江西省吉安市十校联盟2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份江西省吉安市十校联盟2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 全卷满分120分
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，利用相关运算法则对选项进行运算并判断，即可解题．
【详解】解：A、，故A运算错误，不符合题意；
B、，故B运算错误，不符合题意；
C、，故C运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故选：D．
2. 圆的面积计算公式为（R为圆的半径），变量是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】变量就是在一个变化过程中发生变化的量，数值不发生变化的量是常量，根据定义判断即可．
【详解】解：圆面积计算公式为（R为圆的半径），变量是：R，S．
故选：B．
【点睛】本题考查了常量与变量的定义，属于基础定义题型，正确理解概念是关键．
3. 如图，对于下列条件：；；；其中一定能得到的条件有（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：，∴；
， ∴；
，∴；
，∴；
综上分析可知，一定能得到的条件有，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，灵活运用平行线的判定定理是解题的关键．
4. 下列说法正确的有（ ）
①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了平行公理，垂线以及平行线的性质．根据平行线公理，垂线以及平行线的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：①两直线平行，同位角相等，原说法错误；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行两种，原说法正确；
综上，只有④的说法正确，
故选：A．
5. 如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）

A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据长方形的面积=长×宽，求出长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形的面积是多少，判断出需要A类、B类、C类卡片各多少张即可．
【详解】长为（2a+3b），宽为（a+2b）的长方形的面积为：
（2a+3b）（a+2b）=2a2+4ab+3ab+6b2=2a2+7ab+6b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张．
故选D．
【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
6. 如图，在中，点E是的中点，，，的周长是25，则的周长是（ ）

A. 18B. 22C. 28D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】根据中点得到，再表示出和的周长，找出它们的联系即可．
【详解】∵点E是的中点，
∴，
∵，，
∴的周长，
∴，
∴的周长，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的中线，注意两个三角形周长的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 一种花粉颗粒直径约为0.0000078米，数字0.0000078用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 一个角比它的补角小，则这个角的度数为__________．
【答案】84
【解析】
【分析】设这个角为，利用补角的定义列等式，求出这个角的度数．
【详解】解：设这个角为，则它的补角为，
，
，
这个角的度数为．
故答案为：84．
【点睛】本题考查了补角的定义，解题的关键是掌握补角的定义和角度的换算．
9. 一个长方形的周长为，其中它的长为自变量，宽为因变量，则与之间的关系式为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查列关系式，根据长方形的周长为14列出等式，移项使y在等号左边，其余在等号右边即可．
【详解】解：∵长方形的周长为，长为，宽为，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 若是完全平方式，则m的值为________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据完全平方公式的特点即可解答．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，整理得：或，解得或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查完全平方式，灵活运用完全平方式的特征“首平方，尾平方，首尾两数积的两倍在中央”是解题的关键．
11. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____．
【答案】30
【解析】
【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
故阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD＝AE（BC+BD）
＝（AB﹣BE）（BC+BD）
＝（a﹣b）（a+b）
＝（a2﹣b2）
＝×60
＝30．
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查平方差公式与几何图形和三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积，是解题的关键．
12. 成立的的值为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查的是零指数幂、有理数的乘方，掌握1的任何次幂都等于、1的偶数次幂都等于1、任何不等于零的数的零次幂都等于1是解题的关键．
根据零指数幂的运算法则、有理数的乘方法则计算即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共 5 小题，每小题各 6 分，共 30 分）
13. 计算：
（1）．
（2）用简便方法计算：．
【答案】（1）1 （2）9999
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
（1）先计算乘方，再化简绝对值，最后加减；
（2）把化为，利用平方差公式计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
小问2详解】
解：原式
．
14. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【解析】
【分析】先运用平方差公式和去括号法则计算中括号内的式子，合并同类项再计算除法即可得最简结果，再将，代入进行计算即可得．
【详解】解：原式=
=
=，
将，代入得，原式=．
【点睛】本题考查了平方差公式，合并同类项，解题的关键是掌握这些知识点，准确计算．
15. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作图．

