(小升初备考讲义)专题二 中途加减效率的工程问题(讲义)-2023-2024学年六年级数学下册 通用版

这是一份(小升初备考讲义)专题二 中途加减效率的工程问题(讲义)-2023-2024学年六年级数学下册 通用版，共28页。

【考点概况】
工程问题公式
（1）一般公式：工效×工时＝工作总量； 工作总量÷工时＝工效；
工作总量÷工效＝工时．
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几；
1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间．
【注意事项】
用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便
【方法总结】
解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．
【典例分析】
【典例1】一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？
【分析】由题意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率为18，甲单独12天完成，甲的工作效率为112，那么乙的工作效率18-112=124．人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：18x+124×3x＝1，解此方程求出两人的合作时间后，即能求出实际工期为多少天．
【解答】解：18-112=124．
设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：
18x+124×3x＝1，
18x+18x＝1，
14x＝1，
x＝4．
4+4×3
＝4+12，
＝16（天）．
答：这个工程实际工期为16天．
【点评】首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键．
【典例2】师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个．这批零件共有多少个？
【分析】求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间＝多的工作总量÷每小时多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量＝工作效率×工作时间即可解答．
【解答】解：120÷（9﹣5）×（9+5）
＝120÷4×14
＝420（个）
答：这批零件共有420个．
【点评】解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系．
一．应用题（共30小题）
1．一项工程，由师傅单独完成需8天，徒弟单独完成需12天，现在由师傅先做3天，再由两人合作．还需要几天才能完成任务？
2．一项工程每队单独做，甲要15天完成，乙3天完成这项工程的14．现在甲队先做3天，剩下的由甲乙合作完成，还需多少天？
3．某绿化工程，有3个工程队施工．单独完成，甲队要10天，乙队要12天，丙队要15天．若让甲、乙两队先合作2天，余下的由丙队单独做，丙队还要几天才能完工？
4．一项工程，甲队单独完成需要60天．若甲队先单独做18天，则剩余的甲、乙两队合作24天可以完成．乙队单独完成这项工程需要多少天？
5．一项工程，甲单独做要8天完成，乙单独做要12天完成。现在甲乙合作三天后，剩下的由乙完成，乙还要做多少天？
6．一项工程，甲队单独完成需要15天，乙队单独完成需要20天，现在两队合作，乙队中途离开了几天，实际共用12天才完成任务。乙队中途离开了几天？
7．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要30天完成。如果两队先合作9天，剩下的甲队单独做，还需要几天完成？
8．一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做要60天完工。现在，自某年的3月2日两人一起开工，甲每工作3天休息1天，乙每工作5天休息1天，完成全部工程的5275是几月几日？
9．一项工程，单独做，甲要10天完成，乙要15天完成，丙要20天完成。现在三人合作，因工作需要甲中途调走，这项工程从开工到结束共用了6天完成。甲工作了几天？
10．一项工程，甲队单独完成需40天，乙队单独做需60天完成，现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成，那么甲休息了几天？
11．出版社小明和小丽打印一份书稿．小明先打4小时后，完成了全部书稿的15；剩余的书稿他们两人合作6小时打印完成全部书稿．要是小丽单独打印这份书稿要多少小时？
