福建省福州市长乐区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份福建省福州市长乐区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，㙋空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（全卷共4页．满分：150分．考试时间：120分钟）
友情提示：请将答案写在答题卡规定位置上，不得错位、越界答题．
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．点P（1，2）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．圆周率日（）是一年一度的庆祝圆周率的节日，由圆周率最常用的近似值3.14而来，时间被定在3月14日．那么圆周率是（ ）
A．分数B．负数C．有理数D．无理数
3．下列四个选项的图形，能够由如图平移得到的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图是欢欢同学在体育课上跳远测试时，在沙坑里留下的脚印，则他的跳远成绩应测量的线段是（ ）
A．B．C．D．
5．9的算术平方根是（ ）
A．3B．C．D．81
6．下列图形中，由能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．8的立方根是B．没有立方根
C．的立方根等于的立方D．立方根等于本身的数只有0
8．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
9．若x轴上的点p到y轴的距离为5，则点的坐标为（ ）
A．(5,0)B．(5,0)(-5,0)C．(0,5)D．(0,5)或(0，-5)
10．以学校大门为原点建立平面直角坐标系，教学楼和实验楼的坐标分别是和．如图1，甲同学在学校里行走路线是，其路程总长记为，如图2，行政楼和综合楼分别在线段，上，乙同学行走路线是，其路程总长记为，如图3，体有馆和图书馆分别在线段，上，艺术馆在线段上，丙同学行走路线是，其路程总长记为．下列关于，，的大小关系正确的是（ ）
图1 图2 图3
A．B．C．D．
二、㙋空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，当剪子口增大时，增大 度．
12．在平面直角坐标系中，点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标是 ．
13．立方体标准魔方是魔方比赛中最常见的类型．标准魔方的体积约为，若它的棱长为，在两个连续的整数之间，则这两个连续整数中，较小的整数是 ．
14．象棋在中国存着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“炮”的点的坐标分别为，，则表示棋子“車”的点的坐标为 ．
15．如图，将长方形纸条沿折叠．若，则的度数是 ．
16．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是，两边平方，得______________
∴含有因数5，设，∴____________
∴______________，∴含有因数5，∴____________
这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，
所以不是有理数而是无理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 （填上序号）
①；②；③含有因数5；④
三、解答题（共9小题，满分86分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．求下列各式中的值；
(1)；
(2)．
19．一个正数的平方根分别是与，求和的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请画出；
(2)定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，请直接写出内部所有整点的坐标；
21．如图，直线、相交于点，，平分，射线，求的度数．
22．在平面直角坐标系中；对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“倍关联点”．例如，点的“3倍关联点”的横坐标为：，纵坐标为：，所以点的“3倍关联点”的坐标为．
(1)已知点的“倍关联点”是点，求点的坐标：
(2)若点是点的“倍关联点”，且点在轴上，求点到轴的距离．
23．阅读下列材料，回答问题．
我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于．
我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如下图两种方法．

图1 图2
欣欣同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于．证明过程如下：
已知：如图，．
求证：．
证明：如图，过点作
∵
∴（______________________）
同理
∵（________________）
∴（________________）
(1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全欣欣同学证明过程中所缺的根据；
(2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成．
24．已知直线分别交直线，于点，，且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点，分别在射线，上，点，分别在射线，上，延长，交于点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，，若平分，平分，且，求的度数．
25．在平面直角坐标系中，已知点，，直线交轴于点．
(1)根据题意，画出点，，；
(2)求点坐标：
(3)若点的坐标为，，且，求的值．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点P（1，2）在第一象限．
故选：A．
【点拨】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
2．D
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．据此求解即可．
【解答】解：圆周率是无理数．
故选D．
3．C
【分析】本题考查利用平移设计图案．根据平移的性质即可得到结论，解决本题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小、方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．
【解答】解：观察图形可知C中的图形是平移得到的．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查的是垂线段最短，根据垂线段最短解答即可，熟知从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短是解题的关键．
【解答】解：由图可知，他的跳远成绩应测量的线段是．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，由，可得9的算术平方根，从而可得答案，掌握求解一个数的算术平方根的方法是解本题的关键．
【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
【解答】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意；
B、D、和是同旁内角，不能判定，故B、D不符合题意；
