江西省上饶市余干县第五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份江西省上饶市余干县第五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共20页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选，多选或未选均不得分．
1. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的乘法运算等知识点，正确化简二次根式是解题的关键．
利用二次根式的性质、立方根的性质、二次根式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A. ，故A选项错误，不符合题意；
B. ，故B选项错误，不符合题意；
C. ，故C选项错误，不符合题意；
D. ，故D选项错误，符合题意．
故选D．
2. 下列四组长度的线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A. B. 1，2，5C. 4，4，4D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理逐项分析即可．
【详解】解：A．，不能构成直角三角形；
B．，不能构成直角三角形；
C．，不能构成直角三角形；该试卷源自 每日更新，享更低价下载。D． ，能构成直角三角形；
故选：D．
3. 如图，在中，，，平分，，垂足为E，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的性质与判定，含的直角三角形的性质．
先证明，从而得出，在中，由，求出的长度即可求出的长度．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
4. 如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
【详解】解：中，（米，
故可得地毯长度（米，
故选：．
5. 如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为（ ）
A. 8B. 9C. 12D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，进行求解即可．
【详解】解：∵，对角线与相交于点O，
∴，，
∵，
∴，
∴，即：的周长为9；
故选B．
6. 如图，正方形的边长为6，点是对角线上一点，且，则的长度为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，连接交于点，由正方形的性质结合勾股定理得出，，由得出，最后再由勾股定理计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接交于点，
正方形的边长为6，
，
对角线、交于点，
，，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 要使根式有意义，则x应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”求解即可．
【详解】根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
8. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2．
【答案】24
【解析】
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．
9. 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为______．

【答案】3
【解析】
【分析】首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得．
【详解】解：如图，在平行四边形中，．
，分别为，的中点，
是的中位线，
．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题过程中是利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度的．
10. 在中，，AD平分交BC于点D．若，，，则点D到AB的距离是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】首先利用勾股定理求出BC的长，从而得出CD的长，再利用角平分线的性质可得答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC==8，
∵BD=5，
∴CD=3，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴CD=DE=3，
∴点D到AB的距离是3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
11. 由点组成的正方形，每条边上的点数与总点数的关系如图所示，则当时，计算的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的三个图形，抽象概括出相应的数字规律，再进行计算即可．
【详解】解：由图可知：
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查图形中数字的规律探究．通过给定的图形，抽象概括出数字规律，是解题的关键．
12. 在的网格中，有、、三个格点，当是直角三角形时，则点的坐标可以是______.
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，也考查了三角形直角三角形的性质，利用三角形直角三角形的性质确定点C的位置即可．
【详解】解：由题意得：当是直角三角形时，则点的坐标可以是或或，
故答案为：或或
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简各式，再计算加减即可；
（2）利用乘法的分配律计算，再化简，计算加减即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
14. 若，都是实数，且，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、平方根等知识点，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．先根据算术平方根的被开方数的非负性求出x的值，再代入可求出y的值，然后根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：由算术平方根的被开方数的非负性得：，
解得，
将代入得：
，
则，
∵49的平方根是，
∴的平方根是．
15. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．

（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为17的正方形（正方形是四条边相等，四个内角都是的四边形）；
（2）在图2中，A、B均为格点，请画出所有格点C，使得．（如果有多个点C，请分别以点，，，…编号）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据要求作一个边长为的正方形即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题即可．
【小问1详解】
解：正方形的面积为17，
所求作正方形的边长为，
如图（1）所示，正方形即为所求，
【小问2详解】
解：如图，点，，即为所求．

