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2023-2024学年浙江省杭州市余杭区、临平区七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省杭州市余杭区、临平区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. x2+x3=x5B. x2⋅x3=x6C. (x2)3=x5D. (2x3)2=4x6
3.下列方程中，是二元一次方程的是( )
A. 3x−2y=4zB. 6xy+9=0C. x+4y=6D. x=2y+1
4.下列各组数中，是二元一次方程5x−y=2的一个解的是( )
A. x=3y=1B. x=2y=0C. x=0y=2D. x=1y=3
5.下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是( )
A. (−m+n)(m−n)B. (12a+b)(b−12a)
C. (x+5)(x+5)D. (3a−4b)(3b+4a)
6.如图，DE//AB，若∠ACD=55°，则∠A等于( )
A. 35°
B. 55°
C. 65°
D. 125°
7.如果x2−2mx+9是关于x的完全平方式，则m的值为( )
A. 6B. ±6C. ±3D. 3
8.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=32°，则∠2的度数为( )
A. 68°
B. 60°
C. 58°
D. 32°
9.用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒，则下列方程组中符合题意的是( )
A. x+y=36y=2xB. x+y=36x=2y
C. x+y=362×25x=40yD. x+y=3625x=2×40y
10.已知关于x和y的方程组2x−y=3k−22x+y=4−k(k为常数)，得到下列结论：
①无论k取何值，都有4x+y=5；
②若k=1，则(2x−1)y=1；
③方程组有非负整数解时，k=1；
④若x和y互为相反数，则k=73，其中正确的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知a−5b=2，用含b的代数式表示a，则a= ______．
12.如图，将△ABC向右平移5个单位长度得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC=3，则BC的长度是______．
13.若(x+3)(x−5)=x2+mx−15，则m=______．
14.已知x=2y=−1是二元一次方程ax+by+1=0的一组解，则2a−b+2024= ______．
15.已知：m+2n−2=0，则3m⋅9n的值为______．
16.如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿EF折叠，设∠AED′=x度．
(1)若x=110°，则∠EFB= ______度.
(2)将图1纸带继续沿BF折叠成图2，则∠EFC″= ______度.(用含x的代数式表示)
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)−3a⋅(2b)；
(2)(4a2b)2÷(8a2).
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(x−2y)2−(x+y)(x−y)，其中x=12，y=1．
19.(本小题8分)
解方程组：
(1)2x−3y=1①3x+y=7②；
(2)x+1=3y①2(x+1)−y=8②．
20.(本小题8分)
如图，在7×7的网格中，A，B，C，D均在格点上，按下列要求作图：
(1)在图1中，找出格点E，连接DE，使得DE//BC；
(2)在图2中，平移三角形ABC得到三角形A′B′C′，使得点D为三角形A′B′C′一边的中点，请画出三角形A′B′C′．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E是BC上一点，过点E作EF⊥AB于点F，点G是AC上一点，且∠1=∠2．
(1)请说明DG//BC的理由．
(2)若∠3=70°，CD平分∠ACB，求∠2的度数．
22.(本小题10分)
完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：∵a+b=3，ab=1，
∴(a+b)2=9，2ab=2．
∴a2+b2+2ab=9，
∴a2+b2=7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(1)若(9−x)(x−6)=1，求(9−x)2+(6−x)2的值
(2)如图，C是线段AB上的一点以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=6，两正方形的面积和为16，求△AFC的面积．
23.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线MN上(如图1，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°).保持三角板EDC不动，老师将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转.各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题．
深入探究：
①老师提出，如图2，当AC转到与∠DCE的角平分线重合时，∠ECB−∠DCA=15°，当AC在∠DCE内部的其他位置时，结论∠ECB−∠DCA=15°是否依然成立？请说明理由．
