四川省多校2024届高三下学期第一次统一监测数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省多校2024届高三下学期第一次统一监测数学（理）试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．一次课外活动中,甲,乙,丙,丁,戊五名同学准备从羽毛球和乒乓球两项活动中随机选择一项参加,则甲,乙两名同学参加同一项活动的概率为( )
A.B.C.D.
3．已知平面向量,满足.若,则向量,的夹角为( )
A.B.C.D.
4．在的展开式中,常数项为( )
A.B.60C.D.120
5．执行如图所示的程序框图,则输出的n值是( )
A.9B.99C.100D.999
6．已知数列的前n项和为,若,则数列的通项公式为( )
A.B.C.D.
7．函数的图象大致是( )
A.B.C.D.
8．已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
9．已知函数在区间上恰好有两个最值,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
10．设正方体的棱长为1,与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为M,则M的面积的最大值为( )
A.B.C.D.
11．已知双曲线左､右焦点分别为,,过的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若为直角三角形,则( )
A.B.C.D.
12．已知函数和有相同的最小值.若,则的最大值为( )
A.B.eC.D.
二、填空题
13．已知i为虚数单位,复数,计算__________.
14．已知等差数列的前n项和为,且,则______.
15．如图,在矩形ABCD中,,,点E为线段CD的中点.沿直线AE将翻折,点D运动到点P的位置.当平面PAE与平面ABCE所成角为时,三棱锥的体积为__________.
16．已知点M在抛物线上运动,过点M的两直线与圆相切,切点分别为A,B,当取最小值时,直线AB的方程为__________.
三、解答题
17．在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度h（单位：），得到如下的样本数据的频率分布直方图.
（1）估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率；
（3）已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为，果苗高度位于区间的棵数占该果苗总棵数的.从该苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）.
18．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求角A;
（2）若,,的角平分线交BC于D,求AD的长.
19．如图,在四棱锥中,,,平面平面PCD,设平面PAD与平面PBC的交线为l.
（1）证明:平面平面PCD;
（2）已知.若直线l与直线AB所成的角为,求直线l与平面PAB所成角的正弦值.
20．已知定点,定直线,动点在曲线上.
（1）设曲线C离心率为,点M到直线l的距离为d,求证:;
（2）设过定点F的动直线与曲线C相交于P,Q两点,过点P与直线l垂直的直线与l相交于点R,直线QR是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
21．已知函数.
（1）若,求的值;
（2）若有2个零点,,证明:.
22．在直角坐标系xOy中,过点且倾斜角为的直线l与轴相交于点Q,以点Q为圆心的圆半径为2.以点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l的一个参数方程和圆Q的极坐标方程;
（2）设直线l与圆Q相交于点M,N,求的面积.
23．已知.
（1）求不等式的解集;
（2）令的最小值为M,若正数a,b满足,证明:.
参考答案
1．答案：A
解析：集合,,则.
故选:A
2．答案：C
解析：基本事件的总数为,
甲､乙参加同一项活动包含的基本事件有,
由古典概型的计算公式,所以甲,乙参加同一项活动的概率为.
故选:C.
3．答案：C
解析：由得:,
又,所以,
设向量,的夹角为,
可得:,且,
解得向量,的夹角为.
故选:C.
4．答案：B
解析：由题意得:,,1,…,6,
当时,常数项为,
故选:B.
5．答案：B
解析：已知程序框图的功能是求,
由得,所以输出.
故选:B
6．答案：D
解析：,当时,,
当,,也满足,
所以数列的通项公式为.
故选:D
7．答案：A
解析：因为,定义域为R,
又
,可知为偶函数,排除CD;
当时,,
当时,,则,
当时,,则,B不符题意,
故选:A.
8．答案：A
解析：依题意,,;
因为函数是增函数,且,所以;
因为函数是增函数,所以;
因为函数是增函数,且,所以,
综上可得:.
故选:A.
9．答案：C
解析：由,当时,,
函数在区间上恰好有两个最值,由正弦函数的图象知,
解得.
故选:C.
10．答案：B
解析：连结,因为平面,平面,所以
且,平面,所以平面,平面,
所以,同理,且,平面,
所以平面;
所以平面为平面或与其平行的平面,M只能为三角形或六边形.
当M为三角形时,其面积的最大值为;
当M为六边形时,此时的情况如图所示,
设,则,
依次可以表示出六边形的边长,如图所示:六边形可由两个等腰梯形构成,
其中,,两个等腰梯形的高分别为,,
则,
当且仅当时,六边形面积最大,即截面是正六边形时截面面积最大,最大值为.
11．答案：C
解析：该双曲线的渐近线方程为,则,
若为直角三角形,则只可能或者,
这两种情况对称,面积相同,只研究一种情况即可,
如图所示,,
在中,有,,,
在中,,,,所以.
故选:C.
