2023-2024学年北京四中高三（下）段考数学试卷

这是一份2023-2024学年北京四中高三（下）段考数学试卷，共17页。
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.命题“∃x0∈(0,+∞)，lnx0=x0−1”的否定是( )
A. ∃x0∈(0,+∞)，lnx0≠x0−1B. ∃x0∉(0,+∞)，lnx0=x0−1
C. ∀x∈(0,+∞)，lnx≠x−1D. ∀x∉(0,+∞)，lnx=x−1
4.在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2是双曲线C:x2−y22=1的两个焦点，点M在C上，且MF1⋅MF2=0，则△F1F2M的面积为( )
A. 3B. 2C. 5D. 4
5.函数f(x)=2x+x，g(x)=lg2x+x，h(x)= x+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>a>b
6.在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：(x−3)2+(y−4)2=1上的动点.若A(−a,0)，B(a,0)，a≠0，则|PA+PB|的最大值为( )
A. 16B. 12C. 8D. 6
7.在无穷项等比数列{an}中，Sn为其前n项的和，则“{an}既有最大值，又有最小值”是“{Sn}既有最大值，又有最小值”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
8.在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则csA等于( )
A. 3 1010B. 1010C. − 1010D. −3 1010
9.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点F是棱CC1中点，P是侧面BCC1B1上的一点，若D1P⊥AF，则线段D1P长度的最大值是( )
A. 2B. 344C. 32D. 3
10.如图所示为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间内进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间内通过路段AB，BC，CA的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )
A. x1>x2>x3B. x1>x3>x2C. x2>x3>x1D. x3>x2>x1
11.已知等差数列{an}满足a1=2，公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列，则d=______.
12.(x2−1x)6的展开式中的常数项为______.
13.抛物线x2=−4y的焦点到双曲线y23−x2=1的渐近线的距离为______.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α(01a−1，进而得到Sk0)，∴ak+1−ak=ak2n>0，∴数列{ak}为单调递增数列，
∵a1>0，∴ak>0，即数列{ak}各项均为正数，①正确；
对于②，bk+1−bk=1ak+1+n−1ak+n=ak−ak+1(ak+1+n)(ak+n)，
由①知：ak+1+n>0，ak+n>0，ak−ak+1−1n，
∴1ak+1=(1ak+1−1ak)+(1ak−1ak−1)+⋅⋅⋅+(1a2−1a1)+1a1>1a−1，
∴−1ak+1a，x0−lnx0−1>0，令g(x0)=x0−lnx0−1，利用导数证得g(x0)>0，即可得证．
21.【答案】解：(Ⅰ)χ(A)=3，χ(B)=2，χ(C)=1；
(Ⅱ)(a)一方面：对任意的a=(a1,a2,a3,…，a2019，a2020)∈A，
令f(a)=(a1,a2,a3,…，a2019，a2020)，
则d(a,f(a))=|1−2a2020|=10，故d(x,y)≥2，
注意到(0,0,0,0,…，0，0)，(1,1,0,0,…0，0)∈A且它们的距离为2，
故此时A满足题意，
综上，A中元素个数的最大值为22019.
(Ⅲ)当n=2020时，设A⊆Ω2020且χ(A)=3，
设A={x1,x2,…xm}，
任意的xi∈A，定义x的邻域N(xi)={a∈Ω2020|d(a,xi)≤1}，
(a)对任意的1≤i≤m，N(xi)中恰有2021 个元素，事实上
①若d(a,xi)=0，则a=xi，恰有一种可能；，
②若d(a,xi)=1，则 a 与xi，恰有一个分量不同，共2020种可能；
综上，N(xi)中恰有2021个元素，
(b)对任意的1≤i≤j≤m，N(xi)∩N(xj)=⌀，
事实上，若N(xi)∩N(xj)≠⌀，
不妨设a∈N(xi)∩N(xj)，xj=(x1′,x2′,…，x2020′)，
则d(xi,xj)=k=12020|xk−xk′|
≤k=12020(|xk−a|+|a−xk′|)
=k=12020|xk−a|+k=12020|a−xk′|≤2，
这与χ(A)=3，矛盾，由(a)和(b)，
N(x1)∪N(x2)∪…∪N(xm)中共有2021 m 个元素，
但Ω2020中共有22020个元素，
所以2021m≤22020,m≤220202021，
注意到m是正整数，但220202021不是正整数，上述等号无法取到，
所以，集合 A 中的元素个数m小于220202021.
【解析】(Ⅰ)根据x与y的距离d的定义，直接求出d(x,y)的最小值即可；
(Ⅱ)一方面先证明A中元素个数至多有22019个元素，另一方面证明存在集合A中元素个数为22019个满足题意，进而得出A中元素个数的最大值；
(Ⅲ)设A={x1,x2,…xm}，定义x的邻域N(xi)={a∈Ω2020|d(a,xi)≤1}，先证明对任意的1≤i≤m，N(xi)中恰有2021个元素，再利用反证法证明N(xi)∩N(xj)=⌀，于是得到N(x1)∪N(x2)∪…∪N(xm)中共有2021 m个元素，但Ω2020中共有22020个元素，所以2021m≤22020，进而证明结论．
本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
1月1日
7：36
4月9日
5：46
7月9日
4：53
10月8日
6：17
1月21日
7：31
4月28日
5：19
7月27日
5：07
10月26日
6：36
2月10日
7：14
5月16日
4：59
8月14日
5：24
11月13日
6：56
3月2日
6：47
6月3日
4：47
9月2日
5：42
12月1日
7：16
3月22日
6：15
6月22日
4：46
9月20日
5：59
12月20日
7：31
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
日期
升旗时刻
2月1日
7：23
2月11日
7：13
2月21日
6：59
2月3日
7：22
2月13日
7：11
2月23日
6：57
2月5日
7：20
2月15日
7：08
2月25日
6：55
2月7日
7：17
2月17日
7：05
2月27日
6：52
2月9日
7：15
2月19日
7：02
2月28日
6：49
X
0
1
2
P
49
49
19