②勤学小组提出：若AC旋转至∠DCE的外部，∠DCA与∠ECB是否还存在如上数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请写出∠DCA与∠ECB的数量关系，并说明理由．
拓展提升：
③智慧小组提出：若AC旋转到与射线CM重合时停止旋转.在旋转过程中，直线DE与直线AC是否存在平行的位置关系？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
24.(本小题12分)
某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
(1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是______元；
(2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的14，则此次按原价采购的咖啡有______箱．(直接写出答案)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
根据图形平移的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移变换的性质是解答此题的关键．
【解答】
解：A、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
B、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误
C、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
D、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】解：A、x2与x3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、x2⋅x3=x5，故B不符合题意；
C、(x2)3=x6，故C不符合题意；
D、(2x3)2=4x6，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】C
【解析】解：A、3x−2y=4z，是三元一次方程，不合题意；
C、xy是二次，6xy+9=0是二元二次方程，不合题意；
B、是二元一次方程，符合题意；
D、不是二元一次方程，不合题意，
故选：C．
二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
此题考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
4.【答案】D
【解析】【分析】
把x与y的值代入方程检验即可．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【解答】
解：A、把x=3y=1代入方程得：左边=15−1=14，右边=2，
∵左边≠右边，∴不是方程的解；
B、把x=2y=0代入方程得：左边=10，右边=2，
∵左边≠右边，∴不是方程的解；
C、把x=0y=2代入方程得：左边=−2，右边=2，
∵左边≠右边，∴不是方程的解；
D、把x=1y=3代入方程得：左边=5−3=2，右边=2，
∵左边=右边，∴是方程的解，
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：由平方差公式的特点可知：
选项B中第一个多项式的b和第二个多项式的b符号相同，
第一个多项式的12a和第二个多项式的−12a符号相反，
故满足平方差公式，其他选项没有此特点．
故选：B．
根据两个二项式相乘，如果这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以用平方差公式计算，否则不能．
本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
6.【答案】B
【解析】解：∵DE//AB，∠ACD=55°，
∴∠A=∠ACD=55°．
故选B．
由DE//AB，∠ACD=55°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A的度数．
此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
7.【答案】C
【解析】解：∵x2−2mx+9=x2−2mx+32是关于x的完全平方式，
∴−2mx=±2⋅x⋅3，
∴m=±3，
故选：C．
完全平方式a2±2ab+b2的特点是首平方，尾平方，首尾数积的两倍在中央，这里首末两项是x和3的平方，那么中间项为加上或减去x和3的乘积的2倍．
本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠1+∠3=90°，∠1=32°，
∴∠3=58°，
∵AB//CD，
∴∠2=∠3=58°，
故选：C．
利用平行线的性质、余角的定义计算即可．
本题考查了平行线的性质，余角的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，找到互余的两个角．
9.【答案】C
【解析】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，
根据题意得x+y=362×25x=40y，
故选：C．
根据题意可知，本题中的相等关系是：(1)盒身的个数×2=盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数=36，列方程组即可．
此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．注意运用本题中隐含的一个相等关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．
