四川省乐山市2024届高三第二次调查研究考试文科数学试卷(含答案)

这是一份四川省乐山市2024届高三第二次调查研究考试文科数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，，则( )
A.B.C.D.
2．复数，则( )
A.B.C.2D.
3．某公司收集了某商品销售收入y（万元）与相应的广告支出x（万元）共10组数据（，2，3，…，10），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉A点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是( )
A.决定系数变小B.残差平方和变小
C.相关系数r的值变小D.解释变量x与预报变量y相关性变弱
4．已知D，E分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为( )
A.B.C.D.
5．已知数列满足，（），则( )
A.B.C.D.2
6．已知平面区域，则的最大值为( )
A.8B.4C.3D.2
7．在区间随机取1个数x，则x使得的概率为( )
A.B.C.D.
8．已知函数，则下列说法中，正确的是( )
A.的最小值为
B.在区间上单调递增
C.的最小正周期为
D.的图象可由的图象向右平移个单位得到
9．如图，菱形的对角线与交于点O，是的中位线，与交于点G，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面.给出下列结论：
①平面；
②平面平面；
③“直线直线”始终不成立.
其中所有正确结论的序号为( )
A.①②③B.①②C.①③D.②③
10．已知函数，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数的大致图象的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
11．已知，分别是双曲线（，）的左右焦点，若过的直线与圆相切，与C在第一象限交于点P，且轴，则C的离心率为( )
A.B.3C.D.
12．已知a，b，c均为正数，，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知函数，则的值为__________.
14．已知，则曲线在点处的切线方程为__________.
15．已知数列的前n项和为，且，，则__________.
16．一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为__________.
三、解答题
17．某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：
（1）通过计算判断，有没有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？
（2）为收集学生对课外活动建议，在参加文化艺术类活动的学生中按性别用分层抽样的方法抽取了6名同学.若在这6名同学中随机抽取2名，求所抽取的2名同学中至少有1名女生的概率.
附表及公式：
其中，.
18．如图，在三棱锥中，M为边上的一点，，，，.
（1）证明：平面；
（2）设点Q为边的中点，试判断三棱锥的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.
19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C；
（2）若是的角平分线，，的面积为，求c的值.
20．在直角坐标系中，设F为抛物线（）的焦点，M为C上位于第一象限内一点.当时，的面积为1.
（1）求C的方程；
（2）当时，如果直线l与抛物线C交于A，B两点，直线，的斜率满足.证明直线l是恒过定点，并求出定点坐标.
21．已知函数.
（1）若存在极值，求a的取值范围；
（2）若，，证明：.
22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）设直线l与x轴相交于点A，动点B在C上，点M满足，点M的轨迹为E，试判断曲线C与曲线E是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.
23．已知a，b，c均为正数，且.
（1）是否存在a，b，c，使得，说明理由；
（2）证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：由，，得，
而，所以.
故选：C.
2．答案：D
解析：因为，
所以，
故选：D.
3．答案：B
解析：从图中可以看出A点较其他点，偏离直线远，故去掉A点后，回归效果更好，
故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，
相关系数r的绝对值，即会更接近于1，由图可得x与y正相关，故r会更接近于1，
即相关系数r的值变大，解释变量x与预报变量y相关性变强，
故A、C、D错误，B正确.
故选：B.
4．答案：A
解析：因为D，E分别为，的中点，
所以，
设，又，所以，
即，解得.
故选：A.
5．答案：A
解析：因为，，
所以，，
，，……，
又，所以.
故选：A.
6．答案：B
解析：如下图所示，不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分，
在直线方程中，令，解得，
得点A的坐标为，作直线，
直线l在y轴上的截距为，
当直线l经过区域中的点时，
直线l在y轴上的截距最小，此时z取最大值，
即.
故选：B.
7．答案：C
解析：因为，又，
所以，，，
即有时，成立，
.
在区间上随机取一个数x，则x使得的概率为.
故选：C.
8．答案：D
解析：因为，
因为，所以，所以，故A错误；
当时，因为在上不单调，
所以在区间上不单调，故B错误；
的最小正周期，故C错误；
将的图象向右平移个单位得到
，故D正确.
故选：D.
