广西南宁市第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份广西南宁市第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间120分钟，共150分）
一、选择题（本题共8小题，每小题有且仅有一个正确答案，每小题5分，共40分）
1．1．在的展开式中，的系数为（ ）
A．8B．10C．80D．160
2．欧拉公式（e为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（ ）
A．B．1C．D．i
3．直线与圆的位位置关系是（ ）
A．相切B．相离
C．相交且过圆的圆心D．相交且不过圆的圆心
4．已知数列，，，则等于（ ）
A．7B．11C．16D．17
5．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
6．某一地区患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A．0.16B．0.32C．0.42D．0.84
7．在下列四个图象中，其中一个图象是函数的导函数的图像，则（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。
① ② ③ ④
A．B．C．D．
8．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线FA交直线于点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．某单位开展“学习强国”知识答题活动，在5道试题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．在中，，，，则（ ）
A．B．
C．的面积为D．外接圆的直径是
11．正方体的棱长为2，E是校的中点，是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点的轨迹长度为
C．平面与平面所成二面角的正弦值为
D．存在点，使得
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．为落实好乡村振兴计划，某机关工会将李莉，王红等4名工作人员分配到3个乡村去指导工作，要保证每个乡村至少有一名工作人员做指导，其中李莉和王红必须在同一村指导工作，则不同的分配方案种数为__________．（用数字作答）．
13．在某次数学测试中，某校高二年级学生的成绩服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩低于80分的概率是_________．
14．已知函数有两个零点，，则可设，由可知，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理．多项式运算可以更好地理解“韦达定理，类似地，若为方程的3个实数根，设，则为的系数，为的系数，为常数项，于是有，，实际上任意实系数次方程都有类似结论．设方程的四个实数根为，则__________，__________．
四、解答题（本题共6小题，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分共77分，解答应写出文字说明、证明过程和验算步骤）
15．（13分）袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券：若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券：若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．
（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率；
（2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求x的分布列和数学期望；
（3）该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元，若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．
16．（15分）如图，在三棱锥中，平面平面，且，．
（1）证明：平面；
（2）若，点满足，求二面角的大小．
17．（15分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数存在两个零点，求实数的取值范围．
18．（17分）设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）已知直线斜率存在，若AB是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．
19．（17分）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，．
（ⅰ）证明：是等比数列；
（ⅱ）证明：．
南宁二中2023-2024学年度下学期高二期中考试数学答案
1．C【详解】的展开式的通项公式为，其中，当时，可得展开式中的系数为．故选：C．
2．A【详解】由题意．故选：A．
3．C【详解】圆心到直线的距离为，故圆心在直线上，故直线和圆相交且l过圆的圆心．故选：C
4．C【详解】由，，，得，，，，，故选C．
5．D【详解】对于A，函数的最小正周期，A错误；
对于B，由，得函数的图象不关于点对称，B错误；
对于C，由，得函数的图象不关于直线对称，C错误；
对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增，因此函数在区间上单调递增，D正确．故选：D
6．A【详解】此人是癌症患者的概率为．故选：A
7．B【详解】，导函数的图象开口向上．又，不是偶函数，其图象不关于轴对称，故其图象必为图象③．由图象特征知，且对称轴，，则．故选B．
8．D【详解】取右焦点，连接、，作于点，由FA为圆的切线，故，又为中点，故A为MF中点，又，故为FB中点，
，则．
，则，
，由直线为双曲线的渐近线，故有，则
，在中，由余弦定理可得，则
，即，即，化简得．即，故．故选：D．
9．CD【详解】由题意可得，，故A错误，，故B错误，
，，，故C正确，
，故D正确．故选：CD．
10．ABD【详解】，，A正确：又，，由余弦定，，故B正确：且为三角形内角，则的面积为，故C错误；根据正弦定理（其中表示外接圆的半径）得，，即外接圆的直径为，故D正确；故选：ABD．
11．AD【详解】取CD中点，连接BG、EG，则等腰梯形为截面，而，，，故梯形面积为，A正确；取中点，中点N，，连接，则，，故四边形为平行四边形，则得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，，平面，故平面平面，点的运动轨迹为线段MN，其长度为，B错误；因为平面平面且，，即为平面与平面所成二面角，，C错误．取MN的中点F，，，，，D正确：故选AD．
12．6【详解】捆绑法．三个元元素全排列，分配方案有（种），故答案为：6
13．【详解】由，服从正态分布，故，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩低于80分的概率为：．故答案为：．
14．3，．【详解】由，
可得，所以，即，，，，，由题中所给方法知，，，，．
15．解：（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果”为事件，
则（说明：公式1分，结果1分：若公式结果全错，但有设事件，给1分．）
（2）依题意随机变量X的所有可能取值为0，5，10，则，，，所以的分布列为：
（3）略
16．（1）略
（注：求法向量公式正确1分，公式用向量或者方程形式写出均可：法向量正确1分：）
又平面的法向量，
则，（注：公式正确1分，答案正确1分）
又二面角所成角为锐角，所以二面角所成角的余弦值为，二面角的大小为．（注：看到即给1分）
解法2：如图，过作交PA于，过作交AC于，连结MF；（注：图中作出二面角的平面角给1分）
因为平面，所以平面，所以；
因为平面；所以平面；所以；
则平面，所以；
则为所求二面角的平面角；（注：只要指出该角即给1分）
因为，所以为线段PA靠近的三等分点，则为线段AD靠近的三等分点；
经计算得：，；则；
（注：ME，EF长度算对各给1分，若均不对，能指出三等分点给1分）
因为．所以；
所以；即所求二面角为．
17．（1）函数的定义域为，，
若，则恒成立，在递增，无递减区间；
若，由，得：，
令，解得：；令，解得：，
故的单调递减区间为，
，，（一个正确即得9分）
，（数量积公式1分，计算化解1分）
（3）证明：由（Ⅱ）知，（弦长公式1分，计算化解1分）
设直线AB方程为：，设，，联立直线与椭圆
消整理得：，，
，
为定值．
（第二问若设直线方程为，则第二、三问的得分细则可按上面步骤给分）
19、（1）由数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，
可得，解得，
所以；
由数列是公比大于0的等比数列，，，
可得，解得（舍去），
所以．
（2）（ⅰ）证明：因为，，所以，
则，（说明：代入1分，化简结果1分）
所以，
又，所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列；
（ⅱ）证明：设，（说明：得通项1分，放大通项1分）
考虑，则，所以，则，
两式相减可得，，
所以，则，
故．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
C
C
D
A
B
D
CD
ABD
AD
X
0
5
10
P