黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各组数能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．4，5，6B．1，1，2C．5，12，13D．6，8，11
3．下列四边形中不是轴对称图形的是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形
4．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
5．下列给出的四个点中，不在函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
6．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）．
A．两组对边分别平行B．对角线相等
C．对角线互相平分D．两组对角分别相等
7．如图，平行四边形中，对角线、交于点O，点为的中点，且，则的长为（ ）

A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
8．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
9．在正方形的外侧，作等边三角形，，相交于点F，则为（ ）

A．B．C．D．
10．A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离S（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示：下列说法错误的是（ ）
A．乙比甲提前出发B．甲行驶的速度为
C．3h时，甲、乙两人相距D．或时，乙比甲多行驶
二、填空题（每题3分，共30分）
11．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．因式分解 ．
13．函数中的常量是 ．
14．汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，耗油量为．则y与x的函数关系式为 ；（要求写出自变量x的取值范围）．
15．如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线的距离为 ．

16．如图，在矩形中，，．连接，在和上分别截取，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长是 ．
17．某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图数学问题，小明在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则小明输入的密码是 ．
18．如图，等腰直角三角形中，，，D是边的中点，P是边上一动点，连接，则的最小值为 ．

19．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB＝AE，则PE的长为 ．
20．如图，点E是正方形中边上一点，把沿直线翻折得到（点B的对应点为F），射线交于点H，交直线于点G，连接，若，，则线段的长为 ．
三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共60分）
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形，点E和点F均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为，连接EG，请直接写出线段EG的长．
23．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横纵坐标的绝对值之和等于点的横纵坐标的绝对值之和，则称两点为“等和点”，如图1中的两点即为“等和点”．
已知点的坐标为，
(1)在点，，中，与点为“等和点”的是______（只填字母）；
(2)若点在函数的图象上，且两点为“等和点”，求点的坐标．
24．已知：在四边形中，与交于点O，，，．
(1)如图1，求证：四边形为矩形；
(2)如图2，过点O作，交于点E，交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条线段，使每一条线段的长度都等于线段的长度的一半．
25．创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
(1)求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
26．[问题提出]
如图1，在菱形中，对角线交于点，是线段上的一个动点，且点不与点重合，连接．
（1）求证：；
[问题探究]
将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，令，．
（2）如图2，当时
①当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
[迁移探究]
（3）如图3．当，且时，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
27．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，以为邻边作矩形，连接，．
(1)如图，求点的坐标；
(2)如图，点为线段上一点，连接，作垂足为，设点的纵坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图，在（）的条件下，连接，为轴负半轴上一点，延长至点，连接，点在线段上，连接，，若，，且，求的值．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据函数的定义进行判断即可．
【解答】解：在某一变化过程中，有两个变量x、y，一个量x变化，另一个量y随之变化，当x每取一个值，另一个量y就有唯一值与之相对应，这时，我们把x叫做自变量，y是x的函数，只有选项C中图象所表示的符合函数的意义，
故选：C．
【点拨】本题考查函数的定义，理解函数的定义，理解自变量与函数值的对应关系是正确判断的前提．
2．C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据满足较短两边的平方和等于较长的边的平方的三角形为直角三角形，逐项判断即可得出答案．
【解答】解：A、，4，5，6不能组成直角三角形，故不符合题意；
B、，1，1，2不能组成三角形，故不符合题意；
C、，5，12，13能组成直角三角形，故符合题意；
D、，6，8，11不能组成直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，进行判断即可．
【解答】解：A、矩形是轴对称图形，不符合题意；
B、菱形是轴对称图形，不符合题意；
C、正方形是轴对称图形，不符合题意；
D、平行四边形不是轴对称图形，符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查轴对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．
4．B
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【解答】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
【点拨】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．A
【分析】本题考查了一次函数的性质；把点的坐标代入解析式，若左边等于右边，则在图象上．
【解答】解：A、当时，，则不在函数图象上，故该选项符合题意；
B、当时，，则在函数图象上，故该选项不符合题意；
C、当时，，则在函数图象上，故该选项不符合题意；
D、当时，，则在函数图象上，故该选项不符合题意；
故选：A．
6．B
【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解：
【解答】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，不符合题意；
B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确，符合题意；
C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，不符合题意；
D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，不符合题意．
故选B．
7．B
【分析】因为四边形是平行四边形，所以；又因为点是的中点，所以是的中位线，由，即可求得．
【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴（cm）；
故选：B．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
8．C
【解答】如图所示：
由题意可得：∠1=∠2,AN=MN,∠MGA=90°，
则NG=AM，故AN=NG，
则∠2=∠4，
∵EF∥AB，
∴∠4=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=×90°=30°，
∴∠DAG=60°.
故选C.
9．B
【分析】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，三角形外角的性质等．根据正方形的性质及等边三角形的性质求出，，再求．
【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
故选B．
10．C
【分析】本题考查一次函数的应用，由图象可以直接判断A正确；根据图象可以求出甲车速度，可以判断B正确；求出乙车速度再求乙车走的路程和甲车走的路程即可判断C；分两种情况求出甲、乙走的路程即可判断D．
【解答】解：由图象可得，乙车比甲车早出发1小时，故A正确；
甲的速度是，故B正确；
乙的速度是，
甲车行走的路程为，
乙车行走的路程为，
∴后甲、乙相距，故C错误；
乙车走了，
甲车还在A地没出发，此时乙比甲多行驶，乙走了，
此时甲行走的路程为，
乙车比甲车多走了，故D正确．
故选：C．
11．x≠-3
【解答】解：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须x+3≠0，
∴x≠-3．
故答案为：x≠-3．
12．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式；
故答案为：．
【点拨】本题考查因式分解．解题的关键是掌握因式分解的方法．
13．
【分析】本题考查了常量与变量，根据变量是改变的量，常量是不变的量，即可得出答案．
【解答】解：函数中的常量是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了由实际问题列出一次函数关系式，根据油箱中油量总油量耗油量，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：，
故答案为：．
15．米##
【分析】证明，可得米，然后在中，利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理，即可求解．
【解答】解：如图，过点P作交延长线于点C，