（1）在图①在过点C作的平行线；
（2）在图②中过点C作于E．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的定义，结合网格特点作图可得；
（2）根据垂线的定义，结合网格特点作图即可得．
【小问1详解】
解：如图所示直线即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图所示直线即所求，
.
【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握垂线、平行线的定义．
16. 填空完成以下证明：
已知如图，，，于点H，求证：．
证明：∵（已知），
∴___________．
∵（已知），
∴（ ），
∴∠2=___________（ ）．
∵（已知），
∴∠3=___________（ ），
∴（ ）．
∴___________（ ），
∴．
【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】根据垂直的定义，平行线的性质与判定等知识，结合题目条件填空即可求解．
【详解】证明：（已知），
∴．
∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
∴．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定等知识，熟知相关定理并结合图形与已知条件灵活应用是解题关键．
17. 将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸，按如图所示的方式粘合起来，粘合部分的宽为3cm.
(1)根据题意，将下面的表格补充完整.
（2）直接写出y与x的关系式.
(3）要使粘合后的长方形总面积为1656cm2，则需用多少张这样的白纸?
【答案】（1）图形见解析（2）y=17x+3（3）12
【解析】
【分析】(1)根据纸条的长度变化，可得到答案；
(2)根据纸条的长度变化，可得到答案；
(3)根据面积和宽得到纸条的长，再由自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】(1) 当x=2时，y=20+17=2×17+3=37，
当x=5时，y=5×17+3=88，
故答案为37，88；
根据题意，完成表格如下：
(2)由题意知y与x的关系式为y=17x+3，
故答案为y=17x+3．
(3)1656÷8=207(cm)
当y=207时，17x+3=207，
解得：x=12，
所以，需要12张这样的白纸．
【点睛】此题考查函数关系式，解题关键在于看懂图中数据
四、（本大题共3小题，每小题各 8 分，共24分）
18. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，将阴影部分进行绿化．
（1）用含有的式子表示绿化的总面积；（结果化为最简）
（2）若，求出此时绿化的总面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用长方形的面积减去小路的面积列代数式，然后化简求解即可；
（2）将代入（1）中代数式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得绿化的总面积为
；
【小问2详解】
解：当，
绿化的总面积
．
【点睛】本题考查多项式乘多项式的几何应用、整式的化简求值，理解题意，根据图形，正确列出绿化的总面积的代数式是解答的关键．
19. 如图，△ABC中，∠B=34°，∠ACB=104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
【答案】35°.
【解析】
【分析】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=42°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=21°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE=35°．
【详解】解：在△ABC中，
∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB =42°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=21°．
又∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∵在△ABD中，∠BAD=90°-∠B=56°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=35°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理，一定要熟稔于心．
20. 自行车骑行爱好者小轩为备战中国国际自行车公开赛，积极训练．以下图象是他最近一次在深圳湾体育公园骑车训练，离家的距离与所用时间之间的关系，请根据图象回答下列问题：
（1）途中小轩共休息了______小时；
（2）小轩第一次休息后，骑行速度恢复到第1小时的速度，请求出目的地离家的距离是多少?
（3）小轩第二次休息后返回家时，速度和到达目的地前的最快车速相同，则全程最快车速是_____；
（4）已知小轩是早上7点离开家的，请通过计算，求出小轩到家的时间．
【答案】（1）1.5 （2）
（3）20 （4）13时
【解析】
【分析】（1）根据图象回答即可；
（2）根据图象求出休息后通过的路程，然后加上休息前通过的路程即可；
（3）求出图中的最快车速即可得出答案；
（4）算出小轩回家用的时间，然后求出离开家的总时间，即可得出答案．
【小问1详解】
解：途中小轩共休息了：（小时）；
故答案为：1.5；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
答：目的地离家的距离是；
【小问3详解】
解：，
全程最快车速是，
故答案为：20；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴（时）
答：小轩到家的时间是13时．
【点睛】本题主要考查了根据函数图象获得信息回答问题，解题的关键是数形结合，理解题意．
五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
21. 已知的三边长为，，，且，，都是整数．
（1）化简：；
（2）若．且为偶数．求周长．
【答案】（1）
（2）的周长为或
【解析】
【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可求解；
（2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得的值，根据三角形的三边关系求得的值，进而即可求解．
【小问1详解】
解：∵的三边长为，，，
∴，
∴
，
【小问2详解】
解：∵，
即，
∴，
∴，
解得：，
∴，
即，
∵是偶数，则或，
当时，的周长为，
当时，的周长为，
综上所述，的周长为或．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，因式分解的应用，熟练掌握三角形的三边关系，完全平方公式是解题的关键．
22. 如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．
（1）按小明的思路，求的度数；
（2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系（并画出相应的图形）．
【答案】（1）
（2）；理由见解析
（3）或者，绘图见解析
【解析】
【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质得出，，然后求出，，即可得出答案；
（2）过P作交于E，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）分两种情况当P在延长线上，当P在DB延长线上，分别画出图形，利用平行线的性质和三角形外角的性质求解即可．
【小问1详解】
解：过点P作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
【小问2详解】
解：，理由：
如图2，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：①如图所示，当P在延长线上时，
；
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴；
②如图所示，当P在延长线上时，
；
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴；
综上所述：或者．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，三角形外角的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23. [知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______；
（2）根据（1）中等量关系解决如下问题：若，，求的值；
[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图，写出一个代数恒等式：______；
（4）已知，，利用上面的规律求的值．
【答案】[知识生成]（1）；[知识迁移]（2）14（3）（4）9
【解析】
【分析】[知识生成]（1）观察图大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积；（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．
[知识迁移]（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．（4）利用上题得出得关系式，进行变换，最终求出答案．
【详解】解：[知识生成]（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，可得：，
（2）由题（1）知：，
．
[知识迁移]（3）根据题意得：．
（4）由（3）可知，
把，代入得：
．
．
【点睛】考查了完全平方式的应用，以及对完全平方式进行了知识扩展，考查了学生灵活应变得能力．白纸张数x(张)
1
2
3
4
5
…
纸条总长度y(cm)
20
54
71
…
白纸张数x(张)
1
2
3
4
5
…
纸条总长度y(cm)
20
37
54
71
88
…