2024年宁夏银川市第二十四中学九年级一模数学试题（含解析）

这是一份2024年宁夏银川市第二十四中学九年级一模数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（ ）
A．平移变换B．对称变换C．旋转变换D．位似变换
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．一滴水的质量约为，将用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．若，则的平方根是（ ）
A．2B．C．D．
5．若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
6．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为2，当时，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
8．在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点，为圆心，长为半径作弧，若，为的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．分解因式： ．
10．如图，在平行四边形中，E为的中点，交于点O，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．
11．如图，四边形内接于⊙，延长交⊙于点E，连接．若，，则 ．
12．如图，点，，，在数轴上，点表示的数是，是线段的中点，线段，点到原点的距离等于线段的长，则点表示的数是 ．
13．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的长为 ．
14．如图，边长为的正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点和的中点，则的值是 ．
15．图①是某款电动平衡车，图②是其简化示意图，该款平衡车的座位AB和底盘CD均平行于地面，座位AB可沿射线EF方向调节，当座位AB的位置最低时，支架，，支架EF与座位AB的夹角，与支架GE的夹角，底盘CD到地面的距离为，则此时座位AB到地面的高度为 ．（结果精确到1cm，参考数据：，，）
16．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，到达目的地后停止．甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（）之间的函数关系如下图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④，其中正确的结论为 ．（填序号即可．）

三、解答题（本题共8道题，17至22题每题6分，23、24题每题8分，共52分）
17．计算：
18．解不等式组：
19．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是．
(1)画出关于原点对称的；
(2)画出将绕点顺时针旋转所得到的，并求出点旋转到点所经过的路径长．
20．保护环境，人人有责，为创造一个和谐的生态环境，某村计划采购甲、乙两种树苗进行种植．已知购买15筐甲种树苗和8筐乙种树苗共需1160元，购买9筐甲种树苗和4筐乙种树苗共需640元．
(1)购买的甲、乙两种树苗每筐的价格分别是多少？
(2)该村负责人结合本村实际，商定购买甲、乙两种树苗共80筐，要求购买的乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，那么购买多少筐甲种树苗才能使得购买树苗的总费用最低？最低费用为多少元？
21．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
22．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：

(1)本次调查一共随机抽取了_____名学生的成绩，频数直方图中______，所抽取学生成绩的中位数落在_______组；
(2)学校将从获得满分的4名同学（其中有两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
23．小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
24．如图，为线段上一点，以为圆心长为半径的⊙O交于点，点在⊙O上，连接，满足．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，求的值．
四、解答题（本题共2题，每题10分，共20分）
25．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为．
①若E为边AC的中点，则的值为_______；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
26．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值；
(3)如图1，若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．
根据位似变换的特征作答即可．
【解答】解：由题意知，物和像属于位似变换，
故选：D．
2．C
【分析】根据有理数的加法法则，二次根式的加减运算法则，同底数幂的除法法则、单项式乘以多项式的运算法则，即可判断答案．
【解答】A、，故A选项错误，不符合题意；
B、，故B选项错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，故D选项错误，不符合题意．
故选C．
【点拨】本题主要考查了有理数的加法，二次根式的加减，同底数幂的除法、单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．B
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【解答】．
故选：B．
【点拨】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
4．C
【分析】本题考查了实数的性质，平方根的定义，先根据实数的性质求出a，b的值，然后代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是．
故选C．
5．D
【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
6．A
【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可．
【解答】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，