12．一项工程。由甲、乙两队合作6天可以完成。现在由乙队先做3天，剩下的工作由甲队做8天可以完成。如果全部由乙队单独做，需要多少天完成？
13．一项工程，甲队10天完成了全部工程的12，乙队单独做30天完成，两队合作，甲队因事休息5天，两队合作完成全部工程共要多少天？
14．修一段地铁，如果单独完成，甲工程队要10天，乙工程队要15天，丙工程队要30天．现在三个工程队共同工作，甲中途调走，结果比三个工程队合作多用了1天完成．甲工作了几天？
15．一部书稿，甲单独打字需60天完成，乙单独打字需50天完成．已知甲每周日休息，乙每周六、周日休息．如果两人合作，从2018年4月23日（周一）开始打字，那么几月几日可以完成这部书稿？
16．一项工作，单独完成，甲需要20天，乙需要30天．现在两人先合作，之后甲因生病没有工作，结果共用了18天才完成任务．甲做了多少天？休息了多少天？
17．一项任务，甲队单独20天完成，乙队单独24天完成，丙队单独30天完成，甲队先做5天后，剩下的由三个队合作完成。全部任务的报酬是6000元，三个队按照完成的工作量进行报酬分配，甲队应该得多少元？
18．师徒二人合作完成一项工程，由于配合得好，师傅的工作效率比独干时提高了110，徒弟的工作效率比独干时提高了15，两人合作6天完成了全部工程的25，接着徒弟又单干了6天，这时这项工程还有1330没有完成。如果这项工程由师傅一个人单独完成需要多少天？
19．一项工程，若甲乙合作需12天完成，如果甲先做6天，剩下的由乙单独做需20天．这项工程由乙单独做需要几天？
20．一件工程，甲独做要40天完成，乙独做要30天完成．现在两人一起开工，甲每工作2天休息1天，乙每工作3天休息1天．当完成全部工程的50%时共用了多少天？
21．甲、乙、丙三人4天合作一项工程的13，4天内，甲休息了2天，乙休息了3天，甲干3天等于丙1天，乙干2天等于丙1天，问三人合作完成整项工作要多少天？
22．一项工程，甲队独做需要10天完成，乙队独做需要15天完成．现在两队合作3天后，乙队因故离开，留下甲队独自做，还需几天完成？
23．打一份稿件，甲单独打6小时可以完成，乙单独打5小时可以完成．现由甲、乙两人合打，在合作的过程中，甲因事离开了一段时间，这样4小时完成了打字任务，问甲因事离开了多长时间？
24．一项工程，甲单独做需要12天，乙单独做需要16天，现在甲、乙两人合作，期间甲休息了3天，而乙因事请假8天，则甲、乙从开始到完工一共用了多少天？
25．某地要建筑一条公路，甲工程队单独做需要10天完成，乙工程队单独做需要15天完成，如果两队合作他们的工作效率要降低，甲队只能完成原来的五分之四，乙队只能完成原来的十分之九，现在计划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽可能少，那么两队要合作多少天？
26．甲乙两个队伍完成一项工程修地铁，甲队150天修完，乙队180天修完，在维修的过程中甲队干5天休息2天，乙队干6天休息1天，问甲乙合作几天完成？
27．一项工作，甲单独做需要12小时完成，乙单独做需要24小时完成．如果甲先做3小时后，剩下的甲、乙两人合作，还需多长时间才能完成？
28．一项工作，甲单独做要10小时完成，乙单独做要15小时完成，丙单独做要20小时完成．三人合作工作，期间甲有事离开一段时间，从开工到完工共用了6小时．甲在合作期间离开多少时间？
29．甲、乙两人共同完成一项工程．甲、乙合作6天完成工程的23，剩下的由乙单独做8天完成，两人共获得3000元的工资．按完成的工作量的多少分配，甲、乙各应得多少元工资？
30．一项工作，甲单独做12天完成，乙单独做15天完成．两人合作，中途甲因有事调走，因此10天才能完成任务．甲比乙少做了几天？
参考答案
一．应用题（共30小题）
1．一项工程，由师傅单独完成需8天，徒弟单独完成需12天，现在由师傅先做3天，再由两人合作．还需要几天才能完成任务？
【答案】见试题解答内容
【分析】把这项工程看作单位“1”，师傅单独完成需8天，平均每天完成这项工程的18；徒弟单独完成需12天，平均每天完成这项工程的112；现在由师傅先做3天，师傅3天完成了这项工程的（18×3），再求出剩下这项工程的几分之几，然后根据合作的时间＝工作量÷工作效率和，据此列式解答．
【解答】解：（1-18×3）÷（18+112）
＝（1-38）÷524
=58×245
＝3（天）
答：还需要3天才能完成任务．
【点评】此题考查的目的是理解掌握工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系及应用．
2．一项工程每队单独做，甲要15天完成，乙3天完成这项工程的14．现在甲队先做3天，剩下的由甲乙合作完成，还需多少天？
【答案】见试题解答内容