由题意知，，
∴，，
∴，
∴米，
∴米，
在中，米，
即点P到直线的距离为米．
故答案为：米．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，根据题意得到米是解题的关键．
16．##
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质，由勾股定理得出，作于，由角平分线的性质定理得出，证明，得出，推出，设，则，由勾股定理求出的长，即可得解．
【解答】解：在矩形中，，，
，，
如图，作于，
，
由作图可得：平分，
，
，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
17．373512
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出，即可得出答案．
【解答】解：由勾股定理可得：，
小明输入的密码是373512，
故答案为：373512．
18．
【分析】找D点关于的对称点，连接，连接交于点，的最小值即为的长度，即可解答．
【解答】

解：如图，找D点关于的对称点，连接，分别交于点，
D点关于的对称点为点，
，，
因此当点在同一直线时，的值最小，即的长度，
等腰直角三角形，，
，
，
，D是边的中点，
，
在中，，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了对称轴-最短路径问题，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练画出辅助线是解题的关键．
19．2或
【分析】根据题意分当点P在AD边上时，当点P在CD边上时，两种情况求解即可．
【解答】解：当点P在AD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，

∴点P为边AD中点，
∴PE＝AB＝2；
当点P在CD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边CD中点，
∴
所以PE的长为：2或．
故答案为：2或．
【点拨】本题主要考查分类讨论思想、勾股定理，属于基础的几何线段求解问题，难度不大，解题的关键是分类讨论思想，即讨论点Ｐ的位置．
20．2
【分析】连接，求出证明是等腰直角三角形，得出得，得，过点C作，得再证明是等腰直角三角形，求得，从而可求出的长
【解答】解：连接，如图，
由折叠得，，
∴
∵
∴
∴
；
∴
由折叠得，
∴直线垂直平分
∴，
∴
又
∴，
又
∴
∴，
∴
过点C作于点P，
∵
∴
又
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴
故答案为：2
【点拨】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键
21．
【解答】试题分析：先把括号的分式通分，化为最简后再算除法，除以一个数等于乘以这个数的倒数，最后把x的值代入即可.
试题解析：原式=
=
当x=时，原式=.
22．（1）画图见解析；（2）画图见解析，EG=.
【分析】（1）根据正方形的判定作图可得；
（2）根据等腰三角形与勾股定理可得答案．
【解答】
解：（1）如图所示，正方形ABEF即为所求；
（2）如图所示，△CDG即为所求，由勾股定理，得EG=.
【点拨】本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23．(1)
(2)或
【分析】本题考查了坐标与图形，理解“等和点”的定义是解此题的关键．
（1）由“等和点”的定义一一验证即可；
（2）设，由“等和点”的定义列出方程求出或，即可得出答案．
【解答】（1）解：点的坐标为，
，
在点，，中，，，，
与点为“等和点”的是，
故答案为：；
（2）解：点在函数的图象上，且两点为“等和点”，
设，
，
解得：或，
或．
24．(1)见解析
(2)、、、
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质：
（1）根据证明得，证明四边形为平行四边形，再结合可证明四边形为矩形；
（2）证明是等边三角形，可求出即可得出;；再证明可得出，从而可得出结论
【解答】（1）证明：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
四边形为矩形．
（2）解：、、、．
∵四边形是矩形，
∴且与互相平分，
∴
∵
∴
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴；
又且
∴
∴
∵
∴，
又
∴
∴，
即
25．(1)A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元
(2)至少需购买A型垃圾桶120个
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用．
（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元，列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15200元，列出不等式，即可求解．
【解答】（1）解：（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得，
解得，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
（2）设A型垃圾桶a个，
由题意可得∶ ，
解得：，
答：至少需购买A型垃圾桶120个．
26．（1）见解析；（2）①的大小不发生变化，为，理由见解析；②，理由见解析；（3），理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的额性质、正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运算，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由菱形的性质可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得；
（2）①当时，四边形为正方形，由正方形的性质可得，，，由旋转的性质结合（1）可得，求出，证明得出，结合得出，即可得解；②作于，则，证明得出，证明为等腰直角三角形，即可得解；
（3）连接，证明是等边三角形得出，，证明得出，证明出为等边三角形，得出，，再证明，得出，结合，即可得解．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
垂直平分，
是线段上的一个动点，
；
（2）①的大小不发生变化，为，理由如下：
当时，四边形为正方形，
，，，
由旋转的性质可得，
由（1）可得：，
，
，，
，，
，
，，，
，
，
，
，即；
②，理由如下：
如图，作于，则，
，
由①可得：，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，即；
（3），理由如下：
如图，连接，
，四边形是菱形，，
，，，，
是等边三角形，
，，
由旋转的性质可得，
由（1）可得：，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
27．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）利用勾股定理求出，再根据矩形的性质即可求解；
（）利用三角形等面积法解答即可求解；
（）如图，延长相交于点，延长与相交于点，作，设，可推导出，得到，设，推导出，得到，证明，得到，即得，可得，得到，再由勾股定理得，即，最后代入（）中解析式即可求解．
【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴点的坐标为；
（2）解：∵点的纵坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
即，
∴；
（3）解：如图，延长相交于点，延长与相交于点，作，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，平行线的性质，等腰三角形的性质，求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．