四川省绵阳市高中2024届高三下学期第三次诊断性考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳市高中2024届高三下学期第三次诊断性考试数学（理）试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数,则( )
A.B.4C.5D. 5
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．下图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A.16B.24C.40D.48
4．已知等比数列的前n项和为,满足,,则( )
A.B.C.9D.27
5．若函数的图象关于直线对称,下列选项中,______不是的零点( )
A.-1B.C.0D.2
6．已知函数,存在使得,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．将甲､乙､丙､丁4人分配到3个不同的工作岗位,每人只去一个岗位,每个岗位都要有人去,则甲､乙二人分别去了不同岗位的概率是( )
A.B.C.D.
8．国家统计单位统计了2023年全国太阳能月度发电量当期值（单位：亿千瓦时）,并与上一年同期相比较,得到同比增长率（注：同比增长率今年月发电量-去年同期月发电量）去年同期月发电量）,如统计图,下列说法不正确的是( )
A.2023年第一季度的发电量平均值约为204
B.2023年至少有一个月的发电量低于上一年同期发电量
C.2022年11月发电量也高于该年12月发电量
D.2023年下半年发电量的中位数为245.2
9．在半径为r的中,弦的长度为a,则的值为( )
A.B.C.D.与有关
10．在梯形中, ,,且,,沿对角线将三角形折起,所得四面体外接球的表面积为,则异面直线与所成角为( )
A.B.C.D.
11．已知函数既有极大值,也有极小值,则下列关系式中一定成立的是( )
A.B.C.D.
12．如图,过点的直线交抛物线于A,B两点,点A在M,B之间,点N与点M关于原点对称,延长交抛物线C于E,记直线的斜率为,直线的斜率为,当时,的面积为( )
A.1B.C.D.2
二、填空题
13．在的展开式中,的系数为______________．
14．已知双曲线,若,则该双曲线的离心率为______________.
15．底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截,截去一个底面半径为1,母线长为3的圆锥,则所得圆台的侧面积为______________.
16．在中,D是边上一点,,若,,且,则___________.
三、解答题
17．某工厂工程师对生产某种产品的机器进行管理,选择其中一台机器进行参数调试.该机器在调试前后,分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计,制作了如下列联表：
（1）根据列联表分析,是否有的把握认为参数调试改变产品质量？
（2）如果将合格品频率作为产品的合格概率.工程师从调试后生产的大量产品中,依次随机抽取6件产品进行检验,求抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p.（参考数据：）
附：
18．已知首项为1的等差数列满足：,,成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列满足：,求数列的前n项和.
19．如图,已知三棱柱的体积为,点C在平面内的射影落在棱上,且.
（1）求证：平面;
（2）若四边形的面积为3,与的距离为,,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20．已知椭圆的离心率为,过点的直线l交椭圆C于点A,B,且当轴时,.
（1）求椭圆C的方程;
（2）记椭圆C的左焦点为F,若过F,A,B三点的圆的圆心恰好在y轴上,求直线的方程.
21．设函数.
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）证明：存在,使得当时,.
22．在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),
（1）求曲线与y轴的交点坐标;
（2）以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,与交于A,B两点,求的大小.
23．已知,且,函数的最小值为2.
（1）求a,b的值;
（2）求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为复数,则.
故选：C
2．答案：B
解析：由得,则,
又,所以.
故选：B.
3．答案：A
解析：根据三视图可知该几何体是如图所示的一个四棱锥,
且面,底面为正方形,
所以.
故选：A.
4．答案：C
解析：由,,得,
即,由得,所以.
故选：C.
5．答案：B
解析：因为函数的图象关于直线对称,
所以,得,
所以,令得,
所以,
对于A,当时,,所以-1是的零点;
对于B,当时,,所以不是的零点;
对于C,当时,,所以0是的零点;
对于D,当时,,所以2是的零点.
故选：B.
6．答案：D
解析：,
当时,当时,,
如图：
恒成立,不满足题意;
当时,,
如图：
当时,．
故选：D．
7．答案：D
解析：甲、乙、丙、丁四人分到三个不同的工作岗位,每个岗位至少分到一人,
则必有2人分配到同一个工作岗位,先从4人中选出2人,有种选择,
再进行全排列,有种选择,故总的方法有种,
其中甲、乙两人被分到同一个工作岗位的情况：从3个岗位中选出一个分配给甲乙,
再将剩余的丙丁和剩余的两个岗位进行全排列,有种选择,
所以甲､乙二人分配到同一个工作岗位的概率为,
故甲､乙二人分别去了不同工作岗位的概率为.
故选：D.