【分析】把这项工程看作单位“1”，甲队单独做需要15天完成，平均每天的工作效率是115，乙队3天完成这项工程的14．平均每天的工作效率是14÷3=112，先求出甲队3天完成的工作量，再求出剩下的工作量，然后用剩下的工作量除以甲、乙两队每天的工作效率和即可．
【解答】解：14÷3=112
（1-115×3）÷（115+112）
＝（1-15）÷320
=45×203
=163（天）
答：还需要163天完成．
【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量看作单位“1”，再利用它们的数量关系解答．
3．某绿化工程，有3个工程队施工．单独完成，甲队要10天，乙队要12天，丙队要15天．若让甲、乙两队先合作2天，余下的由丙队单独做，丙队还要几天才能完工？
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可知，用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几；单独完成，甲队要10天，乙队要12天，丙队要15天则他们的工作效率分别是110、112、115，甲、乙两队先合作2天完成总工程的（110+112）×2=1130，所以余下1-1130=1930，余下的由丙队单独做根据工作总量÷工效＝工时可知 1930÷115=192．
【解答】解：（110+112）×2=1130，
1-1130=1930，
1930÷115=192（天）
答：丙队还要192天才能完工．
【点评】首先根据题意求出甲、乙、丙的工作效率，然后根据工作总量÷工效＝工时可计算而得．
4．一项工程，甲队单独完成需要60天．若甲队先单独做18天，则剩余的甲、乙两队合作24天可以完成．乙队单独完成这项工程需要多少天？
【答案】见试题解答内容
【分析】把这项工程看作“1”，根据“工作效率=工作量工作时间”，甲的工作效率是160．根据“工作量＝工作效率×工作时间”，甲队先单独做18天的工作量是160×18，用总工作量减甲先单独完成的工作量就是甲、乙合作的工作量，用甲、乙合作的工作量除以合作的工作时间就是合作的工作效率，合作的工作效率减甲的工作效率就是乙的工作效率，再根据“工作时间＝工作量÷工作效率”即可求出乙单独工作的时间．
【解答】解：（1﹣18×160）÷24
＝（1-310）÷24
=710÷24
=7240
1÷（7240-160）
＝1÷180
＝80（天）
答：乙队单独完成这项工程需要80天．
【点评】此题是考查工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系．求出乙的工作效率是关键，也是难点．
5．一项工程，甲单独做要8天完成，乙单独做要12天完成。现在甲乙合作三天后，剩下的由乙完成，乙还要做多少天？
【答案】4.5天。
【分析】把总工作量看作“1”，根据“工作效率=工作总量工作时间”分别求出甲、乙的工作效率，再根据“工作量＝工作效率×工作时间”，用甲、乙的工作效率之和乘3就是甲、乙合作完成的工作量，用原工作量减已完成的工作量就是剩下的工作量，再根据“时间＝工作量÷工作效率”，用剩下的工作量除以乙的工作效率。
【解答】解：[1﹣（18+112）×3]÷112
＝[1-524×3]÷112
＝[1-1524]÷112
=924÷112
＝4.5（天）
答：剩下由乙单独做还要4.5天完成。
【点评】此题属于工作问题。把总工作量看作“1”，然后根据工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系即可解答。
6．一项工程，甲队单独完成需要15天，乙队单独完成需要20天，现在两队合作，乙队中途离开了几天，实际共用12天才完成任务。乙队中途离开了几天？
【答案】8天。
【分析】根据题意可知，甲队没有休息，一共做了12天。根据工作总量＝工作效率×工作时间，即可求得甲队的工作总量，再用单位“1”减去甲队的工作总量就等于乙队的工作总量，再根据工作时间＝乙队工作总量÷乙队的工作效率，即可求出乙实际做了多少天，最后用12天减去乙队的工作时间，即可求解。
【解答】解：115×12=45
1-45=15
15÷120=4（天）
12﹣4＝8（天）
答：乙队中途离开了8天。
【点评】本题的关键是根据工作时间＝工作量÷工作效率，求出乙的工作时间，再用共用的时间减去乙的工作时间即可。
7．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要30天完成。如果两队先合作9天，剩下的甲队单独做，还需要几天完成？
【答案】5天。
【分析】根据工作总量＝工作时间×工作效率，求出两队先合作9天一共完成了多少的工作量，用单位“1”减去两队合作9天的工作总量，用剩下的工作总量除以甲队的工作效率，即可求得。