9．答案：B
解析：菱形的对角线与交于点O，是的中位线，则，
而平面，平面，因此平面，①正确；
连接，由，得，，而，，平面，
则平面，又平面，因此平面平面，②正确；
显然是二面角的平面角，由绕旋转过程中，
从逐渐减小到（不包含和），当时，，
，，平面，则平面，而平面，于是，③错误，
所以所有正确结论的序号为①②.
故选：B.
10．答案：D
解析：由题意知，定义域为R，
当时，，由指数函数的单调性可知函数单调递增，可对应①；
当时，，令可得：，所以当时，，当时，，所以，函数先减后增，且当时，，此时可对应②；
当时，，当时，当时，，当时，，所以，函数先增后减，
当时，，且此时，所以可对应③，
当时，，此时，所以可对应④.
故选：D.
11．答案：D
解析：如图，设，圆的圆心为，半径为c，
过点的直线与圆M相切于点D，则，，
，则，所以，
因为轴，所以易得，，
化简得，即，解得，
.
故选：D.
12．答案：B
解析：可变形为：，可变形为：，可变形为：，
令，，，，且，
可知a，b，c分别为函数与，，的交点横坐标，
当时，单调递增且，，
，，这三个函数全部单调递减，且，，，，
由零点存在性定理可知：a，b，，所以只需判断，，这三个函数的单调性，在范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大，
由图象可知，下降速度最慢，所以最大，
，，时，，所以交点，
故选：B.
13．答案：
解析：，
.
故答案为：.
14．答案：
解析：由求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：.
15．答案：
解析：数列中，由，得当时，，
则，
显然满足上式，因此，
所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则圆锥的体积为，
当圆锥顶点与底面在球心O的同侧时，有，，
，
，
当且仅当，即时等号成立，又，所以等号不成立.
当圆锥顶点与底面在球心O的异侧时，，，
，
，当且仅当，即时等号成立.
此时，即.
所以当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为.
故答案为：.
17．答案：（1）有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关
（2）
解析：（1）由表格数据可得：，
有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关.
（2）抽取的6名同学中，男生有人，女生有人，
记事件A为“抽取的2名同学中至少有1名女生”，
则，，
即抽取的2名同学中至少有1名女生的概率为.
18．答案：（1）详见解析
（2）
解析：（1）因为，，，
所以，由射影定理得，
所以，由余弦定理得，
所以，则，即，
又因为，，
所以平面；
（2）因为点Q为边的中点，
所以，又，
所以，
因为平面，所以平面平面，
所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h，
因为为定值，
当h最大时，所以三棱锥的体积最大，
而，则，
当h=1时，.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由及正弦定理得，，
所以，因为，
所以，又，所以.
（2）由，得，
又，
，所以，
由余弦定理得，
所以.
20．答案：（1）
（2）恒过定点
解析：（1）由，所以，设，，
，
，解得，
所以抛物线C的方程为.
（2）如图，设，，，，
，解得，
所以点M的坐标为.
由题意直线l的斜率不为0，设，，，
联立，消去x整理得，
则，，，
因为，所以，
即，整理得，
将，代入上式，
，满足，
所以直线l为，恒过定点.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由，，得，
当时，，则单调递增，不存在极值；
当时，令，则，
当，则，即在上单调递减，
当，则，即在上单调递增.
所以是的极小值点，
所以当时，存在极值，
综上所述，存在极值时，a的取值范围是.
（2）欲证不等式在时恒成立，
只需证明在时恒成立.
设，，
则，
令，，
则.
当时，，所以，
所以即在上单调递增，
所以，
因为，所以，
故，，所以在上单调递增，
所以，
即当，时，不等式恒成立.
22．答案：（1）C的普通方程为，l直角坐标方程为
（2）存在，坐标为，
解析：（1）由题设曲线C的参数方程，消参得，
由，，且得，，化简得，
C的普通方程为，l直角坐标方程为.
（2）当时，，易知，设，
可得，，，（a是参数），
消参得方程为，且，，，，
则圆心距离，得，
则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组，
解得或，故坐标为，.
23．答案：（1）不存在，理由见解析
（2）证明见解析
解析：（1）不存在a，b，c，使得.理由如下：
因为a，b，c都是正数，且，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
即的最小值为，
所以不存在a，b，c，使得.
（2）因为
，当且仅当时等号成立，
所以.
文化艺术类
体育锻炼类
合计
男
女
合计