2024年甘肃省武威市凉州区古城九年制学校教研联片中考三模数学试题+

这是一份2024年甘肃省武威市凉州区古城九年制学校教研联片中考三模数学试题+，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共30分）
1．（3分）实数﹣3的相反数是（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a2b﹣3ba2＝0B．3a+2b＝5ab
C．2x3+3x2＝5x5D．5y2﹣4y2＝1
3．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动到点（﹣3，2），…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2022，0）B．（﹣2022，0）C．（﹣2022，1）D．（﹣2022，2）
4．（3分）为了解一批牛奶的重量，从中抽取10袋牛奶分别称出重量，此问题中，10袋牛奶的重量是（ ）
A．个体B．总体C．样本D．都不对
5．（3分）如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的邻补角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90°B．180°C．210°D．270°
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE＝3，ED＝3BE，则AB的值为（ ）
A．6B．5C．2D．3
7．（3分）如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
A．10cmB．4πcmC．D．
8．（3分）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于（ ）
A．50°B．80°C．90°D．100°
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
10．（3分）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE＝8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B的俯角∠ECB＝45°，那么，旗杆AB的高度是（ ）
A．（+8）mB．（8+8）mC．（8+）mD．（8+）m
二、填空题（共24分）
11．（3分）设M＝2x﹣2，N＝3x+3，若2M﹣N＝2，则x的值是 ．
12．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在AB的延长线上，∠EDF＝120°，若BF＝9，BE＝2，则AC＝ ．
14．（3分）分解因式：2a2+a＝ ．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连结BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连结BF与EF，BF交对角线AC于点G，过点C作CH∥QF交BE于点H，连结AH．以下四个结论：
①BQ＝QF；②△DEF周长为8；③∠BQG＝∠BEF，④线段AH的最小值为2﹣2．其中正确的结论是 ．（填序号）
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm．
17．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥y轴，C、D在y轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为 ．
18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，E为AC上一点，EF⊥BC于F，CD与EF交于点G，若CF＝2EG，则tan∠BCD的值是 ．
三、计算题（共8分）
19．（8分）（1）计算：8sin260°+tan45°﹣4cs30°；
（2）解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10．
四、作图题（共6分）
20．（6分）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．
（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1，并写出A1的坐标为 ；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2：1；
（3）若点D（a，b）在线段OA上，直接写出变化（2）后点D的对应点D2的坐标为 ．
五、解答题（共52分）
21．（6分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．
求证：OE垂直平分BD．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．
23．（6分）一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．
24．（8分）如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．
（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；
（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．
25．（8分）如图，⊙O与Rt△ABC的一条直角边BC相交于点D，与另一条直角边AC相切于点E，过点E作EF⊥AB于点F，求证：EC＝EF．
26．（8分）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有 名；
（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为 ，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
27．（10分）如图所示，直线l：y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式．
（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD＝6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共30分）
1．（3分）实数﹣3的相反数是（ ）
A．﹣B．C．3D．﹣3
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：C．
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a2b﹣3ba2＝0B．3a+2b＝5ab
C．2x3+3x2＝5x5D．5y2﹣4y2＝1
【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A正确；
B、不是同类相不能合并，故B错误；
C、不是同类相不能合并，故C错误；
D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D错误；