10.【答案】C
【解析】解：方程组2x−y=3k−2①2x+y=4−k②，
①+②×3得8x+2y=10，即4x+y=5，故①正确；
若k=1，则2x−y=12x+y=3，
解得x=1y=1，
∴(2x−1)y=1，故②正确；
解方程组2x−y=3k−2①2x+y=4−k②，得x=k+12y=−2k+3，
方程组有非负整数解时，有k+12≥0−2k+3≥0，
∴−1≤k≤1.5，
∴k=−1或1，故③不正确；
若x和y互为相反数，则x+y=0，
∴k+12−2k+3=0，
∴k=73，故④正确．
故选：C．
分别根据二元一次方程组的解，二元一次方程的解以及解二元一次方程组判断即可．
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】5b+2
【解析】解：方程a−5b=2，
解得a=5b+2．
故答案为：5b+2．
将b看作已知数，求出a即可．
此题考查了列代数式，解题的关键是将b看作已知数求出a．
12.【答案】8
【解析】解：∵△DEF是由△ABC向右平移5个单位长度得到，
∴BC=EF，CF=5，
∴BC=EF=EC+CF=3+5=8．
故选：8．
根据平移的性质可得BC=EF，CF=5，然后列式求解即可．
本题考查了平移的性质，根据对应点间的距离等于平移的长度得到BC=EF是解题的关键．
13.【答案】−2
【解析】解：∵(x+3)(x−5)=x2−2x−15，
∴m=−2，
∴m=−2．
故答案为：−2．
先把等式的左边化为x2−2x−15的形式，再求出m的值即可．
本题考查的是多项式乘多项式的法则，根据题意把(x+3)(x−5)化为x2−2x−15的形式是解答此题的关键．
14.【答案】2023
【解析】解：将x=2y=−1代入原方程得：2a−b+1=0，
∴2a−b=−1，
∴2a−b+2024=−1+2024=2023．
故答案为：2023．
将x=2y=−1代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：∵m+2n−2=0，
∴m+2n=2，
∴3m⋅9n=3m⋅32n=3m+2n=32=9．
故答案为：9．
由m+2n−2=0可得m+2n=2，再根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
16.【答案】35 (32x−90)
【解析】解：(1)∵∠AED′=110°，
∴∠DED′=180°−∠AED′=70°，
由折叠得：∠DEF=12∠DED′=35°，
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB=35°，
故答案为：35；
(2)设ED′与BC相交于点G，
∵∠AED′=x°，
∴∠DED′=180°−∠AED′=(180−x)°，
由折叠得：∠DEF=12∠DED′=12(180−x)°，
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB=12(180−x)°，
∵AD//BC，
∴∠AED′=∠EGF=x°，
∵ED′//C′F，
∴∠EGF=∠GFC′=x°，
由折叠得：∠GFC′=∠GFC″=x°，
∴∠EFC″=∠GFC″−∠EFB=x°−12(180−x)°=(32x−90)°，
故答案为：(32x−90)．
(1)先利用平角定义可得∠DED′=70°，再利用折叠的性质可得：∠DEF=12∠DED′=35°，然后利用平行线的性质即可解答；
(2)利用(1)的思路可得：∠DEF=∠EFB=12(180−x)°，再利用平行线的性质可得∠AED′=∠EGF=∠GFC′=x°，然后利用折叠的性质可得：∠GFC′=∠GFC″=x°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
17.【答案】解：(1)−3a⋅(2b)=−6 ab；
(2)(4a2b)2÷(8a2)
=16a4b2a÷(8a 2)
=2a2b2．
【解析】(1)利用单项式乘单项式的法则进行计算，即可解答；
(2)先算乘方，再算除法，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(x−2y)2−(x+y)(x−y)
=x2−4xy+4y2−x2+y2
=−4xy+5y2，
当x=12，y=1时，原式=−4×12×1+5×12=3．
【解析】根据完全平方公式、平方差公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式混合运算的运算法则和运算顺序．
19.【答案】解：(1)2x−3y=1①3x+y=7②，
①+②×3，可得11x=22，
解得x=2，
把x=2代入①，可得：2×2−3y=1，
解得y=1，
∴原方程组的解是x=2y=1．
(2)x+1=3y①2(x+1)−y=8②，
由①，可得x−3y=−1③，
由②，可得2x−y=6④，
③−④×3，可得−5x=−19，
解得x=195，
把x=195代入③，可得：195−3y=−1，
解得y=85，
∴原方程组的解是x=195y=85．
【解析】(1)应用加减消元法，求出方程组的解即可；
(2)应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
20.【答案】解：(1)如图1，点E为所作；
(2)如图2，三角形A′B′C′为所作．
【解析】(1)把相等BC向下平移4格，则B点的对应点为E点；
(2)把△ABC先向右平移1格，再向下平移3格，则平移后的三角形满足条件．
