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北京市第八十中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
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这是一份北京市第八十中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共8页。
班级______ 姓名______ 考号______
（考试时间120分钟 满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．下列叙述中，错误的一项为（ ）
A．棱柱的面中，至少有两个面相互平行B．棱柱的各个侧面都是平行四边形
C．棱柱的两底面是全等的多边形D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
2．已知，则z的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
3．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反B．与的方向相同
C．D．
4．如图正方形OABC边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少cm？（ ）
A．4B．8C．12D．16
5．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）
该试卷源自 每日更新，享更低价下载。A．B．C．D．
6．设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则内的任何直线都与平行
C．若，，则D．若，，则
7．在中，，则是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
8．复数z满足，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且，则z等于______．（写出一个即可）
12．如图，在正方体中，直线与平面ABCD所成角的正切值为______．
13．已知向量，，若，则______．
14．在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边．若，则______．
15．定义运算，则符合条件的复数______．
16．如图，在正四棱柱中，底面ABCD是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面ABCD交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为______．
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．中的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，．
（1）求；
（2）若，点D为边BC上一点，且，求的面积．
18．如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面ABC，．
（1）求证：直线平面PAD；
（2）求证：直线平面PAE；
（3）求直线PD与平面ABC所的成角．
19．如图，在长方体中，E，F分别是线段，BC的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，直线EF与所成角的余弦值是，求四面体的体积．
20．从①，②，③这三个条件中选一个补充在下面的问题中，使问题中的三角形存在，并完成第（1）、（2）问．
问题：在中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______，且，．
（1）求出c的值；
（2）求的面积．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
21．我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为．设维向量的所有向量组成集合．当时，称为“特征向量”，如的“特征向量”有，，，．设和为的“特征向量”，
定义：．（其中）
（1）若，且，，计算，的值；
（2）设，且B中向量均为的“特征向量”，且满足：，当时，为奇数；当时，为偶数，求集合B中元素个数的最大值；
（3）设，且B中向量均为的“特征向量”，且满足：，且时，．写出一个集合B，使其元素最多，并说明理由．
2024.4期中考试数学参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．B 4．D 5．D 6．B 7．A 8．D 9．C 10．D
二、填空题
11．（答案不唯一） 12． 13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．【详解】（1）∵，∴，
在中，由正弦定理得，，
又，∴，∴；
（2）∵，，∴，
由余弦定理得，，则，
化简得，，解得或（负值舍去），
∵，∴，∵，，∴，
∴的面积．
18．【详解】（1）证明：∵正六边形ABCDEF，∴，，
∴，∴，
∵平面PAD，平面PAD，∴直线平面PAD．
（2）在中，，易得，
在中，，，
∴，∴，
因为平面ABC，平面ABC，故，
∵，PA，平面PAE，故直线平面PAE．
（3）∵平面ABC，∴∠PDA即为直线PD与平面ABC所的成角，
在中，，，∴，
∴，即为直线PD与平面ABC所的成角为．
19．【详解】（1）设G为AB的中点，连接EG，FG，则，，
又平面，平面，，平面，
所以平面，平面，
又，EG、平面EFG，
所以平面平面，又平面EFG，
所以平面；
（2）由（1）知，∠GEF是异面直线EF与所成角，所以，
在中，因为，，所以．
因此．
20．【详解】选①：
（1）∵，∴．
∵，∴，．
∵，，∴．
符合，故存在满足条件的．
（2）
选②：
（1）由正弦定理，得，
∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，∴．
由，解得：．
符合，故存在满足条件的．
（2）
21．【详解】解：（1），
；
（2）设，，，，
时，为奇数，则仅有1个1或3个1，
时，为偶数，
①当仅有1个1时，，为使为偶数，
则，即不同时为1，
此时，共4个元素，
②当仅有3个1时，，为使为偶数，
则，即不同时为0，
