云南省昆明市第一中学西山学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

这是一份云南省昆明市第一中学西山学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了设，则的大小关系为，已知，则，下列命题正确的是，已知函数，若，则的值可以是等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟）
命题人：张红丽 娄慧婷 邢在冰 审题人：张红丽 娄慧婷 邢在冰
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､班级､座位号填写在答题卡及试卷上，并在答题卡的规定位置用2B铅笔准确填涂准考证号.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交予监考教师，试卷自行妥善保管.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合或，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量的夹角为，且，则（ ）
A.1 B.3 C. D.
4.设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则该试卷源自 每日更新，享更低价下载。6.已知，则（ ）
A.2 B.4 C.5 D.6
7.在中，内角的对边分别为，已知，则的最大值为（ ）
A. B. C.3 D.
8.如图所示，棱长为3的正四面体形状的木块，点是的重心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则截面的面积为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是（ ）
A.若复数满足，则或
B.
C.若是方程的一个根，则该方程的另一个根是
D.在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则
10.已知函数，若，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
11.如图，在四边形中，，将沿进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A.始终有
B.当平面平面时，平面
C.当平面平面时，直线与平面成角
D.当平面平面时，三棱锥外接球表面积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，则__________.
13.已知分别为的三个内角的对边，且，则__________.
14.在中，过中线的中点作一条直线分别交于两点，若，，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（满分13分）已知在平面直角坐标系，向量.
（1）求与垂直的单位向量的坐标；
（2）若向量，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
16.（满分15分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，侧面为正方形，求证：
（1）平面；
（2）.
17.（满分15分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象，若，求函数在上的取值范围.
18.（满分17分）在气象台正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.
（1）若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长？（参考数据：）
（2）台风对气象台的影响从开始到结束，线段扫过的面积是多少？
19.（满分17分）如下如图，水平桌面上放置一个透明塑料制成的长方体水槽，水面高度恰为长方体高的一半，在该长方体侧面上有一个小孔点到的距离为3.将该长方体水槽绕倾斜（始终在桌面上，如下如图所示），此时水恰好流出时，液面与棱分别相交于点.
（1）证明：四边形是矩形；
（2）当水恰好流出时，求二面角的大小.
昆一中西山学校2024年春季学期期中考试卷
高一数学参考答案
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.解：，故选A.
2.解：因为，所以，故选D.
3.解：因为，所以，又因为的夹角为，所以，即解得或-1（负值舍去），所以，故选B.
4.解：因为，所以，所以，因为，所以，所以，故选C.
5.解：关于，缺少条件，故错误；
关于与可能异面，故错误；
关于与可能平行，故C错误；
关于，因为，所以，又，记且，则，
所以，所以，故D正确.
6.解：因为，所以原式值为4.选B.
7.解：解法一：在中由余弦定理得：，即，即，当且仅当时，等号成立.即，选C.
解法二：因为，所以的外接圆直径，
所以点在半径为1的的外接圆的优弧上，
则中边上的高的取值范围是，所以，
所以，又因为，所以，即，选C.
8.解：由题意可知，点是的重心，过点作，
分别交于，作交于，
设平面与交于点，
由于平面平面，故平面，
同理平面，即四边形即为截面，
由于平面，平面平面，
平面
故，同理，故四边形为平行四边形，
设为的中点，连接，
则平面
故平面平面
故，而，故，
即平行四边形为矩形，即截面是矩形，
因为点是的重心，则，
故，所以，
故矩形的面积为，即截面的面积为2.故选：B
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.解：对于，若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个点与复数对应，故选项A错误；
对于B，设所对应的向量分别为，由向量加法的几何意义可知，故选项B错误；
对于，根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式知，两个虚数根互为共轭复数，所以若是方程的根，则该方程的另一个根是，故选项C正确；
对于D，若，则复平面内以为邻边的平行四边形是矩形，根据矩形的对角线相等和复数加法､减法的几何意义可知，选项D正确，故选CD.
10.解：由解得或，解得或.
又，所以
当或时，
当时，；
当时，.
由此可知，选ACD.
11.解：在四边形中，由已知可得：.
当平面平面时，平面平面且，
因此可得：平面
又平面，所以.
因为，可得平面，故B正确；
若假设，又，则平面，又平面，所以，与矛盾，故错误；
由平面，则为直线与平面所成的角是，故C正确；
当平面平面时，由选项知，，所以取的中点，有，即为三棱锥外接球的球心，且半径，所以三棱锥外接球表面积，故D正确.故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.解：因为，所以，所以，故答案为1.
13.解：因为由正弦定理得：，所以，所以，因为，所以，，所以，所以.
14.解：因为是中线，所以，又因为是的中点，所以
因为，所以，所以，因为三点共线，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，取到最小值，故答案为.
四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解：（1）设与垂直的单位向量为，则，
解得或，所以或.
（2）因为，所以.
当与反向共线时，，解得.
若与的夹角为钝角，则，即，即，
解得且.所以的取值范围是.
16.解：证明：（1）连接交于点，连接，
因为为的中点，所以，
又因为面面，
所以平面.
（2）因为侧面为正方形，分别为的中点，
所以，所以，
又因为，所以，即，
因为为的中点，所以，
又因为直三棱柱，所以平面，又面，
所以，又，所以平面，又面，
所以，又因为，所以平面，
又面，所以.
17.解：（1）因为，
所以的最小正周期为；
令，则，
所以的单调增区间为.
（2）的图象向左平移个单位长度得到，
再向上平移1个单位长度得到，
所以.令，
因为，
又因为，所以.
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
即函数在上的取值范围是.
18.解：（1）如图，因为，
所以点到直线的距离为，
因为，所以气象台会受到台风的影响.
假设台风中心到达和时，气象台刚好受到台风影响，
则，台风中心在和之间运动时，气象台持续受到影响.
设台风中心距离点，即，
在中，由余弦定理得，
即
即，
解之得，即或480.
所以由题可知，，
所以气象台会在小时后受到影响，影响持续小时.
（2）由题可知台风影响从开始到结束，线段扫过的面积为
（其他方法计算正确，同等给分）
19.解：（1）因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
所以四边形是平行四边形，
因为始终在桌面上，所以，
在长方体中，平面平面，
所以，即，所以四边形是矩形.
（2）由题意知，，水的体积为，
所以，即，所以，
由（1）知，桌面与水面平行，所以二面角即为二面角，
由（1）知，又，所以，
所以即为所求，在直角梯形中，，所以，所以二面角的大小为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
B
C
D
B
C
B
CD
ACD
BCD
题号
12
13
14
答案
1