广东省揭阳市惠来县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份广东省揭阳市惠来县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共19页。

2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、学校、班级、姓名、考场号、考场座号.用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑.
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上.
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
5．考生务必保持答题卡的整洁.考试结束时，将答题卡按时交回.
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列各式中，不是不等式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的定义，用不等号连接的式子叫做不等式，据此求解即可．
【详解】解：根据不等式的定义可知，四个式子中只有B选项中的式子不是不等式，
故选：B．
2. 如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选不项符合题意；
故选B．
3. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【详解】解：根据不等式的解集在数轴上的表示方法可知，表示为数轴上表示2的点向右画，用空心圆点，表示为数轴上表示3的点向右画，用实心圆点，
∴C选项的表示正确，
故选：C．
4. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，若添加一个条件后，添加的条件可以是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查添加条件证明全等和平行线的性质，熟练全等三角形的判定依据，根据题意得到，如果添加，则，即可利用证明，如果添加其他选项均为不能证明三角形全等．
【详解】解：∵，
∴，
如果添加，则，得，
∵，
∴，
故选：D．
5. 若，则下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行计算，即可选出正确答案．
【详解】解：A、当时，，故此选项错误；
B、，则成立，故此选项正确；
C、，则，故此选项错误；
D、当时，则，故此选项错误；
故选：B．
6. 已知点在第二象限，则a的取值范围正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得求出a的取值范围即可．
【详解】解：∵平面直角坐标系中的点在第二象限，
∴，
解得：．
故选D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
7. 如图将绕点A顺时针旋转到，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得，，进而可求解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：将绕点A顺时针旋转到，且，
，，
，
故选B．
8. 如图，平分，于点，若．则到的距离是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查角平分线性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．
根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：是的平分线，于点，
点到边的距离等于．
故选：C．
9. 如图，在中，于点D，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等边对等角、垂线的定义、三角形内角和定理等，熟知相关定义与定理是解题的关键．
先利用“等边对等角”与三角形内角和定理求得的度数，再根据求得的度数，最后即可求得的度数．
【详解】∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：A．
10. 如图，在中，，，为中点，且交于点，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
为中点，且交于点，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解是解题的关键．根据不等式组的解及解集可得出m的范围，再范围内选取任一个符合条件的数即可．
【详解】解：关于x的不等式组的解集是，
a的值可以是；
故答案为：3（答案不唯一）
12. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点落在边的延长线上，若，，则线段的长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质：对应线段相等得到，，进而可求解．
【详解】解：由旋转性质得，，
∵，，
∴，
故答案为：5．
13. 如图，在正方形网格中，点、、都在网格线上，且都是小正方形边中点．将的三边、、按照从小到大排列为______（用“<”连接）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了格点正方形与勾股定理，解题关键是将三角形的顶点平移到格点位置上．
将三角形向右平移小正方形边长的一半距离，然后利用勾股定理计算三角形的各边长，最后进行比较大小即可．
【详解】解：如图．将向右水平平移小正方形边长的一半，使三角形各顶点落在正方形格点上．
根据勾股定理得：，
，
．
∵，即，
∴．
故答案为：．
14. 如图所示，一次函数与轴的交点为，交轴于，那么不等式的解集为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数图像的性质即可求解．
【详解】解：一次函数的图像中，函数值随的增大而增大，且与轴的交点为，
∴当时，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，掌握其图像的增减性是解题的关键．
15. 若，则以为边长的等腰三角形的周长为______．
【答案】27
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，确定等腰三角形的腰长是解题关键．根据偶次方和算术平方根的非负性，求出、的值，再根据三角形的三边关系确定腰长，即可得到答案．
【详解】解：，
，，
，，
当为腰长时，，不能构成三角形，
当为腰长时，，可以构成三角形，此时周长为，
故答案为：27．
三、解答题（一）（本大题3小题，共24分）
16. 解不等式：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确利用不等式的性质求出解集是解答本题的关键．
（1）移项，合并同类项即可求解；
（2）先去分母，再去括号、整理，根据不等式的性质求解即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
17. 解不等式组，请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为________．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集．
（1）先将3移到右边，两边再同时除以2即可；
（2）先移项，再合并同类项即可；
（3）根据解集在数轴上的表示方法画图，注意“<”和“>”用空心圆点，“”和“”用实心圆点，
（4）根据数轴找到两个解集的公共部分即为不等式组的解集．
【小问1详解】
解：，
，
故答案：．
【小问2详解】
解：，
，
，
故答案：．
【小问3详解】
解：将不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
【小问4详解】
解：原不等式组的解集：，
故答案为：．
18. 如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
（1）请画出关于轴对称的，点分别对应；
（2）将以为旋转中心，顺时针旋转，点分别对应，谋画出旋转后的图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和轴对称：
（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接即可；
（2）根据网格的特点结合旋转方式，找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. （1）尺规作图：已知一个等腰三角形底边及底边上的高，求作这个等腰三角形．
已知：如图，线段；
求作：，使，且，高．（要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要求写出作法．）
（2）若等腰三角形底边长，底边上的高的长，请求出等腰三角形的腰长为多少．
【答案】（1）作图见解析；（2）
【解析】
【分析】本题考查尺规作图及勾股定理求线段长，涉及尺规作图-中垂线、尺规作图-作相等线段、等腰三角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握基本尺规作图及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键．
（1）根据题意，利用尺规作图，先作线段的中垂线，再以点为圆心，以为半径画弧交中垂线于，连接即可得到答案；
（2）利用等腰三角形三线合一及勾股定理求解极可能得到答案．
【详解】解：（1）如图所示：
即为所求，
（2）∵为等腰三角形，，
，
∵在中，则，
，
．
20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】（1）甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元
（2）该校最多可以购买甲种书40本
【解析】
【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列方程解答即可；
（2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列不等式解答即可．
【小问1详解】
解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
【小问2详解】
解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键．
21. 已知：如图，在中，，点D、E分别在边上，且，与相交于点O．