16. 某社区开辟了一块四边形空地打造绿化带（阴影部分），如图，现测得且．
（1）试说明；
（2）求绿化带的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理证得是直角三角形，即可求得；
（2）过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论．
【小问1详解】
解：∵中，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，；
【小问2详解】
过点作于点，
在中，，
17. 在四边形ABCD中AB=CB=，CD=，DA=1且ABCB试求四边形ABCD的面积．
【答案】2
【解析】
【分析】连接AC，根据勾股定理求得AC的长，再利用勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角形，最后由S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC即可求得四边形ABCD的面积.
【详解】连接AC，
∵AB⊥CB于B，
∴∠B=90°，
△ABC中，∵∠B=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
又∵AB=CB=，
∴AC=2，
∵CD=，DA=1，
∴CD2=5，DA2=1，AC2=4．
∴AC2+DA2=CD2，
由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC=AB×BC+DA×AC=．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，证得△ACD是直角三角形是解决问题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°,BD=6，
求（1）∠BAD，∠ABC的度数；
（2）求AB，AC的长；
（3）求菱形ABCD面积．
【答案】（1）60°，120°（2）6，6 （3）18
【解析】
【分析】(1)根据菱形的性质AC平分∠DCB，从而得到∠BAD＝∠DCB＝2∠ACD＝60，再求得∠ABC的度数；
(2)由菱形的性质求得OB＝3，在Rt△AOB中，由∠BAO＝30,可得AB＝2OB＝6，再根据勾股定理求得OA的长度，再根据AC＝2AO计算可得;
(3)根据S菱形ABCD＝BD×AC计算可得.
【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，AC平分∠DCB和∠DAB，BD平分∠ABC和∠ADC，∠DCB＝∠DAB，
又∵∠ACD=30°，
∴∠BAD＝∠DCB＝2∠ACD＝60，
∴∠ABC＝180-60=120；
(2)∵BD＝6，
∴OB＝3，
∵AC垂直平分BD，
∴△AOB是直角三角形，
又∵∠BAO＝∠ACD＝30°,
∴AB＝2OB＝6，
∴OA＝，
∴AC＝2OA＝，
（3）S菱形ABCD＝BD×AC＝6×＝18.
【点睛】考查了菱形的性质，勾股定理解三角形，等边三角形的判定和性质等，解题关键是根据菱形的性质得到角与角之间的关系、线段与线段之间的关系.
19. 在中，，D是的中点，过点A作，且，连结．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质、 全等三角形的判定与性质等知识，证明 及是解题的关键．
（1）由是的中点得，则，而，可证明四边形是平行四边形，因为, 所以，则四边形是菱形;
（2）由菱形的性质得，而，可证明, 得，则求得即可解题．
【小问1详解】
证明:∵是的中点，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，
，
在和中，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
∴菱形的面积为．
20. 消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，如图，已知云梯最多只能伸长到米（即米），消防车高米，救人时云梯伸长至最长，在完成从米（即米）高的处救人后，还要从米（即米）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
【答案】这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理应用．由勾股定理求出、的长，即可解决问题．
【详解】解：由题意可得，米，
∵米，米，
∴米，米，
在中，米，
在中，米，
∴米，
答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，阴影部分是一个正方形广场，规划将正方形的四边各延长一倍，即、、、，将M、N、P、Q四点连接，建成新的广场，试问建成的新广场是什么形状，并且它的面积是原广场的多少倍？
【答案】新建的四边形为正方形．新广场的面积是原广场面积的5倍．
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质及正方形的判定的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用．由正方形的性质可以得出，，就可以得出，由条件就可以得出，就可以得出，，就可以得出结论．根据边的关系，即可求出面积比．
【详解】解：新建的四边形为正方形．新广场的面积是原广场面积的5倍．
理由：四边形为正方形，
，，
．
，，，，
，
，
．
在和中
，
，
，，．
，
，
即，
同理可得，，
，
，
四边形为菱形．
，
菱形为正方形．
设原来正方形边长为，则新建的正方形边长为：．
新建的面积是原广场面积的5倍．
22. 已知．
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）代入即可求出和的值；
（2）将原式变形为，代入数值进行计算即可；
（3）先估算出，从而得出，，再代入进行计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
，；
【小问2详解】
解：由（1）得：，，
【小问3详解】
解：，
，即，
，
，
的小数部分是，
，
，的整数部分是，
，
．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F，
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；
(2)根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；
(3)首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠DEP，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE．
【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
又∵ PB=PB，
∴△ABP ≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
(2)解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DCP=∠DEP，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠DEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．