【解答】解：130+120=112
112×9=34
1-34=14
14÷120=5（天）
答：还需要5天完成。
【点评】本题考查知识点：依据工作时间、工作效率以及工作总量之间数量关系解决问题。
8．一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做要60天完工。现在，自某年的3月2日两人一起开工，甲每工作3天休息1天，乙每工作5天休息1天，完成全部工程的5275是几月几日？
【答案】3月24日。
【分析】把工作总量看成单位“1”甲的工作效率是：150，乙的工作效率是160；甲每工作3天休息1天，共4天，乙每工作5天休息1天，共6天；4和6的最小公倍数为12，同时工作，第12天同时休息，也就是每12天为1个周期，此时甲工作9天，乙工作10天，完成工作量是：150×9+160×10；用全部工作的5275除以每个周期完成的工作量，求出需要几个周期，进而求解。
【解答】解：3+1＝4（天）
5+1＝6（天）
4与6的最小公倍数是12
也就是每12天为1个周期，此时甲工作9天，乙工作10天，完成工作量是：
150×9+160×10=2675
5275÷2675=2（周期）
12×2＝24（天）
由于每个周期的最后一天是共同休息，所以只需要：
24﹣1＝23（天）
因为是3月2日两人一起开工，所以3月24日完成全部工作的5275
答：完成全部工作的5275时是3月24日。
【点评】找出他们工作时间的周期性规律，求出一个周期的工作量，进而求出需要的时间，要注意每个周期的最后一天是休息的时间，所以工作时间要比24天少1天。
9．一项工程，单独做，甲要10天完成，乙要15天完成，丙要20天完成。现在三人合作，因工作需要甲中途调走，这项工程从开工到结束共用了6天完成。甲工作了几天？
【答案】3天。
【分析】把这项工程的总工作量看作“1”，根据“工作效率=工作量工作时间”，即可分别求出甲、乙、丙的工作效率。根据“工作量＝工作效率×工作时间”，用乙、丙的工作效率之和乘6就是乙、丙完成的工作量，用“1”减乙、丙完成的工作量，就是甲完成的工作量。再根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，用甲完成的工作量除以甲的工作效率，就是甲工作的天数。
【解答】解：[1﹣（115+120）×6]÷110
＝[1-760×6]÷110
＝[1-710]÷110
=310÷110
＝3（天）
答：甲工作了3天。
【点评】此题属于简单的工程问题。关键是工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系。
10．一项工程，甲队单独完成需40天，乙队单独做需60天完成，现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成，那么甲休息了几天？
【答案】见试题解答内容
【分析】将这项工程的总量当作单位“1”，则甲的工作效率为140、乙的工作效率为160，在这过程中，乙27天始终在工作，则乙单独完成了这项工程的160×27=920，所以甲工作了总量的1-920=1120，再除以甲的工作效率，求出甲工作时间，即1120÷140=22天，那么甲休息了27﹣22＝5天．
【解答】解：27﹣[（1-160×27）÷140]
＝27﹣[（1-920）×40]
＝27﹣[1120×40]
＝27﹣22
＝5（天）
答：甲休息了5天．
【点评】明确这一过程中乙没有休息，求出乙27天工作总量占总工程量的分率后，进而求出甲的工作总量占总工程量的分率是完成本题的关键．
11．出版社小明和小丽打印一份书稿．小明先打4小时后，完成了全部书稿的15；剩余的书稿他们两人合作6小时打印完成全部书稿．要是小丽单独打印这份书稿要多少小时？
【答案】12小时。
【分析】把一份书稿工作总量看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，用小明先打4小时完成的工作总量15除以4求出小明的工作效率，因为小明一共工作了4+6＝10（小时），根据工作效率×工作时间＝工作总量，用小明的工作效率乘10求出小明10小时的工作总量，再用工作总量单位“1”减去小明10小时的工作总量，求出小丽6个小时的工作总量，再用小丽6个小时的工作总量除以6求出小丽的工作效率，最后用工作总量单位“1”除以小丽的工作效率就是小丽单独打印这份书稿要多少小时。
【解答】解：15÷4×（4+6）
=120×10
=12
（1-12）÷6=112
1÷112=12（小时）
答：小丽单独打印这份书稿要12小时。
【点评】本题考查了比较复杂的工程问题，关键是理解这一份稿件是小明10个小时和小丽6个小时完成，再分别求出他们各自的工作效率。