8．答案：C
解析：选项A：由图中数据可知,2023年第一季度的发电量平均值约为,正确;
选项B：由图中数据可知,2023年4月的同比增长率为负数,
故该月发电量低于上一年同期发电量,正确;
选项C：根据同比增长率公式可知,2022年11月发电量为,
2022年12月发电量为,而,
则2022年11月发电量低于该年12月发电量,错误;
选项D：2023年下半年发电量按从小到大的顺序排列如下,210.5,234.6,244.3,246.1,258.9,269.2,
所以中位数为,正确.
故选：C.
9．答案：B
解析：取线段AB的中点D,得,所以.
所以.
故选：B.
10．答案：C
解析：如下图,将梯形补成长方形,折后得到直三棱柱,
因为,,所以,
异面直线与所成角即为与所成角,即或其补角,
又该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球,设外接球半径为R,则,
所以,设外接圆半径为r,圆心为,外接圆圆心为,
则三棱柱的外接球的球心为的中点O,连接,则,,
所以,又,即,
又中,,
即,
化简得,即,所以,
故选：C.
11．答案：D
解析：由题意得,
既有极大值,也有极小值,
有两个不同的根,
即有两个不同的根,
显然,故有两个不同的根,
令,则与图象有两个交点,
因为在R上单调递增,且,
所以当时,单调递减,当时,单调递增,
所以;
所以,即,即,
故选：D.
12．答案：A
解析：由题意可得直线斜率不为零,
设,,、、,
联立,得,,即,
,,
联立,得,,
,,
则,则,故,,
有,解得,则,,
故,
点N到直线的距离,
故.
故选：A.
13．答案：10
解析：展开式的第项为,
令,则.
故答案为：10.
14．答案：或
解析：.
故答案为：.
15．答案：
解析：如图,设原圆锥母线为l,则,则,
所以圆台的侧面积为：.
故答案为：.
16．答案：2
解析：设,,则,,
因为,所以,
又,所以,
所以,则,
在中,由正弦定理得,则,
在中,由正弦定理得,则,
又,所以,所以,
所以,所以,
即,则（负根舍去）,
所以,所以,
所以.
故答案为：2.
17．答案：（1）有的把握认为参数调试改变产品质量
（2）
解析：（1）补全列联表如图所示：
,
故有的把握认为参数调试改变产品质量;
（2）由题意,设备更新后的合格概率为0.8,淘汰品概率为0.2,
可以认为从生产线中抽出的6件产品是否合格是相互独立的,
设X表示这件产品中淘汰品的件数,则,
所以
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设公差为d,又,,成等比数列,
所以,又,所以或,
而时,不满足,,成等比数列,所以
所以
（2）令,
所以,
两式相减有：,
所以数列的前项和为,即,
又,所以,
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为点C在平面内的射影落在棱上,作交于O,
则平面,平面,则,
又,,,平面,故平面.
（2）由（1）知平面,平面,则,
故四边形为矩形,作于D,则,
连接,由（1）易知,,,平面,
故平面,平面,故,
又与的距离为,则,
设,,易知①,,
,
又三棱柱的体积为,故②,
由①②可得,,此时,
在平行四边形中,作交的延长线于F,
因为,所以,故为矩形,,,
设,则,
则,以O为原点,,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
,,,,,
设为平面的法向量,则,即,
令则,易知平面的一个法向量为,
设平面与平面所成锐二面角为,.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得：,得,
又当时,,则,所以,即,
所以椭圆C的方程为.
（2）设过F,A,B三点的圆的圆心为,,,又,
则,即,
又在椭圆上,故,代入上式化简得到：,①
同理,根据可以得到：,②
由①②可得：,是方程的两个根,则,设直线,
联立方程：,整理得：,故,解得,
所以,所以直线的方程为：.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）当时,,
所以,则,
则曲线在点处的切线方程为,
因此.
（2）因为,,由得到,
由得到,
所以在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,
要证：,即证：,
只需证：,.
设,则,
设,,则,
当时,,所以在上单调递减,
而,,故必存在唯一,使得,
所以当时,,即;当时,,即.
所以在上单调递增,在上单调递减,而,,
所以在上恒成立,即成立,原命题得证.
22．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由的参数方程得：
即曲线的普通方程为：,
令,得或4,
曲线与y轴的交点坐标为,.
（2）将的极坐标方程,即,
所以,化为直角坐标方程：,
是过点且倾斜角为的直线,
不妨设,则,
因为为直径,所以,
.
23．答案：（1）,
（2）2
解析：（1）,当且仅当等号成立,
故,又,故,结合,解得,.
（2）,
令,,
则,因为,故,
即的最大值为2.
产品
合格品
淘汰品
调试前
24
16
调试后
48
12
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
产品
合格品
淘汰品
总计
调试前
24
16
40
调试后
48
12
60
总计
72
28
100