长春市第二实验中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份长春市第二实验中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．数列,,,,的一个通项公式可以是( )
A.B.C.D.
2．函数在区间上的平均变化率为( )
A.B.C.D.
3．在等比数列中,,则( )
A.-3B.3C.-2D.2
4．某种细胞进行分裂时,第一次一个分成两个,第二次两个分成四个,,以此类推,则一个细胞经过五次分裂后共有细胞( )
A.16个B.31个C.32个D.63个
5．已知函数的导函数为,若,则( )
A.1B.-1C.D.
6．等差数列、的前n项和分别为和,若,则( )
A.B.C.D.
7．已知数列满足,若,恒成立,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知直线,是曲线与曲线的公切线,则( )
A.2B.C.eD.
二、多项选择题
9．以下求导运算正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知等差数列的公差为-3,若,,则首项的值可能是( )
A.18B.19C.20D.21
11．已知数列满足,,记数列的前n项和为,则下列结论错误的是( )
A.B.
C.D.
12．列昂纳多・斐波那契(LenardFibnacci,1170-1250年)是意大利数学家,1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”,于是得斐波那契数列,斐波那契数列可用如下递推的方式定义:用表示斐波那契数列的第n项,则数列满足:,.下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13．在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系.该运动员在时的瞬时速度为______.
14．将正整数18分解成两个正整数的积的形式有三种,且,则称3和6为18的最近因数.记正整数p,q是正整数n的最近因数,.若,则数列的前6项和是______.
15．已知函数,其导函数记为,则______.
16．“0,1数列”在通信技术中有着重要应用,它是指各项的值都等于0或1的数列.设A是一个有限“0,1数列”,表示把A中每个0都变为1,0,1,每个1都变为0,1,0,所得到的新的“0,1数列”.例如,则.设是一个有限“0,1数列”,定义,.若有限“0,1数列”,则数列的所有项之和为______.
四、解答题
17．设是公比不为1的等比数列,,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
18．已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程;
(2)求过点且与的图象相切的直线方程.
19．对于三次函数.定义:(1)的导数为,的导数为,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”;(2)设为常数,若定义在R上的函数对于定义域内的一切实数x,都有恒成立,则函数的图象关于点对称.
(1)已知,求函数的“拐点”A的坐标;
(2)检验(1)中的函数的图象是否关于“拐点”A对称;
(3)对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论(不必证明).
20．甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司,每人出资50万元作为启动资金投入生产,到当年年底,资金增长了.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定公司从第一年开始,每年年底拿出60万元分红,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元.
(1)求,,并写出与的关系式;
(2)至少经过多少年,公司分红后的剩余资金不低于1200万元?
(年数取整数,参考数据:,)
21．设正项数列的前n项之和,数列的前n项之积,且.
(1)求证:为等差数列,并分别求、的通项公式;
(2)设数列的前n项和为,不等式对任意正整数n恒成立,求正实数的取值范围.
22．已知数列中,,,数列的前n项和满足.数列的前n项和满足.
(1)求数列、的通项公式;
(2)记与中相同的项由小到大构成的数列为,求数列的前n项和.
参考答案
1．答案：B
解析：分母2,4,6,8是序号n的2倍,分母加1是分子.故选B.
2．答案：D
解析：.
3．答案：A
解析：设数列的公比为q,由可得,故.
4．答案：C
解析：细胞分裂后细胞个数是一个以2为首项,2为公比的等比数列,则一个细胞经过五次分裂后共有细胞个数为.
5．答案：B
解析：因为,所以,所以,解得.故选B.
6．答案：C
解析：由等差数列性质可知,又,.故选C.
7．答案：C
解析：因为恒成立,所以数列是递减数列,所以,即,解得.故选C.
8．答案：A
解析：设是图象上的一点,,所以在点处的切线方程为,即 ①.
令,解得,,所以,
即,解得或(此时①为,,不符合题意,舍去),
所以,此时①可化为,所以.
9．答案：CD
解析：对于A,因为,所以A不正确;
对于B,因为,所以B不正确;
对于C,因为,所以C正确;
对于D,因为,所以D正确.故选CD.
10．答案：BC
解析：由题意,得,所以.故选BC.
11．答案：AB
解析：因为,,所以,,,所以数列是以3为周期的周期数列,所以,,故AB错误;
因为,,
所以,故C正确;
,故D正确.故选AB.
12．答案：BD
解析：由题意知,,,,
,,,
,故A错误;
对于B,,故B正确;
对于C,
,故C错误;
对于D,由,则,故D正确.故选BD.
13．答案：-5
解析：由题设,则,所以运动员在时的瞬时速度为.
14．答案：124
解析：由题知,.
15．答案：2
解析：函数,则,显然为偶函数,令,显然为奇函数,又为偶函数,所以,,所以.
16．答案：
解析：,依题意,,.
显然,中有3项,其中2项为0,1项为1,由于每个0都变为1,0,1,每个1都变为0,1,0,则中有9项,其中4项为0,5项为1,同理可得有27项,其中有14项为0,13项为1.
由此可得中有项,其中0的项数与1的项数差的绝对值是1,
当为奇数时,0的项数为偶数,比1的项数多1项;
当为偶数时,0的项数为偶数,比1的项数少1项.
因此数列有项,0的项数比1的项数少1项,所以数列的所有项之和为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)设的公比为.
因为,即.
又因为,所以,即,
因为,所以.
所以.
(2)由(1)得,
所以是以3为首项,4为公比的等比数列,
所以.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得,
所以,,
所以的图象在处的切线方程为,
即.
(2)设切点为,
易得在处的切线为.
因为切线过点,则,
化简得,即,所以,,
所以所求切线方程为,化简得.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)依题意,得:,.
由,即.,又,
的“拐点”A的坐标是.
(2)由(1)知“拐点”坐标是.
而,
由定义②知的图象关于“拐点”对称.
(3)一般地,三次函数的“拐点”是,它就是的对称中心.
20．答案：(1)
(2)至少经过7年,公司分红后的剩余资金不低于1200万元
解析：(1)由题意得,投入生产的启动资金共有万元,
,
,
.
(2)由(1)知,
令,所以,,.
所以至少经过7年,公司分红后的剩余资金不低于1200万元.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意知:当时,,代人得,
所以.
由得,
所以是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以,,.
当时,,
当时,也符合上式,所以.
(2)由(1)得,
所以.
显然单调递增,所以.
由题意得,即,
又,所以的取值范围为.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1),,
两式相减得,即数列为等差数列,首项,公差,故数列的通项公式为.
,,,
当时,,,,
是首项为1,公比为2的等比数列,.
(2)由(1)知,设,则有,故数列与相同的项为,,,,,
故,.
,①
,②
①-②得,
故.