本题考查了作图−平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21.【答案】解：(1)∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD//EF，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG//BC；
(2)∵DG//BC，∠3=70°，
∴∠ACB=∠3=70°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=12∠ACB=35°，
∴∠2=∠BCD=35°．
【解析】(1)根据“垂直于同一直线的两条直线平行”推出CD//EF，根据“两直线平行，同位角线段”得出∠2=∠BCD，则∠1=∠BCD，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解；
(2)根据平行线的性质得出∠ACB=∠3=70°，根据角平分线定义求出∠BCD=35°，再根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵(9−x)(x−6)=1，(9−x)+(x−6)=3
∴[(9−x)+(x−6)]2=9，2(9−x)(x−6)=2，
∵(9−x)2+(x−6)2+2(9−x)(x−6)=(9−x)2+(6−x)2+2(9−x)(x−6)
∴(9−x)2+(6−x)2=9−2=7；
(2)设AC=a，BC=CF=b，
∴a+b=6，a2+b2=16，
∴(a+b)2=36，
∴a2+b2+2ab=36，
∴ab=10，
∴S△ACF=12ab=12×10=5．
【解析】(1)根据完全平方公式的适当变形即可解答；
(2)设AC=a，BC=CF=b，根据题目表示出面积与长度，进而利用完全平方公式变形可解答．
本题考查了完全平方公式的变形，根据已知条件表示出完全公式中的项是解题的关键．
23.【答案】解：①∵∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴∠ACB=45°，∠ECD=30°，
当AC旋转至∠DCE的内部时，如图，∠DCA与∠ECB的数量关系是：∠ECB−∠DCA=15°；
理由是：由旋转得：∠ACE=5t，
∴∠DCA=30°−5t，∠ECB=45°−5t，
∴∠ECB−∠DCA=(45°−5t)−(30°−5t)=15°；
②当A、B分别在△CDE外部时，如图示：
∵∠ACB=∠DCA+∠ECB+∠DCE，
∴∠DCA+∠ECB=45°−30°=15°；
当点A在△CDE外部，点B在△CDE内部，如图示：
∵∠ACB=∠DCA+∠DCB=∠DCA+∠DCE−∠ECB，
∴45°=∠DCA+30°−∠ECB，
∴∠DCA−∠ECB=15°，
综上：不存在；∠ECB+∠DCA=15°或∠DCA−∠ECB=15°．
③当点A在直线EC上方时，如图示：
∵DE//CA，
∴∠ACE=180°−∠E=120°，
∴t=120÷5=24s；
当点A在直线EC下方时，如图示：
∵DE//CA，
∴∠ACE=∠E=60°，
∴旋转了360°−60°=300°
∴t=300÷5=60s，
综上：存在，t=24s或t=60s．
【解析】①∠ECB−∠DCA=(45°−5t)−(30°−5t)=15°；
②当A、B分别在△CDE外部时，由∠ACB=∠DCA+∠ECB+∠DCE，得∠DCA+∠ECB=45°−30°=15°；当点A在△CDE外部，点B在△CDE内部，由∠ACB=∠DCA+∠DCB=∠DCA+∠DCE−∠ECB，得∠DCA−∠ECB=15°．
③根据平行线的性质确定旋转角的大小，即可求出时间．
本题是典型的实际操作问题，考查了平行线的性质，角度的和差运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
24.【答案】(1)1650
(2)解：①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：20x+10y=110025x+20y=1750，
解得：x=30y=50，
答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；
② 6．
【解析】解：(1)设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：20x+10y=1100，
∴30x+15y=1.5(20x+10y)=1.5×1100=1650(元)，
故答案为：1650；
(2)①见答案；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为14a，
打折牛奶价格为：30×0.6=18(元)，打折咖啡价格为：50×0.6=30(元)，
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有(34a−b)箱，
由题意得：18×14a+30×(34a−b)+50b=1200，
整理得：27a+20b=1200，
∵a、b均为正整数，
∴a=20b=33，或a=40b=6，
∵a>b，
∴a=40，b=6，
即此次按原价采购的咖啡有6箱，
故答案为：6．
(1)设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由题意得：20x+10y=1100，即可求解；
(2)①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由题意列出方程组，求解即可；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为14a，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有(34a−b)箱，由题意列出方程，求出正整数解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，正确列出方程组或方程是解题的关键．牛奶(箱)
