江西省吉安市第八中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题

这是一份江西省吉安市第八中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题，共17页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 以下四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3B. 12，13，4C. 8，15，17D. 4，5，6
【答案】C
【解析】
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，不勾股数，故本选项不符合题意；
B、，不勾股数，故本选项不符合题意；
C、 ，是勾股数，故本选项符合题意；
D、，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
2. 在，，，，，，，，（相邻两个之间个数逐次加1），中，无理数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】解：，是整数，属于有理数，
，是分数，属于有理数，
，是有限小数，属于有理数，
无理数有，，（相邻两个之间的个数逐次加1），，共有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无该试卷源自 每日更新，享更低价下载。理数．
3. 一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（ ）．

A. 8B. 10C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为矩形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案．
【详解】如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为矩形的边的中点A到顶点B的距离，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题重点考查圆柱的侧面展开图、勾股定理、平面展开图形﹣最短路径问题的求解等知识与方法，正确地画出图形是解题的关键．
4. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的性质及算术平方根的性质求出a、b，b、c的关系，即可得解．
【详解】解：根据题意得，a2-2ab+b2=0，b-c=0，
解得a=b，b=c，
所以，a=b=c，
所以，△ABC的形状是等边三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
5. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，永折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺） （ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可设折断处离地面的高度是x尺，折断处离竹梢的长度是尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．
【详解】解∶设折断处离地面的高度是x尺，则折断处离竹梢的长度是尺，
由勾股定理可得：，
即：，
解得：
故折断处离地面的高度是4.2尺．
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．
6. 一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根的性质列出关于m的方程，求出m的值即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与,
∴，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平方根的概念，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如图字母B所代表的正方形的边长是______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的图形表示，正方形的面积，根据勾股定理求出字母所代表的正方形的面积，根据正方形的性质计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得字母所代表的正方形的边长，
故答案为：12．
8. 比较大小：______（填，或）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数比较大小，根据无理数的估算方法，比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
9. 的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
10. 一艘轮船以的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 _______．
【答案】26
【解析】
【分析】先算出它们离开港口半小时后各自航行的路程，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知，两艘轮船航行的路线成垂直关系，
它们离开港口半小时后各自航行的路程分别为、，
∴它们离开港口半小时后相距，
故答案为：26．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11. 若，则=______．
【答案】2
【解析】
【详解】∵原二次根式有意义，
∴x−3⩾0，3−x⩾0，
∴x=3，y=4，
∴ .
故答案为.
12. ，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为直角三角形时，t的值为__________．
【答案】4或
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，先由勾股定理求出，当点P与点C重合时，，则，可得；当时，，则，由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴
当点P与点C重合时，，即此时是直角三角形，
∴，
∴；
当时，由题意得，，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为4或，
故答案为：4或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分
13. 计算：
（1）；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，根据二次根式加减运算法则运算；
（2）根据二次根式的性质化简，根据二次根式加减运算法则运算；
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查二次根式的化简和运算；掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
14. 先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式＝
；
a＝-，b＝+，
∴原式
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
15. 如图，四边形是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪．经过测量得知：，，，，．

（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；
（2）求四边形需要铺的草坪的面积．
【答案】（1）直角，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理分析得出答案；
（2）直接利用直角三角形面积求法分析得出答案．
【小问1详解】
解：是直角，理由如下：
连接，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
，
，
是直角三角形，；
【小问2详解】
，
四边形需要铺的草坪的面积为．
【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
16. 已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根．
【答案】的算术平方根是
【解析】
【分析】根据平方根的定义、立方根的定义，无理数的估算，分别求得的值进而代入代数式，根据求一个数的算术平方根进行计算即可求解．
【详解】解：的平方根是，
．
．
是的整数部分，
．
的立方根是，
．
．
．
的算术平方根是．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算，熟练掌握算术平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算是解题的关键．
17. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】符合，理由见解析
【解析】
【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案．
【详解】解：在中，，dm，dm，
由勾股定理，得
因为dm，dm，
所以，
所以，
所以，即，
所以该婴儿车符合安全标准
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 求下列各式中x的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接开平方，得到两个一元一次方程，求解即可；
（2）先移项，然后开立方即可求解．
【小问1详解】
解：或
解得：或
【小问2详解】
解：
【点睛】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
19. 实数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简
【答案】1
【解析】
【分析】先由数轴上a，b两点的位置，判断出a，b的符号，再化简二次根式，立方根，进行运算解答．
【详解】根据数轴可知，，，
则，，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式、立方根的性质与化简以及实数与数轴，解题的关键是熟练掌握运算法则．
20. 如图，将矩形沿对角线翻折，点B落在点F处，交于E．
（1）求证：；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换-折叠的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形面积的计算：
（1）由翻折的性质得：，再结合矩形的性质可得，然后利用证明，即可；
（2）根据全等三角形的性质可得，设，则， 在中，根据勾股定理可得，然后三角形的面积公式计算，即可．
【小问1详解】
证明：由翻折的性质得：，
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
∵在和中，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，即．
∴阴影部分的面积为．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．
（1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由，
（2）若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12．求m的值．
【答案】（1），，这三个数是“完美组合数”，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．
（1）根据“完美组合数”的定义进行求解判断即可；
（2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“完美组合数”的定义进行判断即可．
【小问1详解】
解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵，，，且4，6，12都是整数，
∴，，这三个数是“完美组合数”；
【小问2详解】
解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12，
∴这两个数的乘积为144，
当时，则，
∵，
∴，此时符合题意；
当时，则不符合题意；
综上所述，．
22. 数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）的小数部分是多少，请表示出来．
（2）为的小数部分，为的整数部分，求的值．
（3）已知，其中是一个正整数，，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）21.
【解析】
【分析】（1）估算出的取值范围，进而可得出结论；
（2）估算出和的大致范围，然后可求得、的值，然后再求代数式的值即可．
（3）先求得的值，然后再表示出的值，最后进行计算即可．
【小问1详解】
解：，
，
的小数部分是；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
，
，
．
；
【小问3详解】
解：，
，
，其中是一个正整数，，
．
．
．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，能确定一个无理数的整数部分和小数部分是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23. 如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
（1）当秒时，求的长；
（2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形？
（3）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）
（2）出发时间为秒时，是等腰三角形；
（3）当为5.5秒或6秒或6.6秒时，为等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
（2）由题意得出，即，解方程即可；
（3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形运动时间有三种情况：
①当时（图1），则，可证明，则，则，从而求得；
②当时（图2），则，易求得；
③当时（图3），过点作于点，则求出，，即可得出．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
，
∴；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
即，
解得：；
即出发时间为秒时，是等腰三角形；
小问3详解】
解：分三种情况：
当时，如图1所示：
则，
，
，，
，
，
∴；
，，，
，
，
，
（秒）．
当时，如图2所示：
则，
（秒）．
当时，如图3所示：
过点作于点，
∵，
则，
，
，
，
（秒）．
由上可知，当为秒或6秒或秒时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．