数学必修 第一册数学建模 建立函数模型解决实际问题学案

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函数的应用——零点与函数模型
一、 函数的零点与方程的解：数形结合
零点的定义：使得的实数 叫做函数的．
由零点的定义可得出
方程的解 函数的零点图象交点的横坐标
这里的寓意已经不言自明：零点问题中，会经常运用数形结合的思想．常见手法归纳如下．
①函数零点个数 方程解的个数图象与 轴的交点个数；
②函数零点个数 方程解的个数图象的交点个数；
③函数的零点个数 方程解的个数的交
点个数．
1.
型
例如：研究的零点个数，可直接观察图象与 轴交点个数．
经典例题
1. 已知函数
的图象与 轴恰有 个不同的交点，则实数 的取值范围
是．
巩固练习
2. 已知
，函数
，若函数
恰有 个零点，则 的取值范围
是．
2.型
例如：研究的零点个数，可转而研究曲线与平行于
轴的直线的交点个数．
经典例题
3. 若函数与直线有 个交点，求 的范围：（ ）．
A.
B. C. D.
4. 已知函数
，若关于 的方程
有三个不等的实根，则实数 的取值范围
是．
巩固练习
5. 若关于 的方程
有三个不相等的实数解，则实数 的值是
．
6. 已知函数，若函数有三个零点，则实数 的取值范围为(
)
A.B.
C.D.
3.
型
函数零点问题与数形结合思想联系得非常紧密．一般来说，应用数形结合需要能作出函数的简图．
如果原函数图象不容易画，为了方便作图和研究，我们有时需要进行移项处理，拆解或构造出新的函
数．
①例如：研究的零点个数时，可移项拆解，转而研究与
的交点个数．
y
–3
–2
–1
5
4
3
2
1
O
–1
1
2
3
4
x5
②例如，，，求方程解的个数，此时移项构造
，整体换元后研究函数的零点，就比较方便．
经典例题
7. 函数
的零点个数是
.
8. 已知函数，函数，其中，若函数
恰有 个零点，则 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
9. 已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数
的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
10. 方程
的解的个数为
．
11. 已知函数，，若有两个不相等的实根，则实数 的取值范
围是（ ）．
A.B.
C.D.
12. 已知函数，，若 存在 个零点，则实数 取值范围
是．
4. 变形优化零点问题
丰富多样的变形手段可使得零点问题的求解变得简洁优美．
例如，讨论研究的零点个数，直接去绝对值固然可以，但 值未知会引发二次函
数的分类讨论，事情就变得麻烦了．可考虑进行参数分离，转而研究与的交点个
数，避开麻烦的分类讨论．(这么做在逻辑上有微许欠缺，请思考完整的做题逻辑是什么．)
又例如，已知与的图象有三个交点，求 的取值范围，这里考虑到
实际问题的特点，临场应变，采取同除的变形方式将问题转化成与的交点
个数，立即一目了然．
经典例题
13. 已知函数
恰有四个零点，则实数 的取值范围为
．
14. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ）．
A. 若，则恒成立
B.
C.
若
若
恒成立，则
，则关于 的方程
有解
D. 若关于 的方程有解，则
巩固练习
15. 若函数
的图象与 轴有且只有一个交点，则满足条件的实数 组
成的集合为．
16. 已知函数
A. 当
时，函数
，则关于
有两个零点
零点叙述正确的是（ ）．
B. 函数必有一个零点是正数
C.
D.
当
当
时，函数
时，函数
有两个零点
只有一个零点
17. 设，若存在实数 ，，使得的定义域和值域都是，则实数
的取值范围为．
5. 复合函数的零点
这类问题需要用到整体换元，化整为零的思维方式．
举例：已知函数，求函数的零点．此题其实也就是解方程．
这种问题切忌研究的解析式或者画出的图象，因为实在太过勉强，说白了难度很大．
解决此类问题的正确姿势是：将复杂方程进行整体换元．这样以化整为零的
方式把复杂方程拆解成两个方程，然后先解下面的方程，得到满足方程的 之后再解上面的方
程即可．在解方程的过程中，注意数形结合思想的运用．
若方程有多个解，那么满足其中任意一
个方程的解，都是整个问题的解．
本例中，对先解方程得出或．然后解方程和，得
出一共四个解．最终题中的零点为．
如果是如下形式“”，那么做法别无二致：换元后得，解出
或，解方程和，得出一共三个解．
如果解方程解不出来，试着去通过数形结合与观察试数，来得出方程的解；如果仍然解不出来，重新看一遍题目，看看题目是否只是问零点的个数，这样的话利用数形结合便可看出零点个数，无需得出精确的解．
经典例题
18. 已知，则函数的零点个数是．
19. 已知函数，若方程恰有 个实根，则实数 的取值
范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
巩固练习
20. 已知函数，下列是关于函数的零点个数的 个判断，其中正
确的是()
A. 当时，有 个零点B. 当时，有 个零点
C. 当时，有 个零点D. 当时，有 个零点
21. 已知，函数
（ 1 ）若函数 有 个零点，求实数 的取值范围．
（ 2 ）若函数 有 个零点，求实数 的取值．
（ 3 ）若函数 有 个零点，求实数 的取值范围．
22. 设定义域为 的函数，若关于 的函数
．
有 个不
同的零点，则实数 的取值范围是．
二、 零点存在定理与二分法
1. 零点存在定理
（一）零点存在定理
背景：数学源于生活而又高于生活．许多抽象的数学道理，其实来源于生活的观察．对函数的图象加以
思考，不难发现这样一件事情：
如果函数图象是一条不断开的连续曲线，并且对于区间，且或反过来且
，则函数在区间必定会有零点．
这样的道理是非常浅显易懂的，它就是零点存在定理的内容．
零点存在定理：一般地，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得
，这个 也就是方程的根．
数学高于生活，体现在数学定义有一些严谨的细节，来精确地刻画某些概念的特点．你是否注意到上述
定理的一些细节？
（二）零点与函数的性质
①零点与函数单调性
运用零点存在定理可估计一个在某区间上单调的函数的零点．
例如，估计的零点：
其一，该函数在 上单调增，所以至多一个零点；
其二，该函数，，据零点存在定理，函数在内有零点．综上
所述函数在区间内有唯一零点．
②零点与函数对称性（奇偶性)
若函数有零点，且函数关于 轴上一点或垂直于 轴的直线对称，则
也是的零点．
③零点与函数周期性
若函数有零点，且函数，则也是的零
点．本结论还可以推广到的类周期函数形式．
经典例题
23. 若
取值范围是（ ）．
A.，
C.，
的两个零点分别在区间
B.，
D.，
，
和区间
，
内，则实数
24. 设函数，．若实数 ， 满足，，则（
）．
A.B.
