江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题(无答案)

这是一份江苏省常州市武进区2023-2024学年高二下学期期中质量调研数学试题(无答案)，共4页。

2024.4
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在长方体中，等于（ ）
A．B．C．D．
2．在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分的所有可能取值的和是（ ）
A．8B．10C．12D．14
3．曲线与曲线在处的切线平行，则的减区间为（ ）
A．B．
C．D．
4．四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。
A．有极小值，极大值
B．仅有极小值，极大值
C．有极小值和，极大值和
D．仅有极小值，极大值
7．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在叶上，则跳四次之后停在叶上的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在平行六面体中，，各棱长均为1，则下列命题中正确的是（ ）
A．不是空间的一个基底B．
C．D．平面
10．若随机变量，，为的导函数，若，则下列等式中成立的有（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，其中结论正确的有（ ）
A．函数在上单调递减B．函数在上有一个极大值点
C．当时，函数恒成立D．当时，函数有一个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设离散型随机变量可能的取值为，，0，1，2，，若的均值为，则的值为______．
13．已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为______．
14．设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
已知空间三点，，，设，．
（1）若与互相垂直，求实数的值；
（2）若，，求．
16．（本题满分15分）
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若，且为函数的极小值点，求实数的取值范围．
17．（本题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，是正三角形，平面，为的中点，，，分别是，，上的点，且满足．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由．
18．（本题满分17分）
某电器厂打算处理一批台灯，这些台灯每箱10盏，以箱为单位销售．已知这批台灯中每箱出现的废品只有两种可能：1盏或者2盏，两种可能对应的概率分别为、．假设该台灯正品每盏市场价格为100元，废品不值钱，现每箱处理价格为860元，遇到废品不予更换．现以一箱产品中正品的价格期望大于处理价格作为可以购买的依据．
（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
（2）现允许开箱，从一箱中随机任取2盏进行检验．
①若已知此箱中有2盏为废品，记抽到的废品数为，求的分布列和数学期望；
②若已发现在抽取检验的2盏台灯中，恰有一盏是废品，判断此箱是否可以购买．
19．（本题满分17分）
已知函数，（）
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）令，若存在且时，，证明：．