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浙江省温州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份浙江省温州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析），文件包含浙江省温州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题Word版含解析docx、浙江省温州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
高一数学试卷
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.
选择题部分（共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设是三个不同平面，且，，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 如图，在中，设，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，若，则（ ）
A B. C. D.
5. 如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，为的中点，则下列结论错误的是（ ）
A. 点共面B. 平面平面
C. D. 平面
6. 已知，，且，则的最大值为（ ）
A. 5.5B. 5C. 6.5D. 6
7. 在中，点是边上的点，且，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（ ）
A.
B.
C.
D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列命题一定成立的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. D.
10. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（ ）
A. 弧长度为B. 曲池的体积为
C. 曲池的表面积为D. 三棱锥的体积为5
11. 已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B. 若，则最大值为2
C. 若，则的最大值为
D. 若，则的最小值为
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的橫线上.
12. 若复数是方程的一个根，则的虚部为__________．
13. 如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为__________.
14. 已知满足，点为线段上一动点，若最小值为，则的面积_______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，.
（1）若，，且、、三点共线，求的值.
（2）当实数为何值时，与垂直?
16. 已知z是复数，与均为实数.
（1）求复数z；
（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
17. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，平行于和的平面分别与交于四点．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 如图，在中，已知，BC边上的中点为M，AC边上的中点为N，AM，BN相交于点P．
（1）求；
（2）求的余弦值；
（3）过点P作直线交边AB，BC于点E，F，求该直线将分成的上下两部分图形的面积之比的取值范围．
19. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
（1）如图一所示，在一个半径为的半球体中，挖去一个半径为的球体，求剩余部分的体积.
（2）如图二，由抛物线跟线段围成一个几何形，将该几何形绕轴旋转得到一个抛物线旋转体，请运用祖暅原理求该旋转体的体积.
（3）将两个底面半径为1，高为3圆柱体按如图三所示正交拼接在一起，构成一个十字型几何体.求这个十字型的体积，等价于求两个圆柱公共部分几何体的体积，请运用祖暅原理求出该公共部分几何体的体积.
高一数学试卷
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.
选择题部分（共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设是三个不同平面，且，，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 如图，在中，设，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，若，则（ ）
A B. C. D.
5. 如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，为的中点，则下列结论错误的是（ ）
A. 点共面B. 平面平面
C. D. 平面
6. 已知，，且，则的最大值为（ ）
A. 5.5B. 5C. 6.5D. 6
7. 在中，点是边上的点，且，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（ ）
A.
B.
C.
D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列命题一定成立的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. D.
10. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（ ）
A. 弧长度为B. 曲池的体积为
C. 曲池的表面积为D. 三棱锥的体积为5
11. 已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B. 若，则最大值为2
C. 若，则的最大值为
D. 若，则的最小值为
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的橫线上.
12. 若复数是方程的一个根，则的虚部为__________．
13. 如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为__________.
14. 已知满足，点为线段上一动点，若最小值为，则的面积_______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，.
（1）若，，且、、三点共线，求的值.
（2）当实数为何值时，与垂直?
16. 已知z是复数，与均为实数.
（1）求复数z；
（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
17. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，平行于和的平面分别与交于四点．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 如图，在中，已知，BC边上的中点为M，AC边上的中点为N，AM，BN相交于点P．
（1）求；
（2）求的余弦值；
（3）过点P作直线交边AB，BC于点E，F，求该直线将分成的上下两部分图形的面积之比的取值范围．
19. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
（1）如图一所示，在一个半径为的半球体中，挖去一个半径为的球体，求剩余部分的体积.
（2）如图二，由抛物线跟线段围成一个几何形，将该几何形绕轴旋转得到一个抛物线旋转体，请运用祖暅原理求该旋转体的体积.
（3）将两个底面半径为1，高为3圆柱体按如图三所示正交拼接在一起，构成一个十字型几何体.求这个十字型的体积，等价于求两个圆柱公共部分几何体的体积，请运用祖暅原理求出该公共部分几何体的体积.
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