雷州市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份雷州市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数z满足，则( )
A.1B.5C.7D.25
2．已知向量，，.若，则实数k的值为( )
A.-8B.-6C.-1D.6
3．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为( )
A.B.C.24D.48
4．如图，在中，，，若，则等于( )
A.B.C.3D.
5．已知在中，，,那么此三角形( )
A.有一解B.有两解C.无解D.解的个数不确定
6．在中,,,,现以AB所在直线为轴旋转一周,则所得几何体的表面积为
A.B.C.D.
7．在中,若,则的形状为
A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.非等边三角形
8．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知m,,复数,,且为纯虚数,复数的共轭复数为,则
A.B.C.D.复数的虚部为
10．(多选)设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,，，且,则
A.B.C.D.
11．已知向量,,,,则下列说法正确的是( )
A.当时,最小B.当最小时,
C.当时,与的夹角最小D.当与的夹角最小时,
三、填空题
12．设向量a，b的夹角的余弦值为，且，，则__________.
13．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）.若A船的航行速度为40，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东的方向上，则此时A，B两船相距_______________.
14．我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系,称为“@未来坐标系”,如图所示,,分别为Ox,Oy正方向上的单位向量,若向量,则把实数对叫做向量的“@未来坐标”,记,已知,分别为向量,的“@未来坐标”,若向量,的“@未来坐标”分别为,,则向量,的夹角的余弦值为________.
四、解答题
15．在复平面内,复数z对应的点的坐标为,且为纯虚数(是z的共轭复数).
(1)求m的值;
(2)复数在复平面对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
16．已知，，与的夹角为
(1)求.
(2)求.
(3)若向量与相互垂直，求实数k的值.
17．在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知.
(1)求角A的大小;
(2)在下列三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答.
若,，点D是BC边上的一点,且________,求线段AD的长.
①AD是的中线;②AD是的角平分线;③.
18．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
（1）若，，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
19．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)设函数，试求的相伴特征向量；
(2)记向量的相伴函数为，当时，求的值域；
(3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由条件可知，.
故选：B
2．答案：B
解析：由题意得，因为，所以，.故选B.
3．答案：D
解析：
由直观图可得如上平面图形：
其中，，，轴，且，
所以.
故选：D
4．答案：A
解析：由题意可得,,,据此可知,,则.
5．答案：C
解析：由正弦定理和已知条件，得，
，此三角形无解.
6．答案：A
解析：因为在中,,,,所以是以为直角的直角三角形,故以AB所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆雉,所以圆锥的底面半径为3,母线长为5,所以底面周长为,侧面积为,所以几何体的表面积为.故选A.
7．答案：B
解析：由正弦定理知,(R为三角形外接圆的半径),
故,
所以,即,所以.
故为等腰三角形.
8．答案：D
解析：由题意,得,,
所以,解得.
9．答案：AC
解析：由题可知,
对于A:因为为纯虚数,所以,故A正确;
对于B:,故B错误;
对于C:,故C正确;
对于D:复数的虚部为-3,故D错误.
故选AC.
10．答案：AD
解析：由,得,由,得.又,,所以.故选AD.
11．答案：ABD
解析:由,,
所以,
所以
当时,取得最小值,故正确;
当最小时,,所以,所以,故B正确;
设向量与的夹角为,则,
要使向量与的夹角最小,则最大,由于,
所以的最大值为1,此时,则,解得,
此时,所以当时,与的夹角最小,此时,故C错误,D正确.
故选:ABD.
12．答案：11
解析：.
13．答案：
解析：由题设，且，正弦定理有，则，可得.故答案为:
14．答案：
解析：依题意,,,
所以,
,
所以,即向量,的夹角的余弦值为.
故答案为：
15．答案：(1)；
(2)；
解析：（1）由题意，复数，
所以，
则，
因为为纯虚数，所以，解得；
（2）复数，
因为复数在复平面对应的点在第一象限，
所以，解得
16．答案：（1）
（2）-22
（3）
解析：（1）由题意得，，
所以，
所以；
（2）由（1）知，
则；
（3）因为，
所以，
即，得，解得，
即实数k的值为.
17．答案：（1）
（2）答案见解析.
解析：(1)由,得,
即,
因为,所以.
(2)选①,由,，，
则,所以.
选②,因为,,,,
所以,
即,解得.
选③,依题意,得,由,,
则.
故
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由知.
因为，
所以正四棱锥的体积
正四棱柱的体积
所以仓库的容积.
（2）设，下部分的侧面积为，
则，，，
，，
设，
当，即时，，.
即当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是.
19．答案：（1）答案见解析.
（2）答案见解析.
（3）答案见解析.
解析：（1）由题意可得，，所以的伴随特征向量.
（2）向量的伴随函数为，
所以，
，，
，即，
的值域为.
（3）由为的伴随特征向量知：，
所以.
设，
，
，，
当时，，，满足.
在图像上存在点，使得.