故选：A．
3．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动到点（﹣3，2），…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2022，0）B．（﹣2022，0）C．（﹣2022，1）D．（﹣2022，2）
【解答】解：动点P的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，每个循环向左运动4个单位，
∵2022÷4＝505……2，
∴第2022次运动时，点P在第506次循环的第2次运动上，
∴横坐标为﹣（505×4+2）＝﹣2022，纵坐标为0，
∴此时P（﹣2022，0）．
故选：B．
4．（3分）为了解一批牛奶的重量，从中抽取10袋牛奶分别称出重量，此问题中，10袋牛奶的重量是（ ）
A．个体B．总体C．样本D．都不对
【解答】解：10袋牛奶的重量是样本．
故选：C．
5．（3分）如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的邻补角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90°B．180°C．210°D．270°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠BAE+∠AED+∠EDC＝540°﹣180°＝360°，
∵∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的邻补角，
∴∠1+∠BAE＝180°，
∠2+∠AED＝180°，
∠3+∠EDC＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠BAE+∠AED+∠EDC＝180°×3＝540°，
∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠2+∠3+∠BAE+∠AED+∠EDC﹣（∠BAE+∠AED+∠EDC）＝540°﹣360°＝180°．
故选：B．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE＝3，ED＝3BE，则AB的值为（ ）
A．6B．5C．2D．3
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE：ED＝1：3，
∴BE：OB＝1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB＝OA，
∴OA＝AB＝OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵AE⊥BD，AE＝3，
∴AB＝＝2，
故选：C．
7．（3分）如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
A．10cmB．4πcmC．D．
【解答】解：点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，
∵∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝＝5cm，CA1＝3cm，
∴点A翻滚到A2位置时共走过的路径长＝+＝π（cm）．
故选：C．
8．（3分）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于（ ）
A．50°B．80°C．90°D．100°
【解答】解：∵∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝100°．
故选：D．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【解答】解：∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴EF∥DB，
∴AH＝HO，
∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AO＝CO，
∴CH＝3AH，
∴＝．
故选：C．
10．（3分）如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE＝8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B的俯角∠ECB＝45°，那么，旗杆AB的高度是（ ）
A．（+8）mB．（8+8）mC．（8+）mD．（8+）m
【解答】解：在△EBC中，有BE＝EC×tan45°＝8，
在△AEC中，有AE＝EC×tan30°＝，
∴AB＝8+（米）．
故选：D．
二、填空题（共24分）
11．（3分）设M＝2x﹣2，N＝3x+3，若2M﹣N＝2，则x的值是 9 ．
【解答】解：∵M＝2x﹣2，N＝3x+3，
∴2M﹣N＝2（2x﹣2）﹣（3x+3）＝4x﹣4﹣3x﹣3＝x﹣7，
∵2M﹣N＝2，
∴x﹣7＝2，
∴x＝9，
故答案为：9．
12．（3分）若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是 a≥2 ．
【解答】解：由＞，得：x＜2，
由﹣3x＞﹣2x﹣a，得：x＜a，
∵不等式组的解集为x＜2，
∴a≥2，
故答案为：a≥2．
13．（3分）如图，在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在AB的延长线上，∠EDF＝120°，若BF＝9，BE＝2，则AC＝ ．
【解答】解：取AB中点N，连接DN，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝AB，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠DCF＝180°﹣60°＝120°，
∵点D为AC的中点，点N为AB的中点，
∴CD＝AC，DN是△ABC的中位线，
∴DN＝BC，DN∥BC，
∴ND＝CD，∠NDC＝180°﹣60°＝120°＝∠EDF，∠END＝180°﹣60°＝120°，
∴∠NDE＝∠CDF，∠END＝∠DCF，
在△END和△FCD中，
，
∴△END≌△FCD（ASA），
∴DE＝DF，NE＝CF，
∴NE＝BE+AB＝CF，
∴BF＝BC+CF＝BC+BE，
∴BF﹣BE＝BC，
∵BF＝9，BE＝2，
∴BC＝＝AC，
故答案为：．
14．（3分）分解因式：2a2+a＝ a（2a+1） ．
【解答】解：2a2+a＝a（2a+1），
故答案为：a（2a+1）．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点O是对角线AC的中点，点Q是线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连结BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交CD于点F，分别连结BF与EF，BF交对角线AC于点G，过点C作CH∥QF交BE于点H，连结AH．以下四个结论：
①BQ＝QF；②△DEF周长为8；③∠BQG＝∠BEF，④线段AH的最小值为2﹣2．其中正确的结论是 ①②④ ．（填序号）
