江西省赣州市瑞金市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1. 在数，，，，，5中，无理数的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义，即可求解．
【详解】解：，
所以无理数有：，，共2个．
故选：B
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根，平方根，二次根式的加减计算选择即可，本题考查了平方根，算术平方根，二次根式的加减，熟练掌握定义个性质是解题的关键．
【详解】A. ，错误，不符合题意；
B. 不是同类二次根式，无法计算，不符合题意；
C. ，正确，符合题意；
D. ，错误，不符合题意；
故选C．
3. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横纵坐标相等，则a的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律先求出点B的坐标，再根据点B的横纵坐标相同列出方程求解即可．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，将点先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B，
∴点B的坐标为，即，
∵点B的横纵坐标相等，
∴，
∴，
故选：C．
4. 如图，先在纸上画两条直线a，b，使，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据平角的定义求出度数，再根据平行线的性质得到的度数即可．
【详解】解：如图，
∵
∴，
∵，
∴，
故选：B
5. 如图，直线，点在直线上，点B在直线n上，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行线的性质，，可求出的度数，再根据角平分的性质即可求解的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故选：D．
6. 在平面直角坐标系中，轴，，若点，则点B坐标是（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系，与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等，当时，点B可能在点A的左侧，也可能在点A的右侧，由此求解即可，注意分情况讨论是解题的关键．
【详解】解：轴，点，
点B纵坐标是，
，
当点B在点A的左侧时，点B的横坐标是，
当点B在点A的右侧时，点B的横坐标是，
点B的坐标是或．
故选D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
8. 已知点，则该点位于第______象限．
【答案】一
【解析】
【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征判断即可．
【详解】解：∵，
∴点在第一象限，
故答案为：一．
9. 如图，将数，，表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用估算的方法分别得到，，前后的整数（即它们分别在哪两个整数之间），从而可判断出被覆盖的数．
【详解】解：∵-3＜＜-2，2＜＜3，3＜＜4，且墨迹覆盖的范围是1至3，
∴能被墨迹覆盖的数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，难度不大．
10. 平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点P的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在y轴上得到求解即可得到答案；
【详解】解：∵点在y轴上，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查坐标轴上点的特征：y轴上点x为0．
11. 用一张等宽的纸条折成如下图所示的图案，若，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，两直线平行，同位角相等．熟练掌握折叠的性质，两直线平行，同位角相等是解题的关键．
如图，由折叠的性质可知，，则，由平行线的性质可得，，然后判断作答即可．
【详解】解：如图，
由折叠的性质可知，，
∴，
由平行线的性质可得，，
故答案为：．
12. 如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间______．
【答案】秒或秒
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用．分①与在的两侧时，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：，，
，，
分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
，，
要使，则，
即，
解得：；
如图②，旋转到与都在的右侧，
，，
要使，则，
即，
解得：；
如图③，旋转到与都在的左侧，
，，
要使，
则，即，
解得：，
此时，此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，．
故答案为：秒或秒．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，利用平方根的含义解方程，掌握解方程的步骤与方法是解本题的关键；
（1）先计算立方根，算术平方根，算术平方根的平方，再计算加减运算即可；
（2）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，
∴，
解得：．
14. 已知实数的一个平方根是，的立方根是．
（1）求、的值．
（2）求的平方根．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查平方根、立方根，掌握平方根、立方根的定义是解题的关键．
（1）根据平方根和立方根的定义即可求；
（2）由（1）知，，求出的值，再根据平方根的定义即可求解．
【小问1详解】
解：实数的一个平方根是，
，
解得：，
的立方根是，
，
即，
解得：，
，；
【小问2详解】
，
即的平方根是．
15. 如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图，在此图中建立平面直角坐标系，表示故宫的点的坐标为，表示美术馆的点的坐标为，请你解答下列问题．
（1）请画出符合题意的平面直角坐标系；
（2）在平面直角坐标系内表示下列位置的坐标：
天安门______；电报大楼______；王府井______；中国国家博物馆______．
【答案】（1）见解析 （2），，，
【解析】
【分析】本题考查用坐标表示实际位置，正确的建立直角坐标系，是解题的关键．
（1）根据故宫，美术馆的坐标，确定原点的坐标，建立直角坐标系，即可；
（2）根据坐标系，直接写出点坐标即可．
【小问1详解】
解：建立直角坐标系如图所示：
【小问2详解】
由图可知：，，，；
故答案为：天安门，电报大楼，王府井，中国国家博物馆．
16. 完成下面推理过程：
已知：如图，，．
求证：．
证明：，，（已知）
．
．（__________）
又，（已知）
______．（__________）
．（__________）
【答案】；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质，进行作答即可．
【详解】证明：，，（已知）
．
．（两直线平行，同位角相等）
又，（已知）
．（等量代换）
．（内错角相等，两直线平行）
17. 在平面直角坐标系中，已知点．
（1）若点在轴上，则的值为________．
