上海市闵行区2024届高三下学期学业质量调研（二模）数学试卷(含答案)

这是一份上海市闵行区2024届高三下学期学业质量调研（二模）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．集合，，则__________.
2．已知复数z满足（i为虚数单位），则__________.
3．始边与x轴的正半轴重合的角的终边过点，则__________.
4．在的二项展开式中，项的系数为__________.
5．已知正实数a、b满足，则的最大值为__________.
6．已知等比数列的前n项和为，且，，则__________.
7．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有__________.种.
8．函数在处的切线方程为__________.
9．已知、是空间中两个互相垂直的单位向量，向量满足，且，当取任意实数时，的最小值为__________.
10．双曲线的左右焦点分别为、，过坐标原点的直线与相交于A、B两点，若，则__________.
11．对于任意的、，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________.
12．已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成__________个等边三角形.
二、选择题
13．设，则“”是“”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
14．已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为( )
A.B.C.D.
15．某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：
假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是( )
①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于；
②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；
③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.
A.0个B.1个C.2个D.3个
16．已知，集合，，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是( )
命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；
命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.
A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题
C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题
三、解答题
17．在锐角中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且.
（1）求角B；
（2）求的取值范围.
18．如图，已知为等腰梯形，，，平面，.
（1）求证：；
（2）求二面角的大小.
19．ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个.
（1）求小张能全部回答正确的概率；
（2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
（3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差.
20．如图，已知椭圆和抛物线，的焦点F是的上顶点，过F的直线交于M、N两点，连接、并延长之，分别交于A、B两点，连接，设、的面积分别为、.
（1）求p的值；
（2）求的值；
（3）求的取值范围.
21．已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（，）.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）求证：函数在区间（，）上有且仅有一个零点；
（3）求证：.
参考答案
1．答案：
解析：，
所以.
故答案为：.
2．答案：
解析：由得，
所以，
故答案为:.
3．答案：/
解析：始边与x轴的正半轴重合的角的终边过点，
则，
故.
故答案为：.
4．答案：
解析：的二项展开式的通项为：.
由，得.
的二项展开式中，项的系数是.
故答案为：.
5．答案：/
解析：因为正实数a、b满足，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.
故答案为：.
6．答案：121
解析：设公比为q，故，解得，
所以，
故.
故答案为：121.
7．答案：96
解析：完成承建任务可分五步:
第一步，安排1号有4种；
第二步，安排2号有4种；
第三步，安排3号有3种；
第四步，安排4号有2种；
第五步，安排5号有1种.
由分步乘法计数原理知，共有种.
故答案为96.
8．答案：
解析：，，所以，，
所以在处的切线方程为，即，
故答案为：.
9．答案：
解析：因为，，，，
所以
，
所以当时，的最小值为，
故答案为：.
10．答案：4
解析：双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距，
由双曲线的对称性可得，，有四边形为平行四边形，
令，则，由双曲线定义可知，
故有，即，即，，
中，由余弦定理，
，
即，得，
.
故答案为：4.
11．答案：
解析：设函数，定义域为R，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
最小值为，
所以当时，有最小值1；
设函数，定义域为，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
最小值为，
所以当时，有最小值1，
不等式恒成立，则有，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
12．答案：20
解析：空间中4个点最多可连接成4个等边三角形，构成正四面体，
正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时是增加一个点，增加正三角形3个，
新增加的4个点，又构成1个正四面体，
所以当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形.
故答案为：20.
13．答案：B
解析：当时，或，不能推出有成立；
当时，则，必有成立，
故“”是“”的必要非充分条件，
故选：B.
14．答案：D
解析：因为为奇函数，所以等价于，即；
当时，，即，解得；
当时，，可得，所以，
解不等式，可得，
综上可得集合可表示为.
故选：D.
15．答案：D
解析：因为，且，
所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，
即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于，
故①②正确；
分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.故③正确；
故选：D.
16．答案：A
解析：对于，集合关于原点中心对称，且函数是奇函数，
若则则，
即若则，即集合表示的平面图形是关于原点中心对称图形，故①是真命题；
对于，
由即知，
设，，则t与y一一对应且t随y的增大而增大，，
又由知，，
结合知在范围内，t与x一一对应且t随x的增大而减小，
所以在，范围内，y与一一对应且y是关于x的减函数，
由①可知图象关于原点中心对称，所以可得到在，的图象，如图，
代入点可得，所以的区域是右半部分，
面积为正方形面积的一半，即集合表示的平面图形的面积，故②是假命题.
故选：A.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1），
，
又，，
，，.
（2）由（1）可知，，且为锐角三角形，
所以，，
则，
因为，
.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接，在等腰梯形中，，，，
则，，于是，，即，
由平面，平面，得，
而，，平面，因此平面，又平面，
所以.
（2）取的中点H，连接，，由，得，
在中，，
由平面，平面，得，
则，于是，
因此为二面角的平面角，
因为，，，，平面，
则平面，又平面，则，
在中，，，则，
所以二面角的大小为.
19．答案：（1）
（2）0.9
（3）小张答对题数的期望为8.1，方差为0.09，ChatGPT答对题数的期望为8.1，方差为0.81
解析：（1）设小张答对的题数为X，则.
（2）设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，
由题意知，，，
则，
.
（3）设小张答对的题数为X，则X的可能取值是8，9，
且，，
设ChatGPT答对的题数为Y，则Y服从二项分布，
则，，
，
.
20．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）椭圆的上顶点坐标为，
则抛物线的焦点为，故.
（2）若直线与y轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不符合题意，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点、，
联立可得，恒成立，则，
.
（3）设直线、的斜率分别为、，其中，，
联立可得，解得，
点A在第三象限，则，
点B在第四象限，同理可得，
且
，
当且仅当时，等号成立.
的取值范围为.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）由，
当时，，即函数在区间上是严格增函数，
且，，
所以在区间上的值域为.
（2）当时，
①当n是偶数时，，
函数在区间上是严格增函数；
②当n是奇数时，，
函数在区间上是严格减函数；
且，故，
所以由零点存在定理可知，
函数在区间上有且仅有一个零点.
（3）由（2）可知函数在上有且仅有一个零点，
且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标）
又因为，故，
所以由零点存在性定理可知，
函数在上有且仅有一个零点，
于是，，
①因为，得
所以，即；
（或者），
②因为，
由（1）可知，当时，有，
故，所以；
由①②可知.
不吸烟者
吸烟者
总计
不患慢性气管炎者
121
162
283
患慢性气管炎者
13
43
56
总计
134
205
339