2024届高考数学学业水平测试复习专题三第11讲二次函数与幂函数课件

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第11讲　二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质：
2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较．(3)幂函数的性质．①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②幂函数的图象过定点(1，1)．
③当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增．④当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
1．求二次函数的解析式 (1)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________________．(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，所以b＝－2，所以f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，所以2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.
剖析：求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，利用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解．
2．二次函数的图象和性质 (1)已知一元二次函数y＝x2－2x＋2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的为(　　)A．最小值为2，最大值为5B．最小值为1，最大值为5C．最小值为1，无最大值D．无最值(2)函数y＝x2－2x，x∈[0，2]的最大值为__________．(3)设函数f(x)＝x2＋2tx＋t－1.①当t＝2时，求函数f(x)在区间[－3，1]中的最大值和最小值；②若x∈[1，2]时，f(x)>0恒成立，求t的取值范围．
解析：(1)由已知得函数图象的对称轴是x＝1，在(0，1]上，函数是减函数，在[1，3)上是增函数，因此x＝1时，函数取得最小值为1，但无最大值．故选C.(2)函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为0≤x≤2，所以x＝0或x＝2时， 函数y＝(x－1)2－1取最大值，ymax＝0.故答案为0.答案：(1)C　(2)0
(3)解：①由题意，当t＝2时，函数f(x)＝x2＋4x＋1＝(x＋2)2－3，由二次函数的性质可知，f(x)在[－3，－2)上递减，在(－2，1]上递增，当x＝－2时，函数取得最小值，最小值为f(－2)＝－3，f(1)＝6，f(－3)＝－2，当x＝1时，函数取得最大值，最大值为f(1)＝6；②由f(x)＝x2＋2tx＋t－1＝(x＋t)2－t2＋t－1，因为当x∈[1，2]时，函数f(x)>0恒成立，当－t≤1时，即t≥－1时，f(x)min＝f(1)＝3t>0，解得t>0；当1<－t<2时，即－20，
剖析：(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键：①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
3．幂函数的图象和性质 (1)(2023·三明高二统考期末)已知幂函数的图象经过点P(8，4)，则该幂函数的大致图象是(　　)
答案：(1)C　(2)C　(3)3剖析：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)第一象限内，幂函数y＝xα中指数α为正数，则幂函数递增，α为负数，则幂函数递减．
1．幂函数f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)A．3 B．4C．5 D．6C　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，f(x)＝x(a－5)2－2(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a－5)2－2<0，从而a＝4，5，6，又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5.故选C.
3．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)A．d>c>b>a B．a>b>c>dC．d>c>a>b D．a>b>d>cB　由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.
5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈(－1，1)，则y的最小值是______．
6．(2023·广东模拟)已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是________．解析：因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，所以f(－x)＝(－x)2＋(2－m)(－x)＋m2＋12＝x2－(2－m)x＋m2＋12＝f(x)，所以x2－(2－m)x＋m2＋12＝x2＋(2－m)x＋m2＋12，所以－(2－m)＝2－m，所以m＝2.答案：2
8．已知二次函数f(x)满足f(－1)＝f(3)＝3，f(1)＝－1.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在[a－1，a＋1]上有最小值－1，最大值f(a＋1)，求a的取值范围．