系，再代入即可求解；
（3）先写出的“交换系数方程”，令的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可．
【小问1详解】
解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或，
方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为：
①或②，
解方程组①，得，
解方程组②，得，
故答案为：或；
【小问2详解】
解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为：
①或②，
解方程组①，得，
由，得，
因此方程组①的解为，
解方程组②，得，
由，得，
方程组②的解为，
与它的“交换系数方程”组成的方程组为，
将代入，得，
．
【小问3详解】
解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或，
当与的各系数相等时，
可得方程组，
解方程组可得，与m为整数不符，不合题意；
当与的各系数相等时，
可得方程组，
解得，
∵，
∴，即
解得，
∵m为整数，
∴．
【点睛】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键．成绩分组
频数
3
9
12
8
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