咖啡(箱)
金额(元)
方案一
20
10
1100
方案二
30
15
1.同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. x2+x3=x5B. x2⋅x3=x6C. (x2)3=x5D. (2x3)2=4x6
3.下列方程中，是二元一次方程的是( )
A. 3x−2y=4zB. 6xy+9=0C. x+4y=6D. x=2y+1
4.下列各组数中，是二元一次方程5x−y=2的一个解的是( )
A. x=3y=1B. x=2y=0C. x=0y=2D. x=1y=3
5.下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是( )
A. (−m+n)(m−n)B. (12a+b)(b−12a)
C. (x+5)(x+5)D. (3a−4b)(3b+4a)
6.如图，DE//AB，若∠ACD=55°，则∠A等于( )
A. 35°
B. 55°
C. 65°
D. 125°
7.如果x2−2mx+9是关于x的完全平方式，则m的值为( )
A. 6B. ±6C. ±3D. 3
8.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=32°，则∠2的度数为( )
A. 68°
B. 60°
C. 58°
D. 32°
9.用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒，则下列方程组中符合题意的是( )
A. x+y=36y=2xB. x+y=36x=2y
C. x+y=362×25x=40yD. x+y=3625x=2×40y
10.已知关于x和y的方程组2x−y=3k−22x+y=4−k(k为常数)，得到下列结论：
①无论k取何值，都有4x+y=5；
②若k=1，则(2x−1)y=1；
③方程组有非负整数解时，k=1；
④若x和y互为相反数，则k=73，其中正确的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知a−5b=2，用含b的代数式表示a，则a= ______．
12.如图，将△ABC向右平移5个单位长度得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC=3，则BC的长度是______．
13.若(x+3)(x−5)=x2+mx−15，则m=______．
14.已知x=2y=−1是二元一次方程ax+by+1=0的一组解，则2a−b+2024= ______．
15.已知：m+2n−2=0，则3m⋅9n的值为______．
16.如图1，将一条两边互相平行的长方形纸带沿EF折叠，设∠AED′=x度．
(1)若x=110°，则∠EFB= ______度.
(2)将图1纸带继续沿BF折叠成图2，则∠EFC″= ______度.(用含x的代数式表示)
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)−3a⋅(2b)；
(2)(4a2b)2÷(8a2).
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(x−2y)2−(x+y)(x−y)，其中x=12，y=1．
19.(本小题8分)
解方程组：
(1)2x−3y=1①3x+y=7②；
(2)x+1=3y①2(x+1)−y=8②．
20.(本小题8分)
如图，在7×7的网格中，A，B，C，D均在格点上，按下列要求作图：
(1)在图1中，找出格点E，连接DE，使得DE//BC；
(2)在图2中，平移三角形ABC得到三角形A′B′C′，使得点D为三角形A′B′C′一边的中点，请画出三角形A′B′C′．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E是BC上一点，过点E作EF⊥AB于点F，点G是AC上一点，且∠1=∠2．
(1)请说明DG//BC的理由．
(2)若∠3=70°，CD平分∠ACB，求∠2的度数．
22.(本小题10分)
完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：∵a+b=3，ab=1，
∴(a+b)2=9，2ab=2．
∴a2+b2+2ab=9，
∴a2+b2=7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(1)若(9−x)(x−6)=1，求(9−x)2+(6−x)2的值
(2)如图，C是线段AB上的一点以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=6，两正方形的面积和为16，求△AFC的面积．
23.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线MN上(如图1，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°).保持三角板EDC不动，老师将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转.各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题．
深入探究：
①老师提出，如图2，当AC转到与∠DCE的角平分线重合时，∠ECB−∠DCA=15°，当AC在∠DCE内部的其他位置时，结论∠ECB−∠DCA=15°是否依然成立？请说明理由．
②勤学小组提出：若AC旋转至∠DCE的外部，∠DCA与∠ECB是否还存在如上数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请写出∠DCA与∠ECB的数量关系，并说明理由．
