2024年陕西省西安市阎良区第一中学中考二模数学试题（含解析）

这是一份2024年陕西省西安市阎良区第一中学中考二模数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分，因式分解等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A、B或C）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共21分）
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成（ ）

A．圆锥B．三棱柱C．三棱锥D．四棱锥
3．如图，已知，点，，分别在直线，上，，若，则的度数为( )
A．B．C．D．
4．函数向上平移个单位长度后，图象与轴的交点坐标是( )
A．B．C．D．
5．如图，每个小正方形的边长均为，若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
6．如图，是的内接三角形，，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（ ）
A．°B．C．D．
7．小坤同学画二次函数的图象，列出下表，对应值计算有误的一组点坐标是( )
A．B．C．D．
第二部分（非选择题共99分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8．因式分解： ．
9．如图，在数轴上点表示的数是，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ．

10．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝ ．

11．图①是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图②所示，此时液面的长为 ．
12．如图，菱形的顶点坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，则的值为 ．

13．如图，中，，，点，分别是，上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题（共14小题，计81分．解答应写出过程）
14．计算：．
15．解不等式．
16．先化简，再求值：，其中．
17．如图，中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．(保留作图痕迹，不写作法)
18．如图，点在外部，点在边上，若，，，求证：．
19．随着打印技术越来越成熟，家用打印机也逐步走进各家各户，某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的家用打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高元，若该公司购买台甲型打印机和台乙型打印机共花费元，求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？
20．如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为1.8m、高为3m的玻璃隔板组成．
(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是________，这能说明的事实是________（填字母）；
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体
(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留）
21．某初中对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动．
(1)小可从这4部名著中，随机选择1部阅读，她选中《西游记》的概率为______；
(2)该校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，求《红楼梦》和《三国演义》这两本书同时被选中的概率．（请用画树状图或列表的方法求解）
22．2023年12月18日凌晨，甘肃省积石山发生级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜救，尽最大努力保障人民群众生命财产安全，为了进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，现随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)______，本次抽取的学生测试成绩的中位数是______分，并补全条形统计图；
(2)求本次抽取的学生测试成绩的平均数；
(3)若参加本次知识测试的共有名学生，请你估计测试成绩不低于95分的学生有多少名？
23．小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小鑫在小雁塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长，然后，小鑫在的延长线上找出一点，使得、、三点在同一直线上，并测得，已知图中所有点均在同一平面内，木棒，，，请根据以上测量数据，求小雁塔的高度．
24．“漏壶”是古代的一种计时器，如图，在它内部盛有一定量的水，不考虑水量对压力的影响，水从小孔均匀漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间，水面高度与漏水时间成一次函数关系，经记录，当漏水时间为小时时，水面高度为厘米，当漏水时间为小时时，水面高度为厘米
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当水面高度为厘米时，求漏水时间．
25．如图，为的直径，为上一点，于点，为延长线上一点，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求线段的长．
26．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接，是否存在一点，使得与相似，若存在，请求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
27．在矩形中，，，以点为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形得到矩形，旋转角为．
(1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为________；
(2)如图②，连接，当点落在线段上时，与相交于点，连接，求线段的长度；
(3)如图③，设点为边的中点，连接、、，在矩形旋转的过程中，求面积的最大值．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【解答】解：的相反数是，
故选：C．
2．C
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．
【解答】解：由图可知：折叠后，可以围成三棱锥，
则该几何体为三棱锥，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，根据垂直定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
【解答】】解：如图：
，
，
，
，
，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查的是一次函数的图象的平移以及与坐标轴交点问题，先求出该函数图象向上平移个单位长度后的直线解析式，再令，求出的值即可．
【解答】解：函数向上平移个单位长度后的解析式为，
当时，，
平移后与轴的交点坐标为，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理与网格问题以及勾股定理的逆定理；连接，构造出直角三角形即可解决问题．
【解答】解：连接，
∵每个小正方形的边长均为，
∴，，
∴
∴
∴是直角三角形，
∴
故选：D．
6．C
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，先证明，可得，证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：C．
7．D
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象，根据由抛物线开口向上，对称轴在轴的左侧及抛物线不能同时经过，，求解．
【解答】解：，
抛物线开口向上，对称轴在轴的左侧，
而抛物线经过，，时，抛物线开口向上，对称轴是轴，
经过，，抛物线开口向下，对称轴在轴的右侧，不符合题意，
抛物线不能同时经过，，，
不在抛物线上，
故选：D．
8．
【分析】此题主要考查了提取公因式法因式分解，直接提取公因式，即可求解．
【解答】解：，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查的是数轴上两点距离，在数轴上表示有理数，有理数的减法；由数轴可知，点在点的左侧，根据题意并结合两点间的距离公式计算即可．
【解答】解：由数轴可知，点在点的左侧，
点表示的数是，，
点表示的数为：，
故答案为：．
10．132°##132度
【解答】解：∵正五边形的内角=180°-360°÷5=108°，
正六边形的内角=180°-360°÷6=120°，
∴∠BAC=360°－108°－120°=132°．
故答案为132°．
11．
【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：
，
，即相似比为，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上点的坐标性质，根据菱形的性质以及勾股定理得出，即可得出B点坐标，进而求出k的值．
【解答】解：∵菱形的顶点C的坐标为，顶点A在x轴的正半轴上，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了轴对称的性质、含度角的直角三角形等知识点，作点关于的对称点，连接，作交于点，当时，有最小值，据此即可求解．
【解答】解：作点关于的对称点，连接，作交于点，如图所示：