12．答案：A
解析：依题意,,可知时,,此时单调递减;
时,,此时单调递增;
则时,取得极小值,也即为最小值;
又,时,,此时单调递减;
时,,此时单调递增;
则时,取得极小值,也即为最小值.
由,解得.
因为,所以,
可知,且,所以,
令,则,当,,此时单调递增;
当,,此时单调递减;
故时,取极大值,也即为最大值.
故选:A.
13．答案：
解析：.
故答案为:
14．答案：27
解析：因为为等差数列,所以,解得,
所以.
故答案为:27
15．答案：
解析：如图,取的中点,连接,与交于点.
由翻折前后的不变性可知,.由已知,四边形DEFA为正方形,则
所以（或其补角）为平面PAE与平面ABCE所成角的平面角,故或;
由于,PH,平面PDF,所以平面PDF,平面ABCE,
故平面平面PDF,即P在平面上的射影O在直线DF上(点在线段或上均可).
由题意可知,在中,,,则
,又,则.
故答案为:
16．答案：
解析：如图,设,设AB与MC交于H,
由题意知,,
中,,
而,则,
当最小时,取最小值.
而,
当且仅当时,取得最小值,此时,,,
则以M为圆心,为半径的圆的方程为:,
与圆的方程相减,可得AB的直线方程为:,即,
故答案为:
17．答案：（1）33cm
（2）0.6
（3）0.0225
解析：（1）由频率分布直方图得该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：.
（2）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的频率为：.
所以，估计该苗圃一颗受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率为0.6.
（3）设从苗圃中任选一棵高度位于区间的果苗为事件A，该棵果苗受到这种病虫害为事件B，
则.
18．答案：（1）
（2）.
解析：（1）解法一:
由及正弦定理,
可得.
又,
所以.
又在中,,故,
,所以.
解法二:由及余弦定理,
可得.
即,
所以.
,所以.
（2）由（1）知,.
又,,,
所以.
所以.
19．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）因为平面平面PCD,且其交线为PD,,平面PAD,故平面PCD.
又,所以平面PCD,平面PBC.
所以,平面平面PCD.
（2）,平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.
又平面平面PBC的交线,平面PAD,所以(可知直线与平面所成角等于直线AD与平面PAB所成角).
由直线l与直线AB所成的角为,知.
可推出,.
由（1）可知,平面PCD,平面ABCD,即平面平面PCD,
由于两平面的交线为CD,
过P作直线CD的垂线,垂足为H,则平面ABCD.
方法1:
,,则,
则,,.
又,,是一个直角三角形,
,,
,
.
设点D到平面PAB的距离为h,
由,得,
解得.
直线l与平面PAB所成角的正弦值为.
方法2:
以H为坐标原点,分别以向量,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图空间直角坐标系.
则,,,,
,,,
设平面PAB的法向量为,
由得.
取,得,
则平面PAB的一个法向量为.
又,令直线AD与平面PAB所成角为,
则.
所以,直线l与平面PAB所成角的正弦值为.
20．答案：（1）证明见解析;
（2）直线QR过定点,定点的坐标为.
解析：（1）由题意,曲线C的离心率,
显然,,即,又因为,
所以,
所到,即.
（2）设点的坐标分别为,
由题意,当直线PQ的斜率不为0时,设直线PQ的方程为,
联立方程组,消去并整理得,
由韦达定理知,
由已知,点R的坐标为,
则直线QR的方程为,
根据椭圆的对称性可知,如果直线QR过定点,则此定点一定在轴上,
令,可得,
而,,所以
,
此时,为定值,
当直线PQ的斜率为0时,直线QR与直线PQ重合,必然过点,
综上,直线QR过定点,定点的坐标为.
21．答案：（1）0;
（2）证明见解析.
解析：（1）令,
则,.
①当时,知在上单调递增.
又,,
则,.
当时,由于单调递增,则,所以在上单调递增.
又,所以当时,,即,不符题意.
②当时,.
可知当时,;当时,.
所以当时,取得极小值,也即为最小值,该最小值为.
所以,即,不等式成立.
③当时,可时,,故不恒成立,不符题意.
综上所述,的值为0.
（2）欲证,
只需证,
即证明,
因为,
两式相减,得,
整理得,
所以,只需证明不等式,
即证明,即证明,
不妨设,令,则,
只需证明,即证明即可,
令,则,
又令,则,
所以,当时,单调递减,即单调递减,则,
则时,单调递增,则,
所以,原不等式成立,故不等式得证.
22．答案：（1）(t为参数),;
（2）.
解析：（1）直线的一个参数方程为(t为参数).
由上,直线l与轴的交点坐标.
所以,圆Q的极坐标方程为.
（2）由（1）可知,直线l的倾斜角为,圆Q的圆心为,半径为2.
如图,易知,,,
所以的面积.
23．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）当时,,解得;
当,得;
当时,,可得.
综上所述,的解集为.
（2）由（1）知,当时,;
当时,;当时,,
则的最小值为2,即.
故,,,
,
当且仅当等号成立,所以.