宁夏石嘴山市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题
1. 随机变量分布列如表格所示，其中，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的三位同学每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ）
A 种B. 种C. 种D. 种
3. 甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每人只能到一所学校实习，每所学校至少分到一人，则不同的分配方案的种数是（ ）
A. 48B. 36C. 24D. 12
4. 设随机变量的概率分布为：
若，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5. 展开式中 系数为（ ）
A. B. C. 30D. 90
6. 芜湖有很多闻名的旅游景点．现有两位游客慕名来到芜湖，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B为“两人选择的景点不同”，则条件概率（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（ ）

A. B. C. D.
二、多选题
9. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A. .
B. 由“第行所有数之和为”猜想：.
C. 第20行中，第11个数最大.
D. 第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9.
10. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（ ）
A. 不同的站队方式共有120种
B. 若甲和乙相邻，则不同的站队方式共有36种
C. 若甲、乙不相邻，则不同的站队方式共有72种
D. 甲不在两端，则不同的站队方式共有48种
11. 若，则下列选项正确的有（ ）
A.
B
C
D. .
三、填空题
12. 设随机变量X的概率分布为（，），则___________.
13. 已知函数，若，，则实数k的最大值是____________．
14. 如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，则点Q移动次后仍在底面ABCD上的概率为______；点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为______.
四、解答题
15. 已知（）的展开式中，二次项系数最大的项只有第五项．
（1）求的值；
（2）求该展开式中的常数项．
（3）求其展开式中系数最大的项.
16. 一次跳高比赛中，甲同学挑战某个高度，挑战规则是：最多可以跳三次.若三次都未跳过该高度，则挑战失败；若有一次跳过该高度，则无需继续跳，挑战成功.已知甲成功跳过该高度的概率为，且每次跳高相互独立.
（1）记甲在这次比赛中跳的次数为，求的概率分布和数学期望；
（2）已知甲挑战成功，求甲第二次跳过该高度的概率.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）若，，求二面角的余弦值.
18. 学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为．
（1）求首次摸球就试验结束的概率；
（2）在首次摸球摸出红球的条件下．
①求选到的袋子为乙袋的概率；
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
19. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）求证：.
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