由题意可得：，
故选：A．
【点拨】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键．
7．D
【分析】本题需先根据交点A的横坐标，确定另一个交点的横坐标，再根据图象在上方时对应的函数值大即可求出x的取值范围．
【解答】解： 反比例函数的图象与一次函数的图象的两个交点关于原点成中心对称，
由A的横坐标为2， 所以另一个交点的横坐标为-2，
从观察图象知， 当y1＜y2时，x＞2或-2＜x＜0．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要根据函数图象解决问题，需从交点看起：图象在上方时对应的函数值大，反之就小．
8．A
【分析】本题考查了扇形的面积和正方形的性质，根据全等三角形的性质、正方形的性质求出，根据求解即可，解题的关键是正确理解以及知识点的应用．
【解答】∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
设，
在中，，
∴，
∴（负值已舍），
即，
∴，
，
，
故选：．
9．
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【解答】
故答案为：．
【点拨】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．
10．
【分析】本题考查了几何概率．求出阴影部分的面积占平行四边形的份数即可判断．
【解答】解：∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为，
故答案为：．
11．##60度
【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，以及圆内接四边形的对角互补这一性质．本题解题关键在于找出直径作对的圆周角是直角（直径对直角），而找到直径的关键是：弦是否经过圆心．先求解，可得，再结合圆周角定理可得答案．
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴；
故答案为：
12．
【分析】本题考查了实数与数轴，根据题意可知，点表示的数为，，则点表示的数为：，又因为点到原点的距离等于线段的长，则 ， 因此点表示的数为，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键．
【解答】解：∵点表示的数是，是线段的中点，线段，
∴点表示的数为，，
∴点表示的数为，
∵点到原点的距离等于线段的长，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查的是作已知直线的垂线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先由作图可得，证明，再利用勾股定理可得答案．
【解答】解：由作图可得：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
14．
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，设，则，，进而得到，再把代入反比例函数解析式中进行求解即可，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和反比例函数的图象及性质．
【解答】解：∵正方形边长为，
∴，则，，
∵点是的中点，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
故答案为：．
15．60
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点E作，垂足为H，延长交的延长线于点M，根据已知易得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点E作，垂足为H，延长交的延长线于点M，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵底盘到地面的距离为，
∴此时座位到地面的高度，
故答案为：60．
16．
【分析】根据图象可知，当时，即可判断①；结合甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度和，乙的速度，即可判断②；由图象时的拐点可知，到乙到达目的地，则两人相遇后行走了，两人之间的距离为，则，即可判断③；根据图象知，开始为甲独自行走，甲的速度，即可判断④．
【解答】解：因为由图象可知当时，甲、乙两人在A、B两地还未出发，此时，故A，B之间的距离为，故①正确；
因为前为甲、乙的速度和行走了，故甲、乙的速度和，由图象知乙用了走完了，所以乙的速度，甲的速度，则，故②正确；
因为两人相遇时停留了，所以两人相遇后从开始继续行走，由图象时的拐点可知，到乙到达目的地，则两人相遇后行走了，两人之间的距离为，则，故③正确；
因为从开始为甲独自行走，甲的速度，所以，故④正确；
综上所述均正确，共有四个结论正确．
故答案为：
【点拨】本题考查了从函数的图象获取信息，涉及路程=速度×时间等知识内容，难度适中，正确获取函数的图象信息是解题的关键．
17．4
【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式先化简，然后再进行加减运算即可
【解答】解：
18．
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无法找”确定不等式组的解集即可
【解答】解：，
解不等式①，得：；
解不等式②，得：；
所以，不等式组的解集为：
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称，以及求弧长等知识
（1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可，运用弧长公式可求出点旋转到点所经过的路径长．
【解答】（1）解：如图，即为所作，
（2）解：如图，即为所作，
由勾股定理得，，
所以，点旋转到点所经过的路径长．
20．(1)每筐甲种树苗的价格为40元，每筐乙种树苗的价格为70元
(2)购买64筐甲种树苗总费用最低，最低为3680元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设每筐甲种树苗的价格为元，每筐乙种树苗的价格为元，根据购买15筐甲种树苗和8筐乙种树苗共需1160元，购买9筐甲种树苗和4筐乙种树苗共需640元列出方程组求解即可；
（2）设购买甲种树苗m筐，购买树苗的总费用为元，则购买乙种树苗筐，根据购买的乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，列出不等式求出m的取值范围，再列出w关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【解答】（1）解：设每筐甲种树苗的价格为元，每筐乙种树苗的价格为元，
