广东省广州市真光中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(无答案)

这是一份广东省广州市真光中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(无答案)，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分：150分 时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题四个选项中，只有1项符合题目要求．
1．计算（ ）
A．B．C．D．
2．复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，且，则实数（ ）
A．B．0C．1D．任意实数
5．已知为不共线向量，且，则（ ）
A．、、三点共线B．、、三点共线
C．、、三点共线D．、、三点共线
6．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．分别以锐角三角形的边为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为，则（ ）
A．B．C．D．
8．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则有．设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。
A．若，则为的重心
B．若，则
C．若，则
D．若为的垂心，则
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
10．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．为钝角三角形
C．若，则的面积是
D．若外接圆半径是，内切圆半径为，则
11．如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（ ）
A．
B．
C．点的坐标为
D．点的坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．若且，则的最小值是______．
13．已知，则______．
14．由正三棱锥截得的三棱台的各顶点都在球的球面上，若，三棱台的高为2，且球心在平面与平面之间（不在两平面上），则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（本题满分13分）已知．
（1）求与的夹角；
（2）若在方向上的投影向量为，求的值．
16．（本题满分15分）在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点．
（1）求、的长；
（2）求的余弦值．
17．（本题满分15分）某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点是半圆的圆心，在圆弧上取点、，使得，把四边形建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段和组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且；
（1）求塑胶跑道的总长关于的函数关系式；
（2）当为何值时，塑胶跑道的总长最长，并求出的最大值．
18．（本题满分17分）已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形．
（1）若该三棱锥的侧棱长为1.且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至画到出发点，求质点移动路程的最小值:
（2）若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积；
（3）若该锥体的体积为定值，设为点在底面的投影，点到的距离为，于点，联结得．求出当三棱锥的表面积最小时，角的余弦值.
19.（本题满分17分）在中，内角，，的对边分别为，，已知
（1）求角；
（2）已知，点，是边上的两个动点（，不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值:
②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如图:
它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用．
现记，请利用该公式，探究是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由．