山东省德州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份山东省德州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共8页。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．设，向量，，若，则（ ）
A．2B．C．D．
2．已知复数满足（i是虚数单位），则（ ）
A．2B．4C．8D．16
3．已知，且，，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
5．若，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，边上的两条中线AM，BN相交于点，则的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
7，数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理，设点O，G，H分别为三角形的外心，重心，垂心，则（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。A．B．
C．D．
8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．设为非零复数（i是虚数单位），下列命题正确的是（ ）
A．若，则为正实数B．若，则
C．若，则D．若，则为纯虚数
10．下列命题中正确的是（ ）
A．若是单位向量，则
B．若，则存在唯一的实数，使得
C．若向量和，满足，，则
D．若向量，，则在方向上投影的数量是
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下命题中正确的是（ ）
A．若，，，则符合条件的三角形有两个
B．若，则为等腰或直角三角形
C．若，则的最小值为
D．若，，边上的高为1，则符合条件的三角形有两个
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，，则___________．
13．若为的外心，且，则___________．
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，且，则___________；若在线段AB上存在动点使得，则xy的最大值为___________．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分13分）
已知为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在实轴上．
（1）求；
（2）设，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的面积．
16．（本小题满分15分）
已知平面上三点A，B，C，且，，．
（1）若A，B，C不构成三角形，求实数应满足的条件；
（2）若为针角三角形，求的取值范围．
17．（本小题满分15分）
已知函数，．
（1）若，求的值；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围．
18．（本小题满分17分）
如图所示，在扇形中，为锐角，四边形是平行四边形，点在弧上，点M，N分别在线段OA，OB上，，，记．
（1）当时，求；
（2）请写出阴影部分的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最小值．
19．（本小题满分17分）
在中，角A，B，C的对边分别为，．
（1）若，求证：；
（2）若，求的最大值．
高一数学试题参考答案
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．D2．A3．C4．B5．D6．B7．D8．A
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．ACD10．BC11．ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．13．014．4，
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．解：（1），
，
因为在复平面上对应的点在实轴上，
所以，
所以，
（2）由（1）知：，，
所以，
所以．
在复平面上对应的点分别为，，，
所以，，
所以，，所以，．
16．解：（1）由题可知，，，
三点A，B，C不构成三角形，得A，B，C三点共线，
所以，解得．
（注：利用求解，同样得分）
（2）当为钝角时，，
所以，解得且，
当为钝角时，，，
，即，
，所以．
当为钝角时，，，
，，无解．
所以或且．
17．解：（1）
，
，，，
所以或，即或，
当时，，
当时，
（2）当时，，
则，即，
令，，
关于的方程在上有解，
即在上有解，
当时，，
由，得，
即实数的取值范围是．
18．解：（1）根据题意，，
因为为锐角，所以，，，四边形是平行四边形，
所以，为等腰三角形，，，
．
（2）由题可知，在中，，，，，
则由正弦定理，
可得，
故可得，，
，，
所以，
，，
当时，，此时取得最小值．
19．解：（1）
由正弦定理得，，，
所以，，所以．
（2），，
又，
所以，
令，
所以，
．
当且仅当取等号，所以的最大值为．