12．一项工程。由甲、乙两队合作6天可以完成。现在由乙队先做3天，剩下的工作由甲队做8天可以完成。如果全部由乙队单独做，需要多少天完成？
【答案】15。
【分析】把这项工程看作单位“1”，由甲、乙两队合作6天可以完成，由此可知甲、乙两队平均每天完成这项工程的16，现在由乙队先做3天，剩下的甲队做8天完成，相当于甲乙合作3天，甲队再单独做（8﹣3）天，正好完成这项工程，根据工作量＝工作效率×工作时间，求出甲乙合作3天的工作量，进而求出甲单独做（8﹣3）天的工作量，进而求出甲的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，求出由乙队单独完成这项工程，一共需要多少天。据此解答。
【解答】解：（1-16×3）÷（8﹣3）
＝（1-12）÷5
=12×15
=110
1÷（16-110）
＝1÷115
＝1×15
＝15（天）
答：需要15天完成。
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率。
13．一项工程，甲队10天完成了全部工程的12，乙队单独做30天完成，两队合作，甲队因事休息5天，两队合作完成全部工程共要多少天？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，利用公式：工作效率＝工作总量÷工作时间，先求甲的工作效率：12÷10=120，然后根据题意可知，乙单独做了5天，剩下的工程由甲乙合作完成，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，进行计算即可．
【解答】解：12÷10=120
1÷30=130
1-130×5=56
56÷（120+130）=56÷112=10（天）
10+5＝15（天）
答：两队合作完成全程工程共要15天．
【点评】本题主要考查简单的工程问题，关键利用工作总量、工作效率和工作时间之间的关系做题．
14．修一段地铁，如果单独完成，甲工程队要10天，乙工程队要15天，丙工程队要30天．现在三个工程队共同工作，甲中途调走，结果比三个工程队合作多用了1天完成．甲工作了几天？
【答案】见试题解答内容
【分析】把总工作量看作单位“1”，三个工程队共同工作需要1÷（110+115+130）＝5（天）；根据“甲中途调走，结果比三个工程队合作多用了1天完成”可知完成这项工程实际用了6天．因此甲完成的工作量是1﹣（115+130）×6=25；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，求出修这条路甲队工作了几天即可．
【解答】解：1÷（110+115+130）＝5（天）
5+1＝6（天）
[1﹣（115+130）×6]÷110
＝[1-35]÷110
=25÷110
＝4（天）
答：甲工作了4天．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率；解答此题的关键是求出甲一共修了这条路的几分之几，进而求出甲工作了几天．
15．一部书稿，甲单独打字需60天完成，乙单独打字需50天完成．已知甲每周日休息，乙每周六、周日休息．如果两人合作，从2018年4月23日（周一）开始打字，那么几月几日可以完成这部书稿？
【答案】见试题解答内容
【分析】把书稿的字数看作单位“1”，乙每周六、周日休息，那么两人合作时，一星期就合作5天，先求出两人合作5天完成书稿字数占总字数的分率，再求出甲1天完成书稿字数占总字数的分率，进而求出两人一周完成工作量，然后依据工作时间＝工作总量÷工作效率，求出完成任务需要的时间，最后用现在的日期加需要的时间（注意需要减去开始的一天以及最后一天）即可解答．
【解答】解：（160+150）×5+160=11300×5+160
=1160+160
=15，
1÷15×7﹣1﹣1
＝5×7﹣1﹣1
＝35﹣1﹣1
＝34﹣1
＝33（天）
2018年4月23日+33天＝2018年5月26日
答：5月26日可以完成这部书稿．
【点评】解答本题的关键是求出完成这部书稿需要的时间．
16．一项工作，单独完成，甲需要20天，乙需要30天．现在两人先合作，之后甲因生病没有工作，结果共用了18天才完成任务．甲做了多少天？休息了多少天？
【答案】见试题解答内容
【分析】乙单独做要30天，两人合作，乙做了18天，完成了130×18=1830=35，甲完成了1-35=25；那么，甲做的天数为25÷120=8（天），进一步求出甲休息的天数．
【解答】解：甲做了：
（1-130×18）÷120
＝（1-35）÷120
=25÷120
＝8（天）
甲休息了：
18﹣8＝10（天）．
答：甲做了8天，休息了10天．
【点评】此题解答的关键是先求出乙18天完成的任务，进而求出甲完成的任务，进一步求出甲做的天数和休息的天数，解决问题．
