2024年全国初中生数学素养与创新能力竞赛(初一组）决赛试题

这是一份2024年全国初中生数学素养与创新能力竞赛(初一组）决赛试题，共4页。试卷主要包含了设a＝﹣2×32，b＝，图1是用长方形纸板做成的四巧板等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：140分）
选择题（本题满分42分，每小题7分）
1.设a＝﹣2×32，b＝（﹣2×3）2，c＝﹣（2×3）2，则a，b，c的大小关系是（B ）
A．a＜c＜bB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜b＜c
2.图1是用长方形纸板做成的四巧板（已知线段长度如图所示），用它拼成图2的“T”字型图形，则“T”字型图形的周长为（ A ）．（用含m，n的式子表示）
A.2m+8n
B.2m+4n
C.4m+8n
D.8m+2n
3.甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（ B ）
A．5B．4C．3D．2
4.如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①、图②，已知大长方形的长为a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（ ）（用a的代数式表示）（ B ）
A．﹣aB．aC．aD．a
5.如图，下午3时，时钟上的时针和分针所成的角为90°，那么下一次时针与分针成直角，要经过的时间是（ C ）
A．小时B．小时C．小时D．小时
6.在明代的《算法统宗》中，将用格子计算两个数相乘的方法称作“铺地锦”，如图1，计算42×38，将乘数42记在格子上面，乘数38，记在格子右侧，然后用乘数42的每位数字乘以乘数38的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，得到1596．如图2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论不正确的是（ D ）
A．b的值为6
B．a的值为偶数
C．乘积的结果可以表示为100b+10（a+5）+（b﹣4）
D．a的值大于3
填空题（本题满分28分，每小题7分）
7.若非零有理数m、n、p满足，则 ．
8.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 24 对．
9..已知点A、B、C在直线l上，AB＝a，BC＝b，AC=，则 或2 ．
10.如图是一组有规律的图案，第1个图案中有6个涂有阴影的小矩形，第2个图案中有10个涂有阴影的小矩形，第3个图案中有14个涂有阴影的小矩形……按此规律，第n个图案中涂有阴影的小矩形的个数为 4n+2 ．（用含n的代数式表示）
（本大题20分）
解：原式=
=
=
解：原式=该试卷源自 每日更新，享更低价下载。 =
（本题满分25分）
已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且c﹣b＝b﹣a，点C对应的数是20，c＞b＞a．
（1）若BC＝30，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段PR的中点，N为线段RQ的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足MR＝4RN？
（3）在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长/秒，N为OP的中点，M为BQ的中点，在点P，Q运动的过程中，PQ﹣2MN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
解：（1）如图，∵BC＝30，
∴c﹣b＝b﹣a＝30，
∵C点对应的数为20，
∴点A对应的数为：20﹣60＝﹣40，点B对应的数为：20﹣30＝﹣10，
∴a＝﹣40，b＝﹣10；
（2）如图2，根据（1）可得AB＝BC＝30，
设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足MR＝4RN，
∵MR（8x+4x+30），RN（30﹣4x﹣2x），
∴当MR＝4RN时，（8x+4x+30）＝4（30﹣4x﹣2x），
解得：x＝2.5，
∴在三点出发后2.5秒时恰好满足MR＝4RN；
（3）PQ﹣2MN的值不变．理由如下：
如图3，设运动的时间为t，则CQ＝4t，AP＝8t，
由（1）可得AB＝BC＝30，点C表示20，
∴AC＝60，BO＝10，AO＝40，
∴PQ＝AP+AC+CQ＝8t+60+4t＝60+12t，
∵M为BQ的中点，N为OP的中点，
∴BMBQ，NOOP，
∴MN＝NO+MB﹣OBOPBQ﹣OB（40+8t）（30+4t）﹣10＝25+6t，
∴PQ﹣2MN＝（60+12t）﹣2（25+6t）＝10，
即PQ﹣2MN的值不发生变化，是定值10．
五．（本大题25分）
13.【理解新知】
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“2倍角线”．
（1）角的平分线 这个角的“2倍角线”；（填“是”或“不是”）
（2）若∠AOB＝90°，射线OC为∠AOB的”2倍角线”，则∠AOC＝ ．
【解决问题】
如图②，已知∠AOB＝60°，射线OP从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转；射线OQ从OB出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，射线OP、OQ同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随停止，设运动的时间为t（s）．
（3）当射线OP、OQ旋转到同一条直线上时，求t的值；
（4）若OA、OP、OQ三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角线”，直接写出所有可能的值．（本题中所研究的角都是小于等于180°的角．）
解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍，
∴一个角的角平分线是这个角的“2倍角线”；
故答案为：是；
（2）有三种情况：①若∠BOC＝2∠AOC时，且∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝30°；
②若∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC时，且∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝45°；
③若∠AOC＝2∠BOC时，且∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝60°．
故答案为：30°或45°或60°；
（3）由题意得，运动时间范围为：0＜t≤18，则有
①60+20t+10t＝180，解得t＝4
②60+20t+10t＝360，解得t＝10
③60+20t+10t＝180+360，解得，t＝16
综上，t的值为4或10或16；
（4）在整个过程，有如下几个临界点：
当OP、OQ共线时，由（3）知，t＝4或10或16，
当OP为OA的反向延长线时，t9，
当OQ为OA的反向延长线时，t12，
故一共分成6种情况，
①当0＜t≤4时，如图1，
∠AOP＝20t°，∠AOQ＝60°+10t°，
若∠AOQ＝2∠AOP时，∠AOP＝∠AOQ，即20t＝60+10t，解得t＝6（舍去）；
若∠AOP＝2∠AOQ，则20t＝120+20t，无解；
若2∠AOP＝∠AOQ，则40t＝60+10t，解得t＝2，
②当4＜t＜9时，如图2，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内；
③当9≤t＜10时，如图3，
∵∠QOP＝360°﹣60°﹣20t°﹣10t°＝300°﹣30t°，则∠AOQ＝60°+10t°，
若∠POA＝2∠AOQ时，∠QOP＝∠AOQ，则300﹣30t＝60+10t，解得t＝6；
若∠QOP＝2∠AOQ时，则300﹣30t＝120+20t，解得t＝3.6（舍去）；
若2∠QOP＝∠AOQ时，则600﹣60t＝60+10t，解得t（舍去）；
④当10≤t≤12时，如图4，
则∠QOP＝（20°+10°）（t﹣10）＝30t°﹣300°，∠AOP＝360°﹣20t°，
若∠AOQ＝2∠AOP时，∠QOP＝∠AOP，则30t﹣300＝360﹣20t，解得t＝13.2（舍去）；
若∠QOP＝2∠AOP时，则30t﹣300＝720﹣40t，解得t＝14（舍去）；
若2∠QOP＝∠AOP时，则60t﹣600＝360﹣20t，解得t＝12；
⑤当12＜t＜16时，如图5，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内；
⑥当16≤t≤18时，如图6，
则∠QOA＝300°﹣10t°，∠AOP＝360°﹣20t°，
若∠QOP＝2∠AOP时，∠QOA＝∠AOP，则300﹣10t＝360﹣20t，解得t＝6（舍去）；
若∠QOA＝2∠AOP时，则300﹣10t＝720﹣40t，解得t＝14（舍去）；
若2∠QOA＝∠AOP时，则600﹣20t＝360﹣20t，无解；
综上，t＝2或12．