由题意有：，
解得，
答：每筐甲种树苗的价格为40元，每筐乙种树苗的价格为70元；
（2）解：设购买甲种树苗m筐，购买树苗的总费用为元，则购买乙种树苗筐，
购买的乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，
，
解得，
由题意有，
，
随的增大而减小，
当时，购买树苗的总费用最低，最低为3680元．
21．（1）见解析；（2）24
【分析】（1）根据题意可证明，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可；
（2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：在△AOE 和△COD中，
∴．
∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD 是平行四边形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO为AC的垂直平分线，．
∴平行四边形 AECD是菱形．
∵AC＝8，
．
在 Rt△COD 中，CD＝5，
，
∴，
，
∴四边形 AECD 的面积为24．
【点拨】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面积计算公式是解题关键．
22．(1)400，60，D；
(2)
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求中位数，树状图法或列表法求解概率：
（1）用C组的人数除以其所占百分比即可求出抽取的学生人数，用总人数乘以B组的占比即可求出m，根据中位数的定义即可求出中位数落在哪个组；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【解答】（1）解：本次一共随机抽取了名学生的成绩；
∴；
将这400名学生成绩从低到高排列，中位数为第200名和第201名的成绩的平均成绩，
∵，
∴所抽取学生成绩的中位数落在D组；
故答案为：400，60，D；
（2）解：设两名男生用A、B表示，两名女生用C、D表示，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数有种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为．
23．(1)，，
(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；
（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【解答】（1）解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
（2）∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点拨】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
24．（1）见解析；（2）
【分析】(1) 连接，把转化为比例式，利用三角形相似证明即可；
(2)利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：连接
∵
∴，
又∵∠P=∠P，
∴
∴，
∵
∴
又∵
∴
∴
已知是上的点，AB是直径，
∴，
∴
∴，
∴PC是圆的切线；
（2）设，则，
∴
在中
∵，，
∴
已知，
∴．
【点拨】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，灵活运用三角形相似的判定证明相似，运用勾股定理计算是解题的关键．
25．(1)①，②，④，③
(2)证明见解析
(3)①2
②结论仍成立，理由见解析
【分析】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断；
（2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积－正方形LEGH面积，即可证明；
（3）①由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设BD=a，从而用含a的代数式表示出S1、S2进行计算即可；②由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设BD=a，DG=b，从而用含a、b的代数式表示出S1、S2进行计算即可．
【解答】（1）解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
（2）解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：①由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，
设，
∴，，，，
∴，
，
∴；
故答案为：2；
②成立，证明如下：
由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
设，，
∴，，，，
∴，
，
∴仍成立．
【点拨】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察图形，通过图形面积解决问题是解题的关键．
26．(1)
(2)，
(3)最大值为，此时点的坐标为
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等：
（1）先把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）连接，由对称性可得，则，故当A，B，Q三点共线时，此时的值最小，即此时的值最小，最小值即为的长，由对称性求出，再求出点的坐标为，即可得到直线的表达式为，则点的坐标为，利用勾股定理得到，则的最小值为；
（3）设，则，，可得，，进而得到，据此求解即可．
【解答】（1）解：顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：如图，连接，
点与点关于对称轴对称，
，
，
当A，B，Q三点共线时，此时的值最小，即此时的值最小，最小值即为的长，
顶点坐标的横坐标为1，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
在中，当时，
∴点的坐标为，
设直线的表达式为，
将点，分别代入，得，
解得，
直线的表达式为，
将代入，得，
点的坐标为，
，，
，
的最小值为；
（3）解：由（2）知抛物线的对称轴为直线，，直线的函数表达式为，
设，
令，得，
，，
，，
．
，，
当时，的值最大，最大值为，此时点的坐标为．