17．一项任务，甲队单独20天完成，乙队单独24天完成，丙队单独30天完成，甲队先做5天后，剩下的由三个队合作完成。全部任务的报酬是6000元，三个队按照完成的工作量进行报酬分配，甲队应该得多少元？
【答案】3300元。
【分析】把这项任务的总工作量看作“1”，根据“工作效率=工作量工作时间”，即可分别求出甲、乙、丙三队的工作效率，根据“工作量＝工作时间×工作效率”即可求出甲队先做5天的工作量，用总工作量减甲队已做的工作量就是剩下的工作量，根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，即可求出剩下工作量甲、乙、丙三队合作完成需要的天数。进而求出甲队先后工作的天数，再进而求出甲队先后工作的天数占总工作量的几分之几，然后根据分数乘法的意义，用报酬钱数（6000元）乘甲队完成的工作量所占的分率就是甲队应该得到的钱数。
【解答】解：（1-120×5）÷（120+124+130）
＝（1-14）÷18
=34÷18
＝6（天）
6000×5+620
＝6000×1120
＝3300（元）
答：甲队应该分得3300元。
【点评】解答此题的关键是根据工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系求出甲队完成5天剩下的工作量，再求出甲、乙、丙三队合作完成所需要的天数，进而求出甲完成总工作量的几分之几，然后根据分数乘法意义解答。
18．师徒二人合作完成一项工程，由于配合得好，师傅的工作效率比独干时提高了110，徒弟的工作效率比独干时提高了15，两人合作6天完成了全部工程的25，接着徒弟又单干了6天，这时这项工程还有1330没有完成。如果这项工程由师傅一个人单独完成需要多少天？
【答案】33。
【分析】师徒两人合作6天完成了全部工程的25，还剩下全部工程的35；接着徒弟又单独干了6天，这时这项工程还有1330未完成，因此徒弟单独干6天完成了全部工程的1-25-1330=16，即徒弟每天完成全部工程的136；师徒合作时徒弟的效率为136×（1+15）=130，则六天徒弟完成了全部工程的15，那么师傅在六天内完成了全部工程的15，则此时师傅的效率为130，从而师傅单干时的效率130÷（1+110）=133，于是如果这项工程由师傅一人单独完成需要33天。
【解答】解：徒弟独做6天完成：1-25-1330=16
徒弟独做的效率为：16÷6=136
师徒合作时徒弟的效率为：136×（1+15）=130
师傅单干时的效率：130÷（1+110）=133，
师傅单独做需要的时间：1÷133=33（天）
答：这项工程由师傅一人做33天完成。
【点评】此题主要考查工程问题的解题思路，灵活运用关系式解决。
19．一项工程，若甲乙合作需12天完成，如果甲先做6天，剩下的由乙单独做需20天．这项工程由乙单独做需要几天？
【答案】见试题解答内容
【分析】把这项工程的总量看作单位“1”，先表示出甲乙的工作效率和1÷12=112，“甲先做6天，剩下的由乙单独做需20天”相当于二人合作6天，剩余工作由乙单独做：20﹣6＝14（天）．用工作总量减去二人合作6天的工作量，再除以乙单独做的天数，就是乙的工作效率，然后用1除以乙的工作效率，就是乙单独做需要的天数．
【解答】解：1÷[（1﹣1÷12×6）÷（20﹣6）]
＝1÷[（1-12）÷14]
＝1÷128
＝28（天）
答：这项工程由乙单独做需要28天．
【点评】本题主要考查简单的工程问题，关键利用工作总量、工作时间和工作效率的关系做题．
20．一件工程，甲独做要40天完成，乙独做要30天完成．现在两人一起开工，甲每工作2天休息1天，乙每工作3天休息1天．当完成全部工程的50%时共用了多少天？
【答案】见试题解答内容
【分析】把工作总量看成单位“1”甲的工作效率是：140，乙的工作效率是130；甲每工作2天休息1天，共3天，乙每工作3天休息1天，共4天；3和4的最小公倍数为12，同时工作，第12天同时休息，也就是每12天为1个周期，此时甲工作8天，乙工作9天，完成工作量是：140×8+130×9；用全部工作的50%除以每个周期完成的工作量，求出需要几个周期，进而求解．
【解答】解：2+1＝3（天），
3+1＝4（天）；
3与4的最小公倍数是12；
也就是每12天为1个周期，此时甲工作8天，乙工作9天，完成工作量是：
140×8+130×9
=15+310
=12
50%÷12=1（周期）；
12×1＝12（天）；
由于每个周期的最后一天是共同休息，所以只需要：
12﹣1＝11（天）．
答：当完成全部工程的50%时共用了11天．
【点评】找出他们工作时间的周期性规律，求出一个周期的工作量，进而求出需要的时间，要注意每个周期的最后一天是休息的时间，所以工作时间要比12天少1天．
