云南省昆明市第十中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份云南省昆明市第十中学教育集团2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷，共19页。

A．B．C．D．
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DCD．AB∥DC，AB＝DC
4．（2分）某校进行广播操比赛，如图是20位评委给某班的评分情况统计图，则该班平均得分（ ）
A．9B．6.67C．9.1D．6.74
5．（2分）为美化环境，毕节市政府计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D，E．测得DE＝26m，则A，B两处的距离为（ ）
A．26mB．36mC．48mD．52m
6．（2分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到该试卷源自 每日更新，享更低价下载。地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）
A．2.4mB．2mC．2.5mD．2.7m
7．（2分）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是（ ）
A．62.5°B．45°C．32.5°D．22.5°
8．（2分）下列命题中，逆命题为真命题的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直
B．矩形的对角线相等
C．平行四边形的对角线互相平分
D．正方形的对角线垂直且相等
9．（2分）如图，在矩形ABCD纸片中，E为AD上一点，将△CDE沿CE翻折至△CFE．若点F恰好落在AB上，AF＝4，BC＝10，则DE＝（ ）
A．5.8B．5C．4.8D．3
10．（2分）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为（ ）
A．x2+32＝（1﹣x）2B．x2+（1﹣x）2＝32
C．x2+（10﹣x）2＝32D．x2+32＝（10﹣x）2
11．（2分）如图，▱ABCD的顶点A（0，4），B（﹣3，0），以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠ABE的内部相交于点F，画射线BF交AD于点G，则点G的坐标是（ ）
A．（5，4）B．（3，4）C．（4，5）D．（4，3）
12．（2分）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ）
A．48B．64C．96D．112
13．（2分）若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则的结果是（ ）
A．a﹣cB．﹣a﹣2b+cC．﹣a﹣cD．﹣a+c
14．（2分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．
15．（2分）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论
①BE⊥AC
②四边形BEFG是平行四边形
③EG＝GF
④EA平分∠GEF
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二.填空题（本大题共4个小题，每题2分，共8分）
16．（2分）代数式中x的取值范围是 ．
17．（2分）为进一步推进素质教育，不断丰富校园文化生活，陶冶艺术情操，展现中学生艺术素质教育成果．10月份某校开展了“奏响时代主题，展现校园风采”为主题的器乐大赛．经过几轮筛选，校团委决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区级器乐比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分）如表所示：
若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择 ．
18．（2分）如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，BA＝BC，写出数轴上点A所表示的数是 ．
19．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，BC＝9，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t＝ 时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？
三.解答题（本大题共8个小题，共62分）
20．（6分）计算：
（1）×；
（2）．
21．（6分）2023年大年初一上映两部电影，其一《满江红》以岳飞抗金为背景，讲述了南宋绍兴年间的历史事件，其二《流浪地球2》为观众展现末日危机下，人类在求生之路过程中的矛盾与冲突、勇气与团结．为了解该校九年级学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．《满江红》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9；抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数：
根据以上信息，解答下列问题．
（1）上述图表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若该校九年级1100名学生都对这两部作品进行打分，请估计这两部作品一共得到多少个满分？
22．（7分）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：∠BAD＝90°，AD＝3m，AB＝4m，BC＝13m，CD＝12m．根据你所学过的知识，解决下列问题：
（1）四边形ABCD的面积；
（2）点D到BC的距离．
23．（7分）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF，连接DE，DF，BE，BF．求证：DF∥BE．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若∠ACB＝60°，平行线AF与BC间的距离为，求菱形ADCF的面积．
