福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

这是一份福建省龙岩市一级校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟总分：150分）
命题学校：永定一中
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数
A．B．C．D．
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则
A．1B．2C．D．
3.若平面向量与的夹角是180°，且，则
A．B．C．D．
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
5.已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，且，，则
D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分
6.已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量为
A．B．C．D．
7.如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则该试卷源自 每日更新，享更低价下载。
A．19∶8B．2∶1C．17∶10D．16∶11
8.已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若且，则△ABC外接圆面积的取值范围是
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在复数范围内（是虚数单位），下列选项正确的是
A．关于x的方程的解为
B．复数的虚部是5
C．若复数z满足，则
D．已知a，，若是关于x的方程的一个根，则，
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列的结论中正确的是
A．
B．
C．若△ABC是锐角三角形，恒成立
D．若O为△ABC的外心，且，，则
11.如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是
A．三棱锥的体积为定值
B．平面
C．的最小值为
D．当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数（x，），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数 .
13.“圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切（即圆锥的内切球）.已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为，则该圆锥内切球的表面积为 .（容器壁的厚度忽略不计）
14.在四面体ABCD中，，平面，E，F分别为线段AD，BC的中点，现将四面体以AB为轴旋转，则线段EF在平面上投影长度的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知复数（，为虚数单位）.
（1）若为纯虚数，求实数a的值；
（2）若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求a的取值范围.
16.（15分）
已知向量，.
（1）当且时，求；
（2）当，时，求向量与的夹角的余弦值.
17.（15分）
如图，梯形ABCD是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，BF的中点.
（1）证明：平面平面.
（2）若三棱锥C-GBH的体积为，求圆台的侧面积.
18.（17分）
如图1，在平面四边形PABC中，，，.E是线段PC上靠近P端的三等分点，F是线段CD的中点，.将△PDC沿CD折成四棱锥P-ABCD，连接PA，PB，BD，如图2.
图1图2
（1）在图2中，证明：平面BDE.
（2）在图1中，求的值.
19.（17分）
现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.
（1）求出所有可能的三角形的面积.
（2）如图，在平面凸四边形ABCD中，，，，.
①当大小变化时，求四边形ABCD面积的最大值，并求出面积最大时的值.
②当时，△ABD所在平面内是否存在点P，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由.
龙岩市一级校联盟2023—2024学年第二学期半期考联考
高一数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
8.【详解】因为，所以.由余弦定理得，
所以，即，
由正弦定理得，
因为，所以，
则，即.
因为△ABC是锐角三角形，所以，，所以.
又在上单调递增，所以，则.
因为△ABC是锐角三角形，所以，，，
所以，由正弦定理得，所以，所以，
所以外接圆面积.
11.【详解】对于A，定值.
对于B，由平面，平面平面，可得结论正确.
对于C，展开两线段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，由余弦定理可计算的最小值为线段的长度为.
对于D当，C，，P四点共面时，点P在点B处，四面体的外接球即正方体的外接球，故外接球的半径为，所以该球的体积为.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.4
13.
14.
14.【详解】如图，取AC的中点G，AB的中点Q，连接EG，FG，CQ，DO，
∵E，F分别是线段AD和BC的中点，∴，，∵，，∴，，则，，且，CQ，平面CDQ，∴平面CDQ，又平面CDQ，∴，∴，在Rt△EGF中，，
当四面体绕AB旋转时，
∵，平面，平面，
∴平面，GE与GF的垂直性保持不变，且，长度不变.
当CD与平面垂直时，GE在平面上的投影长最短为0，
此时EF在平面上的投影的长取得最小值，最小值为，
当CD与平面平行时，GE在平面上的投影长最长为，
此时EF在平面上的投影的长取得最大值，最大值为，
线段EF在平面上的投影长的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.（本题满分13分）
解：
（1）.
因为为纯虚数，所以，，
所以.
（2）由，
复数所对应的点位于第四象限，
得，解得.
故实数a的取值范围是.
16.（本题满分15分）
解：
（1）向量，，则，.
由，可得，
即，解得或.
又，所以，则，则，
所以.
（2）由，，得.
由，可得，解得，
所以，，，
.
所以向量与的夹角的余弦值为.
17.（本题满分15分）
（1）证明：
∵在梯形ABCD中，，，
∴.
又G为的中点，
∴，
∴.
故四边形为平行四边形，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
∵G，H分别是，BF的中点，
∴.
又平面，平面，
∴平面.
又，平面CGH，平面CGH，
∴平面平面.
（2）解：设由（1）可知，则CG为三棱锥C-GBH的高h.
故，
由，可得，
∴.
又∵，，
∴.
故，
∴.
在Rt△CGB中，.
故圆台的侧面积.
18.（本题满分17分）
（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE（图略）.
∵，
∴，
又，所以，
又∵E是线段PC上靠近P端的三等分点，
∴.
故，
∴，
∵平面BDE，平面BDE，
∴平面BDE.
（2）解：由，可知D，E，M三点共线，P，F，M三点共线.
由P，F，M三点共线，可设（），
∴.
∵F是CD的中点，
∴，
∵E是线段PC上靠近P端的三等分点，
∴，
故，即.
由D，E，M三点共线，可得，解得.
故
19.（本题满分17分）
解：
（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有可能符合情况的三角形的三边长为，3，4和2，，4，
当三角形三边为，3，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值，，.
当三角形三边为2，，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值，，.
（2）①连接BD，由余弦定理知，，
∴，，
∴，
∴.
又，
∴.
又∵，
∴.
∴.
故
，
当且仅当时，，取得最大值，
此时，，
∴，，，，.
②把△APD绕A逆时针旋转60°，如图，则，，连接.
为等边三角形，则，，，，
∴（当且仅当，，P，B共线时取得最小值），
此刻，
∴最小值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
A
B
A
B
D
A
A
D
题号
9
10
11
选项
BC
ACD
ABD