（2）若点位于第四象限，且点到轴的距离等于，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据点在轴，则横坐标为即可求解；
（2）根据点位于第四象限，且点到轴的距离等于，得出即可．
【小问1详解】
∵点在轴，
∴，解得：，
故答案为：；
【小问2详解】
由题意可得：，
∵点的纵坐标小于，
∴，解得，
∴点的坐标为．
【点睛】此题考查了点的坐标的几何意义，及坐标轴上的点的坐标的特征，解题的关键是理解注意横坐标的绝对值就是点到轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到轴的距离．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．
（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．
【答案】（1）DF∥AC，理由见详解；（2）40°
【解析】
【分析】（1）利用对顶角的性质可得∠AEF＝∠DEB＝100°，由∠BAC＝80°，可得∠AEF＋∠BAC＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得DF∥AC；
（2）由∠ADF＝∠C，易得∠BFD＝∠ADF，由平行线的判定定理和性质定理易得结果．
【详解】解：（1）DF∥AC．
理由：∵∠DEB＝100°，
∴∠AEF＝∠DEB＝100°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠AEF＋∠BAC＝180°，
∴DF∥AC；
（2）∵DF∥AC，
∴∠BFD＝∠C，
∵∠ADF＝∠C，
∴∠BFD＝∠ADF，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°，
∴∠BAD＝∠DAC−∠BAC＝120°−80°＝40°，
∴∠B＝40°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，综合运用定理是解答此题的关键．
19. 我们知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请根据以上信息，回答下列问顾：
（1）整数部分是________，小数部分是________；
（2）如果的整数部分为a，的整数部分为b，求的立方根．
【答案】（1）5，
（2）4
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的估算方法，求一个数的立方根的方法，代入求值的方法的综合，掌握以上知识，计算方法是解题的关键．
（1）根据材料提示即可求解；
（2）根据材料提示分别求出a，b的值，代入计算的值，再根据求一个数的立方根的运算方法即可求解．
【小问1详解】
解：，
的整数部分是5，小数部分是．
故答案为：5，；
【小问2详解】
解：的整数部分为a，且，
，
，
，
又的整数部分为b，
，
，
的立方根是4．
20. 如图，数轴上有、、三点，表示和的对应点分别为、，点到点的距离与点到原点的距离相等．
（1）的长为_______；点表示的数为：_______；
（2）求的长．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值，或者用较大的数减去较小的数．
（1）根据数轴上两点间的距离即可求出的长；根据题意可得，即可求出点表示的数；
（2）根据数轴上两点间的距离即可求解．
【小问1详解】
解：和的对应点分别为、，
，
点到点的距离与点到原点的距离相等，
，
点表示的数为：，
故答案为：；；
【小问2详解】
点所表示的数为：，点表示的数为，
．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，在平面直角标中，已知的三个顶点坐标分别为．
（1）将向右平移个单位后得到，请画出 ；
（2）请直接写出的面积；
（3）定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”，请直接写出内部所有的整点的坐标．
【答案】（1）△A1B1C1是所画图形，见解析；（2）S△ABC=4.5；（3）（2，2），（2，1），（3，0）
【解析】
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用将分割成两个三角形进而得出答案；
（3）直接利用所画图形得出符合题意的点．
【详解】解：（1）如图所示：△即为所求；
（2）；
（3）内部所有的整点的坐标为：，，．
【点睛】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
22. 已知点A（a，0）、B（b，0），且 +|b﹣2|=0．

（1）求a、b的值．
（2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标．
（3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）a=﹣4，b=2；（2）C（0，5）；（3）D（3，5）或（﹣3，5）．
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质列方程，解方程即可得到结论；
（2）由A（﹣4，0）、B（2，0），得到AB=6，根据三角形ABC的面积是15，列方程求解即可得到结论；
（3）根据三角形ABC的面积是15列方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：（1）∵+|b﹣2|=0，
∴a+4=0，b﹣2=0，
∴a=﹣4，b=2；
（2）如图1，∵A（﹣4，0）、B（2，0），
∴AB=6，
∵三角形ABC的面积是15，
∴AB•OC=15，
∴OC=5，
∴C（0，5）；
（3）存在，如图2，∵三角形ABC的面积是15，
∴S△ACD=CD•OC=×15，
∴CD×5=×15，
∴CD=3，
∴D（3，5）或（﹣3，5）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，三角形的面积，正确作出图形是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23. 已知，点P是平面内一点，过点P作射线、，与相交于点B．
（1）如图1，若点P为直线上一点，，，求的度数；
（2）如图2，若点P为直线、之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明：；
（3）如图3，若点P、H是直线上的点，连接并延长交的角平分线于点Q，射线交于点G，设．当时，请直接用含的代数式表示．
【答案】（1）；
（2）见解析； （3）或
【解析】
【分析】(1)根据两直线平行，同位角相等证明即可．
(2)延长交于点Q，根据平行线的性质，三角形外角性质，平角的定义计算即可．
(3)分点P在H左侧和右侧，利用平行线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质计算即可．
【小问1详解】
如图，∵，，
∴
∵，
∴．
【小问2详解】
如图2，延长交于点Q，
∵，
∴，，
∵和的角平分线交于点F．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
【小问3详解】
当点P在点H的左侧时，．
根据题意，得
∵平分,
∴，
∵,
∴，
∴，
,
∵，
∴，
∴；
当点P在点H的右侧时，
根据题意，得,
∴，
∵平分,
∴，
∵,
∴，
∴，
,
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的平分线，等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形外角性质是解题的关键．