【解答】解：∵BQ⊥FQ，
∴∠FQB＝∠BCD＝90°，
∴点B，点C，点F，点Q四点共圆，
∴∠QFB＝∠QCB＝45°，∠QBF＝∠QCF＝45°，
∴∠QBF＝∠QFB，
∴BQ＝FQ，故①正确；
如图，延长DA至N使AN＝CF，连接BN，
∵CF＝AN，∠BAN＝∠BCF＝90°，AB＝BC，
∴△ABN≌△CBF（SAS），
∴BF＝BN，∠ABN＝∠CBF，
∵∠QBF＝45°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∵∠ABE+∠ABN＝45°，
∴∠EBN＝∠EBF＝45°，
又∵BE＝BE，BF＝BN，
∴△BEF≌△BEN（SAS），
∴EF＝EN，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+EN＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝8，故②正确；
∵CH∥FQ，
∴∠BHC＝∠BQF＝90°，
∴点H在以BC为边的圆上运动，
如图，以BC为直径作圆，取BC的中点P，连接AP，PH，
∴BP＝2＝HP，
∴AP＝＝＝2，
在△AHP中，AH＞AP﹣HP，
∴当点H在AP上时，AH有最小值为2﹣2，故④正确；
如图，连接EG，
∵∠DAC＝∠QBF＝45°，
∴点A，点B，点F，点E四点共圆，
∴∠BAC＝∠BEG＝45°，
∴∠BEG＝∠EBF＝45°，∠EGB＝90°，
∴EG＝BG，
∴BE＝BG，
∵∠BEG＝∠BFQ＝45°，
∴点E，点F，点G，点Q四点共圆，
∴∠BQG＝∠BFE，∠BGQ＝∠BEF，故③不正确．
故答案为：①②④．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 π cm．
【解答】解：连接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD＝AB＝×6＝3（cm），
∴的长＝＝π（cm）．
故答案为：π．
17．（3分）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥y轴，C、D在y轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为 3 ．
【解答】解：∵点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥y轴，
∴设A（m，），B（m，），
∴AB＝﹣＝，
∴S▱ABCD＝•m＝3，
故答案为：3．
18．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，E为AC上一点，EF⊥BC于F，CD与EF交于点G，若CF＝2EG，则tan∠BCD的值是 ．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
过点A作AH⊥BC与H，则∠CAH+∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠CAH，
∵EF⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠CAH＝∠CEF，
∴∠BCD＝∠CEF，
设CF＝x，GF＝y，
∵CF＝2EG，
∴，则，
则，，
∵∠BCD＝∠CEF，
∴tan∠BCD＝tan∠CEF，即，整理得：2x2＝xy+2y2
即：，令，
则2＝t+2t2，解得（负值舍去），
∴．
故答案为：．
三、计算题（共8分）
19．（8分）（1）计算：8sin260°+tan45°﹣4cs30°；
（2）解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝
＝；
（2）∵x（2x﹣5）＝4x﹣10，
∴x（2x﹣5）＝2（2x﹣5），
∴x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
∴（x﹣2）（2x﹣5）＝0，
∴x﹣2＝0或2x﹣5＝0，
解得．
四、作图题（共6分）
20．（6分）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．
（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1，并写出A1的坐标为 （1，﹣3） ；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2：1；
（3）若点D（a，b）在线段OA上，直接写出变化（2）后点D的对应点D2的坐标为 （﹣2a，﹣2b） ．
【解答】解：（1）如图所示：△OA1B1即为所求；A1的坐标为（1，﹣3）；
（2）如图所示：△OA2B2即为所求；
（3）∵作△OAB的位似图形△OA2B2，新图与原图相似比为2：1，且D（a，b），
∴点D的对应点D2的坐标为（﹣2a，﹣2b）；
故答案为：（﹣2a，﹣2b）．
五、解答题（共52分）
21．（6分）如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．
求证：OE垂直平分BD．
【解答】证明：在△AOB与△COD中，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形AECD是菱形，
∴OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE，
∵△ACD的周长为36，
∴AC＝36﹣AD﹣CD＝36﹣10﹣10＝16，
∴OA＝OC＝8，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝6，
∴DE＝2OD＝12，
∴菱形AECD的面积＝AC•DE＝×16×12＝96．
23．（6分）一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．
【解答】解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．
由题意，得 （30﹣2x）（20﹣2x）＝264．
整理，得 x2﹣25x+84＝0．
解方程，得 x1＝4，x2＝21（不符合题意，舍去）．
答：剪掉的正方形的边长为4cm．
24．（8分）如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．
（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；
（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．
【解答】解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置，
∴△APB≌△CEB，
∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，
以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图，
∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ，
∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，
∴S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形PBE＝﹣
＝12π；
（2）连PE，
∴△APB≌△CEB，
∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴∠BEP＝45°，PE＝4，
∴∠PEC＝135°﹣45°＝90°，
∴PC＝＝＝9．
25．（8分）如图，⊙O与Rt△ABC的一条直角边BC相交于点D，与另一条直角边AC相切于点E，过点E作EF⊥AB于点F，求证：EC＝EF．
【解答】证明：连接OE，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠AEO，
∴BC∥OE，
∴∠CBE＝∠BEO，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠BEO，
∴∠CBE＝∠EBF，
∵EF⊥AB，
∴CE＝EF．
26．（8分）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有 60 名；
（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为 90° ，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
【解答】解：（1）本次被调查的学生共有：9÷15%＝60（名）；
（2）B项目的人数有：60﹣9﹣12﹣24＝15（人），
图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝90°；
补全统计图如下：
（3）根据题意列表如下：
由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好小华和小艳被抽中的情况有2种．
则恰好小华和小艳被抽中的概率是＝．
27．（10分）如图所示，直线l：y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式．
（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD＝6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵直线l：y＝3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣1，0），B（0，3）；
∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）．
设直线BD的解析式为：y＝kx+b，
∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，
∴，
解得k＝﹣1，b＝3，
∴直线BD的解析式为：y＝﹣x+3．
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵点B（0，3）在抛物线上，
∴3＝a×（﹣1）×（﹣3），
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．
（2）抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）．
直线BD：y＝﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x＝2，得y＝1，
∴M（2，1）．
设对称轴与x轴交点为点F，则CF＝FD＝MF＝1，
∴△MCD为等腰直角三角形．
∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，
∴△BND为等腰直角三角形．
如答图1所示：
（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，
∴N1（0，0）；
（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，
∵OB＝OD＝ON2＝3，
∴N2（﹣3，0）；
（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，
∵OB＝OD＝ON3＝3，
∴N3（0，﹣3）．
∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．
（3）方法一：
假设存在点P，使S△PBD＝6，设点P坐标为（m，n）．
（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝n，DE＝m﹣3．
S△PBD＝S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE＝（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n＝6，
化简得：m+n＝7 ①，
∵P（m，n）在抛物线上，
∴n＝m2﹣4m+3，
代入①式整理得：m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m1＝4，m2＝﹣1，
∴n1＝3，n2＝8，
∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；
（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：
过点P作PE⊥y轴于点E，则PE＝m，OE＝﹣n，BE＝3﹣n．
S△PBD＝S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE＝（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m＝6，
化简得：m+n＝﹣1 ②，
∵P（m，n）在抛物线上，
∴n＝m2﹣4m+3，
代入②式整理得：m2﹣3m+4＝0，△＝﹣7＜0，此方程无解．
故此时点P不存在．
综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD＝6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．
方法二：
假设存在点P，使S△PBD＝6，
过点P作直线l平行BD，则l与BD的距离为d，
∵BD＝＝3，
∴S△PBD＝BD×d，
∴d＝2，
∵BD与y轴夹角为45°，
∴BB′＝4，
∴将BD上移或下移4个单位，
①上移4个单位，l解析式为：y＝﹣x+7，
∵y＝x2﹣4x+3，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣1，
②下移4个单位，l解析式为y＝﹣x﹣1，
∵y＝x2﹣4x+3，
∴x2﹣3x+4＝0，Δ＜0，∴此方程无解，
综上所述，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．
小华
小光
小艳
小萍
小华
（小光，小华）
（小艳，小华）
（小萍，小华）
小光
（小华，小光）
（小艳，小光）
（小萍，小光）
小艳
（小华，小艳）
（小光，小艳）
（小萍，小艳）
小萍
（小华，小萍）
（小光，小萍）
（小艳，小萍）