拓展提升：
③智慧小组提出：若AC旋转到与射线CM重合时停止旋转.在旋转过程中，直线DE与直线AC是否存在平行的位置关系？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
24.(本小题12分)
某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
(1)采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是______元；
(2)若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的14，则此次按原价采购的咖啡有______箱．(直接写出答案)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
根据图形平移的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移变换的性质是解答此题的关键．
【解答】
解：A、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
B、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误
C、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
D、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】解：A、x2与x3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、x2⋅x3=x5，故B不符合题意；
C、(x2)3=x6，故C不符合题意；
D、(2x3)2=4x6，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】C
【解析】解：A、3x−2y=4z，是三元一次方程，不合题意；
C、xy是二次，6xy+9=0是二元二次方程，不合题意；
B、是二元一次方程，符合题意；
D、不是二元一次方程，不合题意，
故选：C．
二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
此题考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
4.【答案】D
【解析】【分析】
把x与y的值代入方程检验即可．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【解答】
解：A、把x=3y=1代入方程得：左边=15−1=14，右边=2，
∵左边≠右边，∴不是方程的解；
B、把x=2y=0代入方程得：左边=10，右边=2，
∵左边≠右边，∴不是方程的解；
C、把x=0y=2代入方程得：左边=−2，右边=2，
∵左边≠右边，∴不是方程的解；
D、把x=1y=3代入方程得：左边=5−3=2，右边=2，
∵左边=右边，∴是方程的解，
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：由平方差公式的特点可知：
选项B中第一个多项式的b和第二个多项式的b符号相同，
第一个多项式的12a和第二个多项式的−12a符号相反，
故满足平方差公式，其他选项没有此特点．
故选：B．
根据两个二项式相乘，如果这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以用平方差公式计算，否则不能．
本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
6.【答案】B
【解析】解：∵DE//AB，∠ACD=55°，
∴∠A=∠ACD=55°．
故选B．
由DE//AB，∠ACD=55°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A的度数．
此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
7.【答案】C
【解析】解：∵x2−2mx+9=x2−2mx+32是关于x的完全平方式，
∴−2mx=±2⋅x⋅3，
∴m=±3，
故选：C．
完全平方式a2±2ab+b2的特点是首平方，尾平方，首尾数积的两倍在中央，这里首末两项是x和3的平方，那么中间项为加上或减去x和3的乘积的2倍．
本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠1+∠3=90°，∠1=32°，
∴∠3=58°，
∵AB//CD，
∴∠2=∠3=58°，
故选：C．
利用平行线的性质、余角的定义计算即可．
本题考查了平行线的性质，余角的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，找到互余的两个角．
9.【答案】C
【解析】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，
根据题意得x+y=362×25x=40y，
故选：C．
根据题意可知，本题中的相等关系是：(1)盒身的个数×2=盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数=36，列方程组即可．
此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．注意运用本题中隐含的一个相等关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．
10.【答案】C
【解析】解：方程组2x−y=3k−2①2x+y=4−k②，
①+②×3得8x+2y=10，即4x+y=5，故①正确；