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角得到，再由得到，由此即可证明；
（2）只需要利用证明即可证明．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
证明：在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22. 如图，在中，是垂直平分线，与边交于点，点在直线上，且，连接．

（1）求证：．
（2）延长与交于点，若．
①求证：是的中点；
②连接，若，则与的数量关系是
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的定义，即可得到，利用等腰三角形等边对等角即可得证；
（2）①延长与交于点，利用“”证得，进而得到，，由等腰三角形“三线合一”的性质即可得证；②连接，，可得是等腰直角三角形，又由，，可得是等腰直角三角形，进而可得，又由，可得，再根据①中结论即可得到．
【小问1详解】
证明：∵是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
①证明：延长与交于点，如图所示：
在与中，
，
∴，
∴，
∴为等腰三角形的角平分线和中线，
∴为的中点．
②解：连接，，如图所示：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半等知识点，垂直平分线上的点到两端点的距离相等；等腰三角形中“等边对等角”和“等角对等边”以及“三线合一”的性质；直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半是解本题的关键．
23. 已知图1是边长分别为a和b的两个等边三角形纸片和三角形叠放在一起（C与重合）的图形．

（1）将绕点C按顺时针方向旋转，连接，．如图2：在图2中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）若将上图中的，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图3：在图3中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：
（3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．
【答案】（1），证明见解析
（2），证明见解析
（3）当为180度时，线段的长度最大，最大值为；当为0度或360度时，线段的长度最小，最小值为．
【解析】
【分析】（1）先由等边三角形判断出，，再由旋转判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）当点在的延长线上时，最大，最大值为，当点在线段上时，最小，最小值为，即可得出结论．
【小问1详解】
解：
证明： 点与重合，和，
和都是等边三角形，
，，
由旋转知，，
在和中，
，
，
，
【小问2详解】
解：，
证明：和都是等边三角形，
，，
由旋转知，，
在和中，
，
，
；
小问3详解】
解：当点在的延长线上时，最大，最大值为，如图，

∴当为180度时，线段的长度最大，最大值为，
当点在线段上时，最小，最小值为，如图，

∴当为0度或360度时，线段的长度最小，最小值为．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键．