2024年北京市燕山区中考一模数学试题

这是一份2024年北京市燕山区中考一模数学试题，共25页。试卷主要包含了 正六边形的外角和为， 分解因式等内容，欢迎下载使用。
2024年4月
考生须知：
1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）
第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 年，我国共授权发明专利万件，同比增长．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，即可求解．
【详解】解：；
故选：C．
2. 下面运动标识图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意，该试卷源自 每日更新，享更低价下载。选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
3. 如图，点在直线上，，，则的大小为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂线和邻补角，根据垂直定义可得，根据角的和差关系可得，根据邻补角即可求解．
详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
4. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以一个负数，不等式的符合改变；不等式的两边同时加上或减去一个书，不等号方向不变逐项分析，即可求解．
【详解】解：，则，B不符合题意；
则；A不符合题意；
当时，；当时，，C不符合题意；
则；D符合题意；
故选：D．
5. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判别式等于零，进行求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数之间的关系．熟练掌握判别式等于0，方程有两个相等的实数根，是解题的关键．
6. 正六边形的外角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和是．根据任何多边形的外角和是即可求出答案．
【详解】解：∵任意一个多边形的外角和都是，
∴正六边形的外角和为．
故选：C．
7. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用列举法可得所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴正面都朝上的概率是： .
故选A．
【点睛】本题考查了列举法求概率的知识．此题比较简单，注意在利用列举法求解时，要做到不重不漏，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 如图，在四边形中，，点E在上，平分，平分．给出下面三个结论：
①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质．根据平行线的性质以及角平分线的定义，可得，从而得到，可判断①；过点E作于点F，根据角平分线的性质，可得，，从而得到，可判断②；证明，可得，可判断③．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，故①正确；
如图，过点E作于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
故选：D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了分式有意义及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．由分式有意义及二次根式有意义的条件，进而得出x的取值范围．
【详解】由二次根式的概念，可知，
解得.
故答案为：
10. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 方程的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
经检验：，是分式方程的解．
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和，
∴，，
又∵，
∴，
即；
即值为．
故答案为：．
13. 某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据：
为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为________．
【答案】29
【解析】
【分析】本题考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，众数可能没有，可能有1个，也可能有多个．根据众数的定义求解即可．
【详解】解： 出现次23，出现次数最多，
∴众数是，
故答案为：29．
14. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，根据直角三角形两个锐角互余计算出，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵是的直径，为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在中，点E在上，交于点F．若，则的值为________．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，先求出，再证明，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
16. 学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下：
①每台设备同一时间只能加工一件工艺品；
②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工；
③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：
（1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案________（按顺序写出工艺品的编号）；
（2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要________．
【答案】 ①. 答案不唯一，如BCA ②. 15
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加法，概率的分析应用是解题的关键．
（1）罗列出6种情况，选择符合题意的即可；
（2）罗列出6种情况，进行比较大小即可．
【详解】按照顺序加工，需要，
按照顺序加工，需要，
按照顺序加工，需要；
按照顺序加工，需要；
按照顺序加工，需要；
按照顺序加工，需要．
（1）总时长不超过20，可以按照顺序加工；
（2）通过比较发现，最短时间为15．
三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20题6分，第21－23题，每题5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算；根据特殊角的三角函数值和实数的混合运算计算即可．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”即可求解．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算化简原式，再将整理为，代入即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
20. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使得，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，解直角三角形：
（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线垂直，即可得证；
（2）解，求出的长，勾股定理求出的长，即可．
【小问1详解】
∵点E为的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
∵菱形，
∴．
∵矩形，
∴，．
在中，，
∴，
∴，
∴．
21. 《清明上河图》是北宋画家张择端的作品，是中国十大传世名画之一．如图是某书画家的一幅局部临摹作品，装裱前是长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题．设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可．
【详解】解：设边衬的宽度为．依题意，得
＝，
解得：．
经检验，是原方程的解且符合实际意义．
答：边衬的宽度为．
22. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到，且与轴交于点A．
（1）求该一次函数的解析式及点A的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数（）的值且大于，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的应用，求一次函数解析式，一次函数图象的平移：
（1）根据一次函数平移的性质可得，当时， ，则可求得点A的坐标；
（2）根据题意可得且，再根据，据此求解即可；
熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：一次函数（）的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到，
一次函数的解析式为，
当时，，解得：，
．
【小问2详解】
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值且大于，
且，
即：且，
，
且，
解得：．
23. 为了考査甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田中分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各株，获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下：
．甲种水稻稻穗谷粒数：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
．乙种水稻稻穗谷粒数的折线图：
c．甲、乙两种水稻稻穗谷粒数的平均数、中位数、众数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中，的值；
（2）若水稻稻穗谷粒数的方差越小，则认为水稻产量的稳定性越好．据此推断，甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是 （填“甲”或“乙”）；
（3）若单株稻穗的谷粒数不低于颗的水稻视为优良水稻，则从水稻优良率分析，应推荐种植 种水稻（填“甲”或“乙”）；若该试验田中有甲、乙两种水稻各株，据此估计，优良水稻共有 株．
【答案】（1）的值为，的值为
（2）乙 （3）甲；
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，样本估计总体，中位数，众数等，根据统计图得出相关信息是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义计算即可；
（2）根据表格分析即可求解；
（3）分呗计算出两种水稻的优良率即可求解；分别求出两种水稻的优良水稻数量，相加即可求解．
【小问1详解】
解：中位数为，
根据乙种水稻稻穗谷粒数的折线图可以发现，每株稻穗的谷粒数为出现的次数最多，
也就是说这组数据的众数为，所以．
【小问2详解】
解：根据表格可得乙的平均数、中位数、众数都比较接近，故乙更稳定，
故答案为：乙．
【小问3详解】
解：甲的水稻优良率为：，
乙的水稻优良率为：，
故从水稻优良率分析，应推荐种植甲种水稻；
若该试验田中有甲、乙两种水稻各株，则甲的优良水稻有株，
则乙的优良水稻有株，
共有株，
故答案为：甲，．
24. 如图，为的直径，弦，过点A作的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若的半径为5，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的 ．
（1）先证明，则，由，得到，继而求证；
（2）连接，为的直径，，则，，先求，再证明即可．
【小问1详解】
证明：∵是的切线，为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵为的直径，，
∴，，
∵半径为5
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，，
∴ ，
∴，
∴．
25. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到距离地面处开始计时，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力）．记无人机和小钢球距离地面的高度分别为，（单位：），科研人员收集了，随时间x （单位：s）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示．
（1）根据，随的变化规律，从 ① ；② （）；③中，选择适当的函数模型，分别求出，满足的函数关系式；
（2）当时，小钢球和无人机的高度差最大是 ．
【答案】（1）；；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法即可求出解析式，
（）由题意得，再根据二次函数求最值即可；
本题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握函数图象及性质是解题的关键．
【小问1详解】
设关于的函数关系式为，
将点，的坐标代入得 ，
解得，
∴关于的函数关系式为
设关于的函数关系式为
将点，，坐标代入，得
解得 ，
∴关于的函数关系式为；
【小问2详解】
由（）得，，
∴，
∴当时，小钢球和无人机的高度差最大是，
故答案为：．
26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点．设该抛物线的对称轴为．
（1）若对于，有，求的值；
（2）若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征．
（1）依据题意，根据二次函数的性质求得对称轴即可得解；
（2）根据二次函数的性质分①当，②当时，③当时，④当时，与的关系，即可求解．
【小问1详解】
解：∵对于，有，
∴点，关于直线对称，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴当时，随增大而增大，当时，随增大而减小．
①当时，
∵，
∴，
∴，
∴，符合题意；
②当时，
（i）当时，
∵，
∴，
∴，符合题意；
（ii）当时，
设点关于对称点为，则点的坐标为，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，符合题意；
③当时，令，则，
∴，不符合题意；
④当时，令，则，
∴，不符合题意；
综上所述，的取值范围是．
27. 在中，，，为的中点，D为线段AM上的动点（不与点，重合），过点作，且，连接．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：是的中点；
（2）当位于图2位置时，连接，过点作，交于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质推得，即可证明；
（2）连接，，根据等腰三角形的判定和性质得出，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据四边形内角和求出，根据等角的补角相等可得，根据等角对等边可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即是的中点．
【小问2详解】
．
证明：如图，连接，．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵在中，，，为的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵在四边形中，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵DE⊥AF，
∴为的中点，
∴，
即．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理，等角的补角相等，等角对等边等，作出辅助线证明是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，对于和线段给出如下定义：如果线段上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在外，则称线段为的“交割线段”．

