海林市朝鲜族中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份海林市朝鲜族中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下面四个条件中,能确定一个平面的是( )
A.空间中的任意三点B.空间中的两条直线
C.空间中的两条平行直线D.空间中的一条直线和一个点
2．若，则z=( )
A.B.C.D.
3．电影《长津湖之水门桥》于2022年2月1日上映.某新闻机构想了解市民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层随机抽样的方法抽取一个样本.若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出了100人，则这个样本的容量为( ).
A.100B.160C.200D.240
4．已知单位向量，，则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
5．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是( )
A.正方形B.平行四边形C.菱形D.梯形
6．在中，已知，，，则( )
A.1B.C.D.3
7．正方体的六个面中相互平行的平面有( )
A.2对B.3对C.4对D.1对
8．如果平面平面，直线，直线，那么a与b的位置关系一定是( )
A.平行B.异面C.垂直D.不相交
9．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为( )
10．下列说法正确的是( )
A.一条直线与一个平面平行,它就和这个平面内的任意一条直线平行
B.平行于同一个平面的两条直线平行
C.与两个相交平面的交线平行的直线,必平行于这两个平面
D.平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行,则另一条也与这个平面平行
11．在正方体中,异面直线与BD的夹角为( )
A.B.C.D.
12．如图，在四面体中，若，，E是AC的中点，则下列结论正确的是( )
A.平面平面ABD
B.平面平面BDC
C.平面平面BDE，且平面平面BDE
D.平面平面ADC，且平面平面BDE
二、填空题
13．平面向量,,则___________.
14．若,,…,的平均数为a,则,,…,的平均数为________.
15．已知的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,,.则的面积是__________.
16．如图,三棱柱的底面为正三角形,侧棱与底面垂直,若,,则点A到平面的距离为______.
三、解答题
17．一支田径队共有运动员98人,其中女运动员有42人,用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本,每名运动员被抽到的概率都是,则男运动员应抽取多少人?
18．如图,在正方体1中,E为的中点.
求证:平面ACE;
19．某数学兴趣小组11人的年龄(单位:岁)分别为17,19,22,24,25,28,34,35,36,37,38,这组数据的三个四分位数分别是多少？
20．如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面,,,,, ,F,G分别是BC,BP的中点.
(1)设过三点P,E,C的平面为,求证:平面平面;
(2)求四棱锥与三棱锥的体积之比.
21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，边上的高为.
（1）若，求的周长；
（2）求的最大值.
22．如图,在三棱柱中,底面ABC是正三角形,,侧棱平面ABC,D,E分别是AB,的中点,且.
(1)求证:平面;
(2)求点A1到平面的距离.
参考答案
1．答案：C
解析：当空间中三点共线时能确定一条直线而不是平面,故A不正确;当两条直线重合时,过这条直线的平面有无数个,故B不正确;空间中的两条平行直线可以确定一个平面,故C正确;当这个点在直线上时,过这条直线的平面有无数个,故D不正确.故选C.
2．答案：D
解析：因为，所以.
故选：D
3．答案：C
解析：由3个区人口数之比为，得第三个区所抽取的人数最多，所占比例为50%.
又因为此区抽取了100人，所以3个区所抽取的总人数为100÷50%=200，即这个样本的容量为200.
故选：C.
4．答案：C
解析：对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误；
对于B，向量，为单位向量，但向量，不一定为相反向量，B错误；
对于C，向量，为单位向量，则，C正确；
对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误.
故选：C.
5．答案：B
解析：在四边形ABCD中，，所以，且，
所以四边形为平行四边形.
6．答案：D
解析：结合余弦定理可得，即，解得或（舍），故选D.
7．答案：B
解析：根据正方体的结构特征,可得正方体的六个面中有3对相互平行的平面,故选B.
8．答案：D
解析：由题知平面平面，直线，直线，则a与b的位置关系是平行或异面，即两直线不相交，故选D.
9．答案：B
解析：根据频率分布直方图可知，质量指标值在内的概率
故选：B
10．答案：D
解析：对于A,平面内还存在直线与这条直线异面,故A错误;对于B,这两条直线还可以相交、异面,故B错误;对于C,这条直线还可能在其中一个平面内,故C错误.故选D.
11．答案：B
解析：连接，(图略),因为,所以 (或其补角)即为异面直线与BD所成的角,易知为正三角形,所以,所以异面直线与BD的夹角为.故选B.
12．答案：C
解析：因为，且E是AC的中点，所以，同理有，于是平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面平面BDE.又由于平面ACD，所以平面平面BDE.故选C.
13．答案：
解析：向量,,
14．答案：
解析：根据平均数的性质知,,…,的平均数为。
15．答案：
解析:因为,所以.又,,所以,
即,解得.故.
16．答案：
解析：根据题意得,,.设点A到平面的距离为d,则由,得,即,解得,即点A到平面的距离为.
17．答案：（人）
解析：田径队共有运动员98人,其中女运动员有42人,男运动员有56人,每名运动员被抽到的概率都是,男运动员应抽取(人)。
18．答案：答案见解析
解析：
证明:连接BD,设,连接EF,如图,则,
又平面ACE,平面ACE,所以平面ACE.
19．答案：22,28,36
解析：因为,，所以这组数据的三个四分位数分别是第3,6,9个数据,即22,28,36.
20．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：(1)证明:G是BP的中点,,
又,.
又, ,四边形AEPG是矩形,.
平面,平面,平面.
F,G分别是BC,BP的中点,是的中位线,.
平面,,平面,∴平面.,且AG,平面AFG,
平面平面.
(2)
如图,过P作,垂足为H,由题意得平面ABPE,
.
平面平面ABPE,平面平面,平面ABPE, ,
平面ABCD,即PH是三棱锥的高.
,，
由勾股定理得
,,
,
四棱锥与三棱锥的体积之比为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意，可得，
因为，所以.由余弦定理得，
因此，即.
故的周长为.
（2）由（1）及正弦定理可得，
，（其中为锐角，且），
由题意可知，因此，当时，取得最大值.
22．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：(1)证明:在三棱柱中,平面ABC,平面ABC,所以.
在中,，,所以.
又,所以平面.
因为平面,所以.
又,，
所以平面.
(2)方法一:在矩形中,因为,
所以,
则,即,即,得.
在中,.
由(1)知平面,所以即为点C到平面的距离.
在中,.
设点到平面的距离为h,由,
得,即,解得,
所以点到平面的距离为.
方法二:在三棱柱中,因为平面ABC,平面ABC,
所以,又,所以,
则,即,即,得.
在三棱柱中,底面ABC是正三角形,侧面均为正方形,D为AB的中点,所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
由(1)知平面,设,则即为点到平面的距离.
因为,所以,
所以,即点到平面的距离为.