25．（8分）小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
a＝＝2﹣，∴a＝2﹣，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：．
（2）若a＝．
①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；
②求a3﹣3a2+a+1的值．
26．（9分）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
（2）若Rt△ABC是可爱三角形，∠C＝90°，，求AB的长．
27．（11分）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：ED＝EF；
（2）若AB＝2，，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．
2023-2024学年云南省昆明十中教育集团八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.单选题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每题2分，共30分）
1．【解答】解：A、＝，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、，是最简二次根式，故此选项正确；
C、＝2，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、＝，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选：B．
2．【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B．，故正确；
C．，故错误；
D．，故错误；
故选：B．
3．【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AD∥BC，AB＝DC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
4．【解答】解：该班平均得分＝9.1（分），
故选：C．
5．【解答】解：∵D，E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，
∵DE＝26m，
∴AB＝52m．
故选：D．
6．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（m），
∴A′B＝AB＝2.5米，
在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝＝＝2（m），
∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），
即小巷的宽为2.7米，
故选：D．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠E＝∠ACE，
∵∠E+∠ACE＝180°﹣45°＝135°，
∴2∠ACE＝135°，
∴∠ACE＝67.5°，
∴∠BCE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠BCE的度数是22.5°，
故选：D．
8．【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题；
B、矩形的对角线相等的逆命题是对角线相等的四边形是矩形，是假命题；
C、平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
D、正方形的对角线垂直且相等的逆命题是对角线垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；
故选：C．
9．【解答】解：设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝BC﹣AE＝10﹣x，
∵△CDE沿CE翻折至△CFE，
∴EF＝DE＝10﹣x，
在Rt△AEF中，AF2+AE2＝EF2，
∴42+x2＝（10﹣x）2，
解得x＝4.2，
∴AE＝4.2，
∴DE＝10﹣4.2＝5.8，
故选：A．
10．【解答】解：∵竹子原高一丈（1丈＝10尺），折断处离地面的高度为x尺，
∴竹梢到折断处的长度为（10﹣x）尺．
依题意得：x2+32＝（10﹣x）2．
故选：D．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AGB＝∠GBC，
由作图可知，BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠GBC，
∴∠ABG＝∠AGB，
∴AG＝AB，
∵A（0，4），B（﹣3，0），
∴OB＝3，OA＝4，
∴AB＝，
∴AG＝5，
∴G的坐标为（5，4），
故选：A．
12．【解答】解：由题意可得，
图2中阴影部分的直角三角形的两条直角边为6和4，中间小正方形的边长为4，
∴S＝×6×4×4+4×4＝48+16＝64，
故选：B．
13．【解答】解：由题意得：
a＜b＜0＜c，
∴b﹣c＜0，
∴
＝|a|+|b|﹣（c﹣b）
＝﹣a+（﹣b）﹣c+b
＝﹣a﹣b﹣c+b
＝﹣a﹣c，
故选：C．
14．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×8＝4，OB＝OD＝BD＝×6＝3，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，
如图所示，连接OP，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，
∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OP，
∴OP＝＝＝，
∴EF的最小值为，
故选：C．
15．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，
又∵BD＝2AD，
∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E 是OC中点，
∴BE⊥AC，
故①正确，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF＝CD，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE＝AB＝AG＝BG
∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，
故③错误，
∵BG＝EF，BG∥EF∥CD
∴四边形BEFG是平行四边形
故②正确
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，
∴AE平分∠GEF，
故选：B．
二.填空题（本大题共4个小题，每题2分，共8分）
16．【解答】解：由题可知，
，
解得x≥﹣2且x≠5．
故答案为：x≥﹣2且x≠5．
17．【解答】解：∵甲、丙同学的平均数比乙、丁同学的平均数大，
∴应从甲和丙同学中选，
∵甲同学的方差比丙同学的小，
∴甲同学的成绩较好且状态稳定，应该选择甲．
故答案为：甲．
18．【解答】解：∵BC＝＝，
则AB＝BC＝，
∵A在原点右侧．
则点A所表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1．
19．【解答】解：由题意知，可分两种情况：
①当CD为平行四边形的边，则P在D点左侧，PD＝6﹣2t，CQ＝t，
∵PD＝CQ，
∴6﹣2t＝t，
解得t＝2；
②当CD为平行四边形的对角线，P在D点右侧，PD＝2t﹣6，CQ＝t，
∵PD＝CQ，
∴2t﹣6＝t，
解得t＝6，
综上所述，当t＝2或6时，以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为：2或6．
三.解答题（本大题共8个小题，共62分）
20．【解答】解：（1）原式＝+﹣2
＝4+﹣2
＝4﹣；
（2）原式＝5﹣2﹣（3﹣2+2）
＝5﹣2﹣3+2﹣2
＝2﹣2．
21．【解答】解：（1）《流浪地球2》调查得分为“10分”所占的百分比为：1﹣10%﹣20%﹣20%﹣＝15%，即a＝15，
《满江红》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝8.5，因此中位数是8.5，即b＝8.5，
满江红和流浪地球调查得分出现次数最多的是8分，共出现7次，因此众数是8，即c＝8，
故答案为：15，8.5，8；
（2）1100×（+15%）＝385（人），
答：这两部作品一共可得到385个满分．
22．【解答】解：（1）如图1，连接BD，
∵∠BAD＝90°，AD＝3m，AB＝4m，
∴BD＝＝＝5（m），
∵52+122＝132，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴S四边形ABCD＝SRt△ABD+SRt△BDC＝AB•AD+BD•CD＝×（4×3+5×12）＝36（m2），
答：四边形土地的面积为36m2；
（2）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，
由（1）可知，△BDC是直角三角形，∠BDC＝90°，
∴S△BDC＝BC•DE＝BD•CD，
∴DE＝＝＝（m），
答：点D到BC的距离为m．
23．【解答】证明：连接BD与AC相交于O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴0A＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DF∥BE．
24．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝DB，
∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝DB，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，且AF＝DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝CD＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）解：作AG⊥BC于点G，则∠AGC＝90°，AG＝4，
∵AD＝CD，∠ACB＝60°，
∴△ACD是等边三角形，∠CAG＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴AC＝2CG，DG＝CG，
∵AG＝＝＝CG＝4，
∴CG＝4，
∴CD＝2CG＝8，
∴S菱形ADCF＝CD•AG＝8×4＝32，
∴菱形ADCF的面积是32．
25．【解答】解：（1）
＝﹣1+++…+
＝﹣1+
＝﹣1+10
＝9；
（2）①a＝＝＝＝+1，
∴a＝+1，
∴（a﹣1）2＝（）2＝2，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴4a2﹣8a﹣1
＝4（a2﹣2a）﹣1
＝4×1﹣1
＝4﹣1
＝3；
②由①知a2﹣2a＝1，
∴a3﹣3a2+a+1
＝a（a2﹣2a）﹣（a2﹣2a）﹣a+1
＝a×1﹣1﹣a+1
＝a﹣1﹣a+1
＝0．
26．【解答】解：（1）①设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2＝2a2，
∴等边三角形一定是“可爱三角形”，
故答案为：是；
②∵，
∴该三角形是“可爱三角形”，
故答案为：是；
（2）∵Rt△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，即BC2＝AB2﹣AC2．
∵Rt△ABC是可爱三角形，，
∴有三种情况：
①AB2+AC2＝2BC2，即AB2+AC2＝2（AB2﹣AC2）．
∴AB2＝3×8＝24．
∴（负值已舍去）；
②AB2+BC2＝2AC2，即AB2+AB2﹣AC2＝2AC2．
∴2AB2＝3×8＝24．
∴（负值已舍去）；
③AC2+BC2＝AB2≠2AB2，此种情况不成立．
综上，AB的长为或．
27．【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
（2）解：如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，
∵EC＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．
（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
甲
乙
丙
丁
平均数
98
96
98
95
方差
0.4
2
1.6
0.4
平均数
众数
中位数
《满江红》
8.2
9
b
《流浪地球2》
7.8
c
8