21．甲、乙、丙三人4天合作一项工程的13，4天内，甲休息了2天，乙休息了3天，甲干3天等于丙1天，乙干2天等于丙1天，问三人合作完成整项工作要多少天？
【答案】见试题解答内容
【分析】由于甲干3天等于丙1天，乙干2天等于丙1天，将丙的工作效率当作单位“1”，则甲、乙、丙三人的效率比是13：12：1＝2：3：6，又4天干了整个工程的13，4天内，甲休息了2天，乙休息了3天，则甲、乙、丙三人的工作量比是4：3：24，则丙1天干了整个工程的13×244+3+24×14=231，甲1天干了整个工程的293，乙1天干了整个工程的131，所以此后三人合作还需要（1-13）÷（231+293+131）天完成，则将此工程前后共用了4+（1-13）÷（231+293+131）天。
【解答】解：13：12：1＝2：3：6
4天内，甲休息了2天，乙休息了3天，则甲、乙、丙三人的工作量比是4：3：24，
丙1天干了整个工程的13×244+3+24×14=231，
甲1天干了整个工程的293，
乙1天干了整个工程的131，
4+（1-13）÷（231+293+131）
＝4+23÷1193
＝4+6211
＝9711（天）
答：三人合作完成整项工作要9711天。
【点评】本题主要考查工程问题，关键利用工作总量、工作效率和工作时间之间的关系做题．
22．一项工程，甲队独做需要10天完成，乙队独做需要15天完成．现在两队合作3天后，乙队因故离开，留下甲队独自做，还需几天完成？
【答案】见试题解答内容
【分析】将这项工程的工作量当作单位“1”，则甲队的工作效率为110，乙队的工作效率为115；两队合作3天后还剩下这项工程的1﹣（110+115）×3=12，再根据工作量÷工作效率＝工作时间，解答即可．
【解答】解：[1﹣（110+115）×3]÷110
＝[1-12]÷110
=12÷110
＝5（天）
答：还需要5天完成任务．
【点评】先根据甲、乙的工作效率和求出甲、乙两队合作3天后剩下的工作量是完成本题的关键．
23．打一份稿件，甲单独打6小时可以完成，乙单独打5小时可以完成．现由甲、乙两人合打，在合作的过程中，甲因事离开了一段时间，这样4小时完成了打字任务，问甲因事离开了多长时间？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，甲的工作效率为：1÷6=16，乙的工作效率为：1÷5=15，由题意知，乙工作了4小时，其余为甲干的．所以甲工作时间为：（1-15×4）÷16=65（小时），然后用4小时减掉甲工作的时间，即甲离开的时间．
【解答】解：4﹣（1-15×4）÷16
＝4-15÷16
＝4-65
=145（小时）
答：甲因事离开了145小时．
【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系再解答．
24．一项工程，甲单独做需要12天，乙单独做需要16天，现在甲、乙两人合作，期间甲休息了3天，而乙因事请假8天，则甲、乙从开始到完工一共用了多少天？
【答案】见试题解答内容
【分析】假设这项工作总量是“1”，甲、乙从开始到完工一共用了x天，则甲实际工作（x﹣3）天，乙实际工作（x﹣8）天，根据工作总量，工作时间，工作效率之间的关系，列出方程进而解决问题．
【解答】解：假设甲、乙从开始到完工一共用了x天，则甲实际工作（x﹣3）天，乙实际工作（x﹣8）天，
112×(x-3)+116×(x-8)=1
4x-1248+3x-2448=1
4x﹣12+3x﹣24＝48
7x＝84
x＝12
答：则甲、乙从开始到完工一共用了12天．
【点评】工程问题：一般解题方法就是“归一法”，根据工作总量，工作时间，工作效率之间的关系，列出方程进而解决问题．
25．某地要建筑一条公路，甲工程队单独做需要10天完成，乙工程队单独做需要15天完成，如果两队合作他们的工作效率要降低，甲队只能完成原来的五分之四，乙队只能完成原来的十分之九，现在计划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽可能少，那么两队要合作多少天？
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意得，甲的工效为110，乙的工效为115，甲乙的合作工效为110×45+115×910=750，可知甲乙合作工效＞甲的工效＞乙的工效．又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，8天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成．只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”．所以可设合作时间为x天，则甲独做时间为（8﹣x）天，由此可得等量关系式：110×（8﹣x）+750=1，解此方程即可．