此时，共4个元素，
③当，时，则，不符题意，舍去，
综上所述，集合B中元素个数的最大值为4；
（3），，
时，，则，
则只有3种情况，，，，且，成对出现，
所以B中最多有个元素，．
班级______ 姓名______ 考号______
（考试时间120分钟 满分150分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．下列叙述中，错误的一项为（ ）
A．棱柱的面中，至少有两个面相互平行B．棱柱的各个侧面都是平行四边形
C．棱柱的两底面是全等的多边形D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
2．已知，则z的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
3．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反B．与的方向相同
C．D．
4．如图正方形OABC边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少cm？（ ）
A．4B．8C．12D．16
5．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）
该试卷源自 每日更新，享更低价下载。A．B．C．D．
6．设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则内的任何直线都与平行
C．若，，则D．若，，则
7．在中，，则是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
8．复数z满足，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且，则z等于______．（写出一个即可）
12．如图，在正方体中，直线与平面ABCD所成角的正切值为______．
13．已知向量，，若，则______．
14．在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边．若，则______．
15．定义运算，则符合条件的复数______．
16．如图，在正四棱柱中，底面ABCD是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面ABCD交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为______．
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．中的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，．
（1）求；
（2）若，点D为边BC上一点，且，求的面积．
18．如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面ABC，．
（1）求证：直线平面PAD；
（2）求证：直线平面PAE；
（3）求直线PD与平面ABC所的成角．
19．如图，在长方体中，E，F分别是线段，BC的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，直线EF与所成角的余弦值是，求四面体的体积．
20．从①，②，③这三个条件中选一个补充在下面的问题中，使问题中的三角形存在，并完成第（1）、（2）问．
问题：在中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______，且，．
（1）求出c的值；
（2）求的面积．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
21．我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为．设维向量的所有向量组成集合．当时，称为“特征向量”，如的“特征向量”有，，，．设和为的“特征向量”，
定义：．（其中）
（1）若，且，，计算，的值；
（2）设，且B中向量均为的“特征向量”，且满足：，当时，为奇数；当时，为偶数，求集合B中元素个数的最大值；
（3）设，且B中向量均为的“特征向量”，且满足：，且时，．写出一个集合B，使其元素最多，并说明理由．
2024.4期中考试数学参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．B 4．D 5．D 6．B 7．A 8．D 9．C 10．D
二、填空题
11．（答案不唯一） 12． 13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．【详解】（1）∵，∴，
在中，由正弦定理得，，
又，∴，∴；
（2）∵，，∴，
由余弦定理得，，则，
化简得，，解得或（负值舍去），
∵，∴，∵，，∴，
∴的面积．
18．【详解】（1）证明：∵正六边形ABCDEF，∴，，
∴，∴，
∵平面PAD，平面PAD，∴直线平面PAD．
（2）在中，，易得，
在中，，，
∴，∴，
因为平面ABC，平面ABC，故，
∵，PA，平面PAE，故直线平面PAE．
（3）∵平面ABC，∴∠PDA即为直线PD与平面ABC所的成角，
在中，，，∴，
∴，即为直线PD与平面ABC所的成角为．
19．【详解】（1）设G为AB的中点，连接EG，FG，则，，
又平面，平面，，平面，
所以平面，平面，
又，EG、平面EFG，
所以平面平面，又平面EFG，
所以平面；
（2）由（1）知，∠GEF是异面直线EF与所成角，所以，
在中，因为，，所以．
因此．
20．【详解】选①：
（1）∵，∴．
∵，∴，．
∵，，∴．
符合，故存在满足条件的．
（2）
选②：
（1）由正弦定理，得，
∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，∴．
由，解得：．
符合，故存在满足条件的．
（2）
21．【详解】解：（1），
；
（2）设，，，，
时，为奇数，则仅有1个1或3个1，
时，为偶数，
①当仅有1个1时，，为使为偶数，
则，即不同时为1，
此时，共4个元素，
②当仅有3个1时，，为使为偶数，
则，即不同时为0，
此时，共4个元素，
③当，时，则，不符题意，舍去，
综上所述，集合B中元素个数的最大值为4；
（3），，
时，，则，
则只有3种情况，，，，且，成对出现，
所以B中最多有个元素，．
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