则，
∴，
∵点E是上的动点，
∴时，有最小值
∵，
∴
故答案为：
14．
【分析】本题考查了二次根式的性质，零指数幂，实数的混合运算，根据以上运算法则进行计算即可求解．
【解答】解：
．
15．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，即可求解．
【解答】解：
去分母，
去括号，
移项，
合并同类项，
化系数为1，
16．；
【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【解答】解：
当时，原式=
【点拨】解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
17．见解析
【分析】本题考查了作垂线，直角三角形的两个锐角互余，根据题意过点作于点，可得，则点即为所求．
【解答】解：如图，过点作于点，
则，
，
，
则点即为所求．
18．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得证．
【解答】解：，
，
在和中，
，
，
．
19．每台甲型打印机的进价是元，每台乙型打印机的进价是元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设每台乙型打印机的进价是元，则每台甲型打印机的进价是元，根据该公司购买台甲型打印机和台乙型打印机共花费元，可列出关于的一元一次方程，解方程，即可求解．
【解答】解：设每台乙型打印机的进价是元，则每台甲型打印机的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
元．
答：每台甲型打印机的进价是元，每台乙型打印机的进价是元．
20．(1)圆柱；C
(2)
【分析】本题考查了圆柱的体积，平面图形旋转后形成的立方体，
（1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱；
（2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可．
【解答】（1）解：∵旋转门的形状是长方形，
∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体．
故答案为：圆柱；C；
（2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，
体积为：．
故形成的几何体的体积是．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及《红楼梦》和《三国演义》这两本书同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】（1）解：共有4部名著，
∴随机选择1部为《西游记》的概率为．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》和《三国演义》同时被选中的结果有2种，
∴《红楼梦》和《三国演义》同时被选中的概率为．
22．(1)，，补全条形统计图见解析
(2)分
(3)名
【分析】本题主要考查了中位数，样本估计总体，求加权平均数，条形统计图和扇形统计图；
（1）用“分”的人数除以它的占比可得的值；根据中位数的定义可得答案；用的值分别减去其它分数的人数可得分的人数，再补全统计图即可；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）用总人数乘样本中成绩不低于分的学生的占比即可．
【解答】（1）解：根据题意得：本次抽取的学生的人数为人，
∴测试成绩为分的人数为人，
∴本次抽取的学生测试成绩位于正中间的两个数均为分，
本次抽取的学生测试成绩的中位数是分，
补全条形统计图，如下：
（2）解：本次抽取的学生测试成绩的平均数为：分；
（3）解：人，
估计测试成绩不低于分的学生有人．
23．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行投影．先证，推出；再根据平行投影的性质，推出，，进而可得，代入数值求出，进而可得小雁塔的高度．
【解答】解：，，
，
又，
，
；
由平行投影可知，
，
又，
，
，
，即，
解得，
代入，得，
解得，
即小雁塔的高度为．
24．(1)
(2)小时
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）把，代入求解即可．
【解答】（1）解：设与之间的函数关系式为，
根据题意可知，点、满足函数关系式，
所以，
解得，
所以与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得，
所以当水面高度为6厘米时，漏水时间为9小时．
25．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的证明，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积．
（1）根据圆周角定理可得，从而，根据可得，从而，进而，即，因此得证为的切线；
（2）设的半径为，在中，由勾股定理有，代入即可求得半径r的值，根据三角形的面积有，从而可求得的长即可求解．
【解答】（1）如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵于点D，
∴，
∴，
∴，即，
∴半径于点C，
∴为的切线；
（2）设的半径为r，
在中，，，
由勾股定理有，
即，
解得，
∵，即，
∴．
26．(1)该二次函数的表达式为；
(2)满足条件的点坐标为．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论．
【解答】（1）解：把，代入得，
，
解得：，
该二次函数的表达式为；
（2）解：设，
轴，为第一象限内抛物线上一点，
，，，
，
与相似，
或，
或．
解得：，或，．
，
．则
与相似，满足条件的点坐标为．
27．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质，旋转的性质，勾股定理计算即可；
（2）①利用直角三角形全等的判定证明即可；
②利用勾股定理计算即可；
（3）连接，作于M，当与共线，且时，面积最大，勾股定理计算即可.
【解答】（1）如图①中

∵ 四边形是矩形，
∴，
∵矩形是由矩形旋转得到，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：.
（2）①证明：如图②中，

∵当点E落在线段上，
∴，
在和中，
∴.
∴，
设
在中，，
∴
解得
∴
（3）解：如图3中，连接，作于，

当与共线，且时，面积最大
由题意：.
∵，
∴.
∵.
∴ ，
则，
的面积的最大值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，面积的最值问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．