【解答】解：两队合作工效为110×45+115×910=750，设合作时间为x天，则甲独做时间为（8﹣x）天，
可得方程：110×（8﹣x）+750x＝1，
45-110x+750x＝1
250x=15
x＝5
答：两队要合作5天．
【点评】明确要使两队合作的天数尽可能少就要让效率快的甲队尽量多做是完成本题的关键．
26．甲乙两个队伍完成一项工程修地铁，甲队150天修完，乙队180天修完，在维修的过程中甲队干5天休息2天，乙队干6天休息1天，问甲乙合作几天完成？
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出他们实干的天数，然后再加上相隔的天数，就是最后用的天数．
【解答】解：1÷（1150×5+1180×6）×5+2×15
＝1÷（130+130）×5+30
＝1÷115×5+30
＝15×5+30
＝75+30
＝105（天）
105﹣1＝104（天）
答：甲、乙合作105天可以完成．
【点评】本题以一个组工作的天数进行计算即可，因为他们一个工作周期的工作量是相等的。注意休息的天数。
27．一项工作，甲单独做需要12小时完成，乙单独做需要24小时完成．如果甲先做3小时后，剩下的甲、乙两人合作，还需多长时间才能完成？
【答案】见试题解答内容
【分析】把这项工程看作单位“1”，甲单独做需要12小时完成，平均每天完成这项工作的112；乙单独做需要24小时完成，平均每天完成这项工作的124；根据工作效率×工作时间＝工作量，求出甲3小时完成了这些工作的几分之几，再求出还剩下这项工作的几分之几，然后根据合作的时间＝工作量÷工作效率和，据此列式解答．
【解答】解：（1-112×3）÷（112+124）
＝（1-14）÷18
=34÷18
=34×8
＝6（小时）
答：还需6小时才能完成．
【点评】此题考查的目的是理解掌握工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系及应用．
28．一项工作，甲单独做要10小时完成，乙单独做要15小时完成，丙单独做要20小时完成．三人合作工作，期间甲有事离开一段时间，从开工到完工共用了6小时．甲在合作期间离开多少时间？
【答案】见试题解答内容
【分析】本期是把工作总量看作单位1．由题意可知，可以求出甲、乙、丙的工作效率．整个过程用6个小时完工，但甲中间办事暂停了一段时间，那么丙和乙是从开始到结束都在工作，由此可求出乙、丙6小时的工作量的和．从1里减去乙、丙的工作量的和，就是甲独做的工作量，由此，就可求出甲暂停的时间．
【解答】解：6﹣【1﹣（115+120）×6】÷110=6-310÷110=6﹣3＝3（小时）答：甲中间暂停了3小时．
【点评】解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．
29．甲、乙两人共同完成一项工程．甲、乙合作6天完成工程的23，剩下的由乙单独做8天完成，两人共获得3000元的工资．按完成的工作量的多少分配，甲、乙各应得多少元工资？
【答案】见试题解答内容
【分析】由“甲、乙合做6天完成工程的23，剩下的由乙独做8天完成”可知乙8天完成1-23=13，乙的工作效率为（1-23）÷8=124，乙6天完成124×6=14；甲6天完成工程的23-14=512．那么两人完成工作量的比是：512：(13+14)=5：7．然后按比例分配的方法，解决问题．
【解答】解：乙的工效：（1-23）÷8=124
乙6天完成的工作量：124×6=14
甲6天完成工作量：23-14=512
甲乙完成工作量的比：512：(13+14)=5：7
3000÷（5+7）＝250（元）
250×5＝1250（元）
250×7＝1750（元）
答：按完成的工作量的多少分配，甲应得1250元，乙应得1750元．
【点评】本题比较难，关系复杂，求得两人完成工作量的比，是解答此题的关键．
30．一项工作，甲单独做12天完成，乙单独做15天完成．两人合作，中途甲因有事调走，因此10天才能完成任务．甲比乙少做了几天？
【答案】见试题解答内容
【分析】把这项工作看作单位“1”，甲单独做12天完成，每天完成这项工作的112；乙单独做15天完成．每天完成这项工作的115；乙做了10天，首先根据工作效率×工作时间＝工作量，求出乙10天完成这项工作的几分之几，再求出甲完成了这项工作的几分之几，然后根据工作时间＝工作量÷工作效率，求出甲做了多少天，最后用10天减去甲做的天即可．
【解答】解：10﹣（1-115×10）÷112
＝10﹣（1-23）÷112
=10-13×12
＝10﹣4
＝6（天）
答：甲比乙少做了6天．
【点评】此题考查的目的是理解掌握工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系及应用．