若k=1，则2x−y=12x+y=3，
解得x=1y=1，
∴(2x−1)y=1，故②正确；
解方程组2x−y=3k−2①2x+y=4−k②，得x=k+12y=−2k+3，
方程组有非负整数解时，有k+12≥0−2k+3≥0，
∴−1≤k≤1.5，
∴k=−1或1，故③不正确；
若x和y互为相反数，则x+y=0，
∴k+12−2k+3=0，
∴k=73，故④正确．
故选：C．
分别根据二元一次方程组的解，二元一次方程的解以及解二元一次方程组判断即可．
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】5b+2
【解析】解：方程a−5b=2，
解得a=5b+2．
故答案为：5b+2．
将b看作已知数，求出a即可．
此题考查了列代数式，解题的关键是将b看作已知数求出a．
12.【答案】8
【解析】解：∵△DEF是由△ABC向右平移5个单位长度得到，
∴BC=EF，CF=5，
∴BC=EF=EC+CF=3+5=8．
故选：8．
根据平移的性质可得BC=EF，CF=5，然后列式求解即可．
本题考查了平移的性质，根据对应点间的距离等于平移的长度得到BC=EF是解题的关键．
13.【答案】−2
【解析】解：∵(x+3)(x−5)=x2−2x−15，
∴m=−2，
∴m=−2．
故答案为：−2．
先把等式的左边化为x2−2x−15的形式，再求出m的值即可．
本题考查的是多项式乘多项式的法则，根据题意把(x+3)(x−5)化为x2−2x−15的形式是解答此题的关键．
14.【答案】2023
【解析】解：将x=2y=−1代入原方程得：2a−b+1=0，
∴2a−b=−1，
∴2a−b+2024=−1+2024=2023．
故答案为：2023．
将x=2y=−1代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：∵m+2n−2=0，
∴m+2n=2，
∴3m⋅9n=3m⋅32n=3m+2n=32=9．
故答案为：9．
由m+2n−2=0可得m+2n=2，再根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
16.【答案】35 (32x−90)
【解析】解：(1)∵∠AED′=110°，
∴∠DED′=180°−∠AED′=70°，
由折叠得：∠DEF=12∠DED′=35°，
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB=35°，
故答案为：35；
(2)设ED′与BC相交于点G，
∵∠AED′=x°，
∴∠DED′=180°−∠AED′=(180−x)°，
由折叠得：∠DEF=12∠DED′=12(180−x)°，
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB=12(180−x)°，
∵AD//BC，
∴∠AED′=∠EGF=x°，
∵ED′//C′F，
∴∠EGF=∠GFC′=x°，
由折叠得：∠GFC′=∠GFC″=x°，
∴∠EFC″=∠GFC″−∠EFB=x°−12(180−x)°=(32x−90)°，
故答案为：(32x−90)．
(1)先利用平角定义可得∠DED′=70°，再利用折叠的性质可得：∠DEF=12∠DED′=35°，然后利用平行线的性质即可解答；
(2)利用(1)的思路可得：∠DEF=∠EFB=12(180−x)°，再利用平行线的性质可得∠AED′=∠EGF=∠GFC′=x°，然后利用折叠的性质可得：∠GFC′=∠GFC″=x°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
17.【答案】解：(1)−3a⋅(2b)=−6 ab；
(2)(4a2b)2÷(8a2)
=16a4b2a÷(8a 2)
=2a2b2．
【解析】(1)利用单项式乘单项式的法则进行计算，即可解答；
(2)先算乘方，再算除法，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(x−2y)2−(x+y)(x−y)
=x2−4xy+4y2−x2+y2
=−4xy+5y2，
当x=12，y=1时，原式=−4×12×1+5×12=3．
【解析】根据完全平方公式、平方差公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式混合运算的运算法则和运算顺序．
19.【答案】解：(1)2x−3y=1①3x+y=7②，
①+②×3，可得11x=22，
解得x=2，
把x=2代入①，可得：2×2−3y=1，
解得y=1，
∴原方程组的解是x=2y=1．
(2)x+1=3y①2(x+1)−y=8②，
由①，可得x−3y=−1③，
由②，可得2x−y=6④，
③−④×3，可得−5x=−19，
解得x=195，
把x=195代入③，可得：195−3y=−1，
解得y=85，
∴原方程组的解是x=195y=85．
【解析】(1)应用加减消元法，求出方程组的解即可；
(2)应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
20.【答案】解：(1)如图1，点E为所作；
(2)如图2，三角形A′B′C′为所作．
【解析】(1)把相等BC向下平移4格，则B点的对应点为E点；
(2)把△ABC先向右平移1格，再向下平移3格，则平移后的三角形满足条件．
本题考查了作图−平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21.【答案】解：(1)∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD//EF，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG//BC；
(2)∵DG//BC，∠3=70°，
