四川省多校2024届高三下学期第一次统一监测数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省多校2024届高三下学期第一次统一监测数学（文）试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( ).
A.B.C.D.
2．采购经理指数(PMI),是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一,具有较强的预测,预警作用.PMI高于50%时,反映经济总体较上月扩张;低于50%,则反映经济总体较上月收缩.根据2022年6月至2023年9月PMI.绘制出如下折线图.
根据该折线图,下列结论正确的是( ).
A.2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位数大于50
B.2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第一季度各月的PMI的方差
C.2023年第1季度各月经济总体较上月扩张
D.2023年第3季度各月经济总体较上月扩张
3．已知向量,,若,则实数( ).
A.B.C.D.
4．一次课外活动中,某班60名同学均参加了羽毛球或乒乓球运动,其中37人参加了羽毛球运动,38人参加了乒乓球运动.若从该班随机抽取一名同学,则该同学既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的概率为( ).
A.B.C.D.
5．已知数列为正项等比数列,记前n项和为,若,,则数列的通项公式为( ).
A.B.C.D.
6．已知双曲线的渐近线方程为,则( ).
A.B.1C.D.3
7．执行如图所示的程序框图,则输出的n值是( )
A.9B.99C.100D.999
8．已知,,,则a,b,c大小关系是( ).
A.B.C.D.
9．函数的图象大致是( ).
A.B.C.D.
10．函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合,则的最小值为( ).
A.1B.2C.3D.4
11．设正方体的棱长为1,与直线垂直的平面截该正方体所得的截面多边形为M.则下列结论正确的是( ).
A.M必为三角形
B.M可以是四边形
C.M的周长没有最大值
D.M的面积存在最大值
12．已知函数,.若,则的最大值为( ).
A.B.eC.D.2e
二、填空题
13．已知i为虚数单位,复数,则__________.
14．已知等差数列的前n项和为,且,则__________.
15．如图,在矩形ABCD中,,,点E为线段CD的中点,沿直线AE将翻折,点D运动到点P的位置.当平面平面ABCD时,三棱锥的体积为__________.
16．已知点M在抛物线上运动,过点M的两直线,与圆相切,切点分别为A,B,则当取最小值时,点M的坐标为__________.
三、解答题
17．在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查,随机调查了200棵受到某病虫害的果苗,并测量其高度h(单位:cm),得到如下的样本数据的频率分布直方图.图中a,b,c成等差数列,公差为0.01.
（1）求a,b,c的值;
（2）估计该苗圃受到这种病虫害的果苗高度的中位数和平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
（3）估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗的高度位于区间的概率.
18．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求角A;
（2）若,,的角平分线交BC于D,求AD的长.
19．如图,四棱锥中,,,平面平面PCD.
（1）证明:平面PCD;
（2）已知,且,求点D到平面PAB的距离.
20．已知函数.
（1）若,求的最小值;
（2）若有2个零点,,证明:.
21．已知定点,定直线,动点在曲线上.
（1）设曲线C离心率为,点M到直线l的距离为d,求证:;
（2）设过定点F的动直线与曲线C相交于P,Q两点,过点P与直线l垂直的直线与l相交于点R,直线QR是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
22．在直角坐标系xOy中,过点且倾斜角为的直线l与轴相交于点Q,以点Q为圆心的圆半径为2.以点O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l的一个参数方程和圆Q的极坐标方程;
（2）设直线l与圆Q相交于点M,N,求的面积.
23．已知.
（1）求不等式的解集;
（2）令的最小值为M,若正数a,b满足,证明:.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得,集合,
因为,
所以.
故选:B.
2．答案：C
解析：根据图表可知,共有10个月的PMI小于50,
所以各月的PMI的中位数小于50,A错误;
2022年第四季度各月的PMI比2023年第一季度各月PMI的波动大,
则方差也大,故B错误;
2023年第1季度各月PMI均大于50,则各月经济总体较上月扩张,C正确;同理D错误,
故选:C.
3．答案：C
解析：由已知得,
因为,
故,解得.
故选:C.
4．答案：A
解析：依题意,该班学生中既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动有:
(名),
故从该班随机抽取一名同学,
该同学既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的概率为,
故选:A.
5．答案：D
解析：设数列的公比为,
由,得,解得,(舍去),
所以数列的通项公式为.
故选:D
6．答案：A
解析：该双曲线的渐近线方程为且,则,可解得,满足.
故选:A
7．答案：B
解析：易知程序框图的功能是求,
由得,所以输出.
故选:B
8．答案：A
解析：由对数函数的性质,可得,
又由,所以,
因为,所以.
故选:A.
9．答案：A
解析：由函数,可得其定义域为R,关于原点对称,
且,
可知为偶函数,其函数的图象关于轴对称,可排除C,D;
当时,可得,
若时,,则;
若时,可得,则,此时B不符题意.