C、由内错角相等，两直线平行判定，故C符合题意．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了平方根、立方根，理解平方根和立方根的定义是解答的关键．根据立方根、平方根的定义对相关选项作出判断即可．
【解答】解：A．8的立方根是2，故不正确；
B．的立方根为，故不正确；
C．的立方根等于的立方，正确；
D．立方根等于本身的数有0，1，，故不正确；
故选C．
8．B
【分析】由题意知，，则，根据，计算求解即可．
【解答】解：由题意知，，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
9．B
【解答】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特点及点到坐标轴的距离. 先根据P在x轴上判断出点P纵坐标为0，再根据点P到y轴上的距离的意义可得横坐标的绝对值为5，即可求出点P的坐标．
解：∵点P在x轴上，
∴点P的纵坐标等于0，
又∵点P到y轴的距离是5，
∴点P的横坐标是±5，
故点P的坐标为（5，0）或（-5，0）．
故选B．
10．D
【分析】本题考查了函数的图象，根据三角形三边的关系即可证明，根据平移的性质可证明，根据三角形三边关系、平移的性质进行作答，灵活运用所学知识是解题的关键．
【解答】解：根据题意可得，
，
则，
将线段平移，可得到线段，线段移可得到线段，
则，，
，
所以．
故选：D．
11．
【分析】由对顶角相等，可得∠AOB=∠COD，当一个角增大时，另一个角也增大相同的度数．
【解答】解：根据对顶角相等可得：∠AOB=∠COD，
当∠AOB增大25°时，∠COD也增大25°，
故答案为：25°．
【点拨】本题考查对顶角相等，当一个角增大时，另一个角也增大相同的度数．
12．
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，让点的纵坐标加3即可得到的坐标，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：由题中平移规律可知：点向上移动3个单位长度后的对应点的坐标是，即．
故答案为：．
13．5
【分析】本题考查无理数的估算，根据夹逼法求出无理数的范围即可得出结果．
【解答】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴较小的整数是5；
故答案为：5．
14．
【分析】本题主要考查了坐标确定位置，根据“馬”和“炮”的点的坐标分别为，，得出原点的位置，进而建立坐标，即可求解，正确得出原点的位置是解题关键．
【解答】解：建立坐标系如图所示，表示棋子“車”的点的坐标为，
故答案为：．
15．66
【分析】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．根据折叠的性质，得，再根据平行线的性质即可求得的度数．
【解答】解：如图，
∵长方形沿对折，
∴．
∵，得
∴．
，
，
故答案为：66．
16．④②①③
【分析】本题考查了无理数的证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，等式两边平方得到，由此可得可得含有因数5，可设，则，即可证明q也有因数5，这与假设矛盾，由此即可证明结论．
【解答】证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是，两边平方，得
∴含有因数5，设，∴
∴，∴含有因数5，∴含有因数5
这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，
所以不是有理数而是无理数．
故答案为：④②①③．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先算开方，再算加减；
（2）先去括号，再算加减．
【解答】（1）原式
；
（2）原式
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键．
（1）先方程两边都除以4，再利用平方根的意义求解；
（2）先方程两边都加27，再利用立方根的意义求解．
【解答】（1）解:方程两边都除以4，得，
方程两边开平方，得；
（2）解:方程两边都加27，得
方程两边开立方，得，
方程两边都减1，得．
19．，
【分析】本题考查平方根，根据平方根的性质进行解题即可，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
【解答】解：∵一个正数的平方根分别是与，
∴，
解得，
∴这个正数的平方根是，
∴．
20．(1)见解析
(2)，，，
【分析】本题考查了平移作图，写出平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）先确定点的位置，再连线即可；
（2）根据图形写出内部所有整点的坐标即可．
【解答】（1）如图所示，为所画的三角形；
（2）内部所有整点的坐标：，，，．
21．
【分析】此题主要考查了对顶角的性质，邻补角的定义，垂直定义，角平分线定义，角的计算，先根据对顶角的性质得，根据邻补角定义得，再根据平分得，然后根据得，据此根据可得出答案，准确识图是解题的关键，
【解答】解：∵
∴
∵，
∴
∵平分
∴
∴
22．(1)
(2)3
【分析】本题考查的是点的坐标，根据题意得出“关联点”坐标的计算方法是解题的关键．
（1）根据题中给出的例子得出点坐标即可；
（2）用表示出点的坐标，再由轴上点的坐标特点求出的值，进而可得出结论．
【解答】（1）解：点的“倍关联点”是点，
点的横坐标为：，点的纵坐标为：，
；
（2）解：点是点的“倍关联点”，
点的横坐标为：，点的纵坐标为：，
，
点在轴上，
，
解得，
，
，
点到轴的距离为3．
23．(1)两直线平行，内错角相等；平角定义；等量代换
(2)见解析
【分析】此题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，正确地作出辅助线，把三角形的三个内角转化一个平角是解决问题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等得，，再根据平角定义得，然后根据等量代换可得出三角形内角和等于；
（2）过点作，延长到，根据平行线的性质得，，再根据平角的定义得，进而可得出三角形内角和等于．
【解答】（1）证明：如图，过点作
∵
∴（两直线平行，内错角相等）
同理
∵（平角定义）
∴（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等；平角定义；等量代换；
（2）如图，过点作，延长到
∴，
∵
∴
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练作出辅助线是解题的关键．
（1）利用对顶角相等，可得，即可证明；
（2）过点作，利用平行线的性质和角度的转换得到，即可解答；
（3）得到，设，则，得到，利用平行线的性质得到，列出方程，即可解答．
【解答】（1）证明：，，
∴
∴；
（2）证明：如图2，过点作，
则，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：∵平分，
∴
由，设，则
∴
∵
∴
∵平分
∴
∴
与（2）同理，得
∴
解得
∴．
25．(1)见解析
(2)
(3)16或32
【分析】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）根据A，B两点坐标，画出图形即可；
（2）过点作轴于点，连接，设点的坐标为，则，根据求出x的值即可求解；
（3）分两种情形，分别构建方程求解．
【解答】（1）解：点，，如图所示；
（2）由（1），知，，
如图，过点作轴于点，
连接，则，
点到的距离为，
点到轴的距离为2，
设点的坐标为，则
∵直线交轴于点
∴
∴
解得
∴点的坐标为；
（3）∵，，
∴点在轴下方，
∴点到的距离为，
点到的距离为，
当点在直线左侧时，如图1，
整理，得；
当点在直线右侧时，如图2，
整理，得；
综上，的值为16或32