∴∠ACB=∠3=70°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=12∠ACB=35°，
∴∠2=∠BCD=35°．
【解析】(1)根据“垂直于同一直线的两条直线平行”推出CD//EF，根据“两直线平行，同位角线段”得出∠2=∠BCD，则∠1=∠BCD，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解；
(2)根据平行线的性质得出∠ACB=∠3=70°，根据角平分线定义求出∠BCD=35°，再根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵(9−x)(x−6)=1，(9−x)+(x−6)=3
∴[(9−x)+(x−6)]2=9，2(9−x)(x−6)=2，
∵(9−x)2+(x−6)2+2(9−x)(x−6)=(9−x)2+(6−x)2+2(9−x)(x−6)
∴(9−x)2+(6−x)2=9−2=7；
(2)设AC=a，BC=CF=b，
∴a+b=6，a2+b2=16，
∴(a+b)2=36，
∴a2+b2+2ab=36，
∴ab=10，
∴S△ACF=12ab=12×10=5．
【解析】(1)根据完全平方公式的适当变形即可解答；
(2)设AC=a，BC=CF=b，根据题目表示出面积与长度，进而利用完全平方公式变形可解答．
本题考查了完全平方公式的变形，根据已知条件表示出完全公式中的项是解题的关键．
23.【答案】解：①∵∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴∠ACB=45°，∠ECD=30°，
当AC旋转至∠DCE的内部时，如图，∠DCA与∠ECB的数量关系是：∠ECB−∠DCA=15°；
理由是：由旋转得：∠ACE=5t，
∴∠DCA=30°−5t，∠ECB=45°−5t，
∴∠ECB−∠DCA=(45°−5t)−(30°−5t)=15°；
②当A、B分别在△CDE外部时，如图示：
∵∠ACB=∠DCA+∠ECB+∠DCE，
∴∠DCA+∠ECB=45°−30°=15°；
当点A在△CDE外部，点B在△CDE内部，如图示：
∵∠ACB=∠DCA+∠DCB=∠DCA+∠DCE−∠ECB，
∴45°=∠DCA+30°−∠ECB，
∴∠DCA−∠ECB=15°，
综上：不存在；∠ECB+∠DCA=15°或∠DCA−∠ECB=15°．
③当点A在直线EC上方时，如图示：
∵DE//CA，
∴∠ACE=180°−∠E=120°，
∴t=120÷5=24s；
当点A在直线EC下方时，如图示：
∵DE//CA，
∴∠ACE=∠E=60°，
∴旋转了360°−60°=300°
∴t=300÷5=60s，
综上：存在，t=24s或t=60s．
【解析】①∠ECB−∠DCA=(45°−5t)−(30°−5t)=15°；
②当A、B分别在△CDE外部时，由∠ACB=∠DCA+∠ECB+∠DCE，得∠DCA+∠ECB=45°−30°=15°；当点A在△CDE外部，点B在△CDE内部，由∠ACB=∠DCA+∠DCB=∠DCA+∠DCE−∠ECB，得∠DCA−∠ECB=15°．
③根据平行线的性质确定旋转角的大小，即可求出时间．
本题是典型的实际操作问题，考查了平行线的性质，角度的和差运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
24.【答案】(1)1650
(2)解：①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：20x+10y=110025x+20y=1750，
解得：x=30y=50，
答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；
② 6．
【解析】解：(1)设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：20x+10y=1100，
∴30x+15y=1.5(20x+10y)=1.5×1100=1650(元)，
故答案为：1650；
(2)①见答案；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为14a，
打折牛奶价格为：30×0.6=18(元)，打折咖啡价格为：50×0.6=30(元)，
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有(34a−b)箱，
由题意得：18×14a+30×(34a−b)+50b=1200，
整理得：27a+20b=1200，
∵a、b均为正整数，
∴a=20b=33，或a=40b=6，
∵a>b，
∴a=40，b=6，
即此次按原价采购的咖啡有6箱，
故答案为：6．
(1)设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由题意得：20x+10y=1100，即可求解；
(2)①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由题意列出方程组，求解即可；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为14a，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有(34a−b)箱，由题意列出方程，求出正整数解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，正确列出方程组或方程是解题的关键．牛奶(箱)
咖啡(箱)
金额(元)
方案一
20
10
1100
方案二
30
15
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