（1）如图，的半径为2，点．
①在的三条边中，的“交割线段”是 ；
②点M是直线上的一个动点，过点M作轴，垂足为N，若线段是的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围；
（2）已知三条直线，，分别相交于点D，E，F，的圆心为，半径为2，若的三条边中有且只有两条是的“交割线段”，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①；②当或
（2）或
【解析】
【分析】（1）先根据点A和点B的坐标得到与相切，则线段上没有点在外；再证明线段上没有点在外，线段上有点在内，也有点在内，即可得到结论；
（2）设直线在x轴上方与交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设，利用勾股定理求出，由函数图象可知，当点M在之间（不包括端点），即时，线段是的“交割线段”；由对称性可得当时，线段是的“交割线段”；
（3）分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种临界情况，求出此时t的值，再结合图形以及“交割线段”的定义即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴点A在上，
∴与相切，
∴线段上没有点在外，
∴线段不是的“交割线段”，
∵，
∴点C在内，点B在外，
∴线段上没有点在外，线段上有点在内，也有点在内，
∴线段不是的“交割线段”，线段是的“交割线段”，
故答案为：；

②如图所示，设直线在x轴上方与交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设，
∴，，
∴此时点H刚好在上，且此时与相切；
∵的半径为2，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴由函数图象可知，当点M在之间（不包括端点），即时，线段是的“交割线段”；
由对称性可得当时，线段是的“交割线段”；
综上所述，当或时，线段是的“交割线段”；
【小问2详解】
解：联立 得，
∴，
同理可得，；
如图2-1所示，当恰好经过点D时，
∴，
∴；

如图2-2所示，当恰好与相切于H时，连接，
∵，，
∴，
∴，
由切线的性质可得，
∴等腰直角三角形，
∴，
∴当时，是的“交割线段”，不是的“交割线段”；

如图2-3所示，当恰好经过点D时，
∴，
∴；

如图2-4所示，当恰好与相切于P时，连接，设直线与x轴交于Q，
∴，
∴，
∴；
由切线的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，是的“交割线段”，不是的“交割线段”；

综上所述，当或时，的三条边中有且只有两条是的“交割线段”．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确理解“交割线段”的定义，以及求出临界情况下的临界值．容量/L
23
25
27
29
31
33
人数/人
4
3
5
23
3
2
A
B
C
甲
7
2
4
乙
2
5
6
平均数
中位数
众数
甲
乙