C.D.
25. 已知函数，若，且
，则（ ）．
A.B.C.D. 随 值变化
26. 已知函数是定义域为 的奇函数，且满足，当时，
，则方程在区间上的解的个数是（ ）．
A.B.C.D.
27. 已知定义域为 的偶函数满足对任意的，有，且当时，
，若函数在上恰有三个零点，则实数 的取值
范围是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
28. 若，则函数的两个零点分别位
于区间（ ）．
A.和内
B.和内
C.和内
D.和内
29. 若函数在区间上存在零点，则实数 的取值范围为()
A.B.
C.D.
30. 函数的零点所在区间是（ ）．
A.B.
C.D.
31. 已知是定义在上的奇函数，且，则函数的零点个数至少为（
）．
A.B.C.D.
32. 已知函数有唯一零点，则 ().
A.B.C.D.
33. 已知函数满足：对任意，，且时，
，若函数恰有 个零点，则 的值是（ ）．
A.B.C.D.
2. 二分法
在估计
的零点的过程中，其实可以进一步得出更精确的解：
取区间中点，得，这样可得出更精确的零点范围．
继续取区间中点，得，得出更精确的零点范围．
以此类推，一直采取同样的操作，可以将零点范围缩小到任意程度，即估计出任何精确度的零点．这种得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考：二分法思想在现实生活中有没有实例？
对于给定的精确度 ，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，验证，给定精确度 ；
（2）求区间的中点 ；
（3）计算 ；
①若，则 就是函数的零点．
②若，则令（此时零点）；
③若，则令（此时零点）．
（4）判断是否达到精确度 ：即若，则得到零点近似值 （或 ），否则重复步骤（2）（3）
（4）．
经典例题
34. 用二分法求方程近似解的过程中，已知在区间上，，，并计算得到
，那么下一步要计算的函数值为（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
35. 用二分法求函数
的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程的一个近似解（精确到 ）是．
三、 函数模型（实际应用）
数学学科描绘了世间万物运转的规律，我们所学的函数，在生活中亦有其投射，如细胞分裂、股票
涨跌、利润最大化等等，这些案例都与函数模型相关联．下面通过一些问题来体会吧！
经典例题
36. 基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均
人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
描述累计感染病例数 随时间 (单位：天)的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足
，有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，
累计感染病例数增加 倍需要的时间约为()
A.天B.天C.天D.天
37. 某种生产设备在购买时费用为 万元，每年的设备管理费用为 万元，这种生产设备的维护费用为第一年 万元，第二年 万元，第三年 万元，以每年 万元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用（ ）年报废最划算．
A.B.C.D.
巩固练习
38. 某食品的保鲜时间 （单位：时间）与储存温度 （单位：℃）满足函数关系
，（
为自然对数的底数， ， 为常数）．若食品在 ℃的保鲜时间设计 小时，在 ℃的
保鲜时间是 小时，该食品在 ℃的保鲜时间是小时．
39. 一个生产公司投资 生产线 万元，每万元可创造利润 万元，该公司通过引进先进技术，在生
产线 投资减少了 万元，且每万元的利润提高了；若将少用的 万元全部投入 生产线，每万
元创造的利润为万元，其中．
（ 1 ）若技术改进后 生产线的利润不低于原来 生产线的利润，求 的取值范围．
（ 2 ）若生产线 的利润始终不高于技术改进后生产线 的利润，求 的最大值．
导图总结
你学会了吗？快来用思维导图总结本节课所学吧！
出门测
40. 已知函数，，则方程解的个数为（ ）．
A.B.C.D.
41. 设函数在区间内有零点，则实数 的取值范围是（ ）．
A.B.
C.D.
42. 已知函数，若关于 的方程恰有五个不相等的实数解，则
的取值范围是．
10