故选:A
10．答案：C
解析：函数图象向左平移个单位长度后,
得的图象,
由已知得,
所以,
所以,
所以,,
所以,,
因为,所以的最小值为3,
故选:C.
11．答案：D
解析：对于选项A,B,易知平面为平面或与其平行的平面,故多边形M只能为三角形或六边形,选项A和B均错误;
对于选项C,
当M为正三角形时,显然截面多边形M为时周长取得最大值为;
当截面多边形M为六边形时,
设,则,,,
易得:,,
此时截面多边形M的周长为定值:,
综合两种情况,M的周长的最大值为,选项C错误;
对于选项D,
当M为正三角形时,
仅当截面多边形M为时的面积为;
当截面多边形M为六边形时,设,
该六边形可由两个等腰梯形和构成,
其中,
,,,
两个等腰梯形KOPL和KONM的高分别为和,
则
,
,
当且仅当时,六边形面积最大值为,即截面多边形是正六边形时截面面积最大.
综上,当时,截面多边形为正六边形时面积取得最大值.
选项D正确.
故选:D.
12．答案：A
解析：由函数,可得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增;
又由,可得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
因为,所以,
可知,,且,
所以,
令,则,
当,,当,,
故时,取极大值,也即为最大值.
故选:A.
13．答案：
解析：.
故答案为:.
14．答案：26
解析：因为为等差数列,
故可转化为,
所以,则.
故答案为:26.
15．答案：或
解析：如图,取AB的中点F,连接DF交AE于点H,连接PH.易知四边形DEFA为正方形,则,
由翻折前后的不变性可知,,
当平面平面ABCE时,又平面平面,平面PAE,
所以平面ABCE.
由题意可知,,,
所以.
故答案为:
16．答案：
解析：依题意,C点坐标为.
如图,设,设AB与MC交于H.
根据圆的性质,有,且在中,
,
而,则,
所以,当最小时,最小.
又,
当且仅当时,取得最小值,此时.
故答案为:
17．答案：（1）,,
（2）中位数为32.5cm,平均高度为:33(cm).
（3）0.6
解析：（1）因为a,b,c是公差为0.01的等差数列,
所以,
解得,,.
（2）因为高度位于区间的频率为,
位于区间的频率为,
所以,果苗高度的中位数是区间的中点,即为.
由频率分布直方图得,该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为:
(cm).
（3）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的频率为:
,
所以,估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间的概率为0.6.
18．答案：（1）
（2）.
解析：（1）解法一:
由及正弦定理,
可得.
又,
所以.
又在中,,故,
,所以.
解法二:由及余弦定理,
可得.
即,
所以.
,所以.
（2）由（1）知,.
又,,,
所以.
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为平面平面PCD,平面平面,
且,平面PAD,所以平面PCD,
又因为,所以平面PCD.
（2）由（1）可知,平面PCD,且平面ABCD,所以平面平面PCD,
过P作直线CD的垂线,垂足为H,则平面ABCD,
由,,
可得,,,,
因为平面PCD,平面PCD,所以,
则,可得,
在直角梯形ABCD中,因为,可得,
所以,等腰中,,,
取PB的中点M,连接AM,可得,且,
所以,
设点D到平面PAB的距离为h,
由,可得,解得,
所以点D到平面PAB的距离为.
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）当,函数,
则,
可知当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
则当时,取得极小值,也即为最小值,
所以的最小值为;
（2）由已知,,是的两个零点,
则,,
两式相减,得,
整理得,
欲证明,
只需证明不等式,
即证明,也即证明,
不妨设,令,则,
只需证明,即证明即可,
令,则,
又令,则,
所以,当时,,即单调递减,则,
故当时,单调递增,则,
所以,原不等式成立,故不等式得证.
21．答案：（1）证明见解析;
（2）直线QR过定点,定点的坐标为.
解析：（1）由题意,曲线C的离心率,
显然,,即,又因为,
所以,
所到,即.
（2）设点的坐标分别为,
由题意,当直线PQ的斜率不为0时,设直线PQ的方程为,
联立方程组,消去并整理得,
由韦达定理知,
由已知,点R的坐标为,
则直线QR的方程为,
根据椭圆的对称性可知,如果直线QR过定点,则此定点一定在轴上,
令,可得,
而,,所以
,
此时,为定值,
当直线PQ的斜率为0时,直线QR与直线PQ重合,必然过点,
综上,直线QR过定点,定点的坐标为.
22．答案：（1）(t为参数),;
（2）.
解析：（1）直线的一个参数方程为(t为参数).
由上,直线l与轴的交点坐标.
所以,圆Q的极坐标方程为.
（2）由（1）可知,直线l的倾斜角为,圆Q的圆心为,半径为2.
如图,易知,,,
所以的面积.
23．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）当时,,解得;
当,得;
当时,,可得.
综上所述,的解集为.
（2）由（1）知,当时,;
当时,;当时,,
则的最小值为2,即.
故,,,
,
当且仅当等号成立,所以.