安徽省阜阳市临泉县中学联考2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份安徽省阜阳市临泉县中学联考2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了若抛物线，如图，在平面直角坐标系中，直线等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的）
1．计算的正确结果是（ ）
A．4B．C．6D．
2．据安徽商报报道，2024年2月10日～2月17日，合肥全市共接待游客734.4万人次，同比2023年增长．其中数据734.4万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．小明制作了一个如图所示的象征美好寓意的摆件，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若抛物线（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（ ）
A．B．C．﹣或D．或
6．如图，在的小正方形网格中，已有5个阴影小正方形，任意再涂1个小正方形，使得6个阴影小正方形是正方体展开图的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，直线与直线的交点在第二象限．下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，，点是延长线上一点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形中，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，连接，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接，．下列结论错误的是（ ）
A．直线，关于轴对称
B．当时，的值随的增大而增大
C．当时，
D．的面积的最小值为
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．计算： ．
12．代数式与2的值互为相反数，则的值为 ．
13．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为，交轴于点．若的面积为5，则 ．
14．如图，在中，，点是上一点，将沿着折叠得到．
（1）若，则的度数为 ；
（2）设与交于点，若是直角三角形，，，则的长为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解不等式：．
16．某蔬菜种植户有甲、乙两块菜地，甲菜地去年收获西蓝花，乙菜地去年收获西蓝花，今年在县技术专家的帮助下，甲菜地增收，乙菜地增收．
(1)今年两块菜地共收获__________西蓝花；（用含，的代数式表示）
(2)若去年两块菜地共收获西蓝花，今年共收获西蓝花，求甲、乙两块菜地今年分别收获多少千克西蓝花．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格图形，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上．
(1)画出向右平移个单位长度后得到的；
(2)过点画的平行线，并标出平行线所过格点；
(3)过点画的垂线，并标出垂线所过格点．
18．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式： ；
(2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，某兴趣小组测量一棵树的高度，在这棵树的两侧有同样规格的测角仪和，从处测得树顶端的仰角为，从处测得树顶端的仰角为，测得米，已知，，在同一平面且同时垂直于水平地面，测角仪高度为1.5米，求树的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）
20．已知直线是的切线，点A是切点，点是上一点，过点作于点，与交于点，连接．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，延长交于点，连接，若，，求的长．
六、（本题满分12分）
21．某校开学期间组织学生参加“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
七年级20名学生在组的分数为91，92，93，94
八年级20名学生在组的分数为90，93，93，93，94，94，94，94，94．
(1)填空：___________，___________，___________，并把条形统计图补充完整；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校七年级有学生1200人，八年级有学生1400人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人．
七、（本题满分12分）
22．在中，，，点和点分别是和上的点，连接，，．
(1)如图1，若，求证：；
(2)若于点．
（ⅰ）如图2，求证：；
（ⅱ）如图3，若，，求的值．
八、（本题满分14分）
23．如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若是该抛物线的对称轴，点是顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．
（ⅰ）如图2，连接，若的面积为3，求点的坐标；
（ⅱ）如图3，连接，与交于点，连接，，，求的最大值．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了有理数的除法运算，两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0，0不能做除数；除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数．
【解答】解：
故选A．
2．A
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【解答】解：734.4万，
故答案为：A．
3．C
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，从正面看得到的图形是主视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，该图形俯视图是长方形，且中间含有两个虚线，
即C选项的图形符合，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法以及合并同类项法则逐项分析即可．
【解答】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选C．
5．D
【分析】本题考查二次函数的性质，关键是求出顶点坐标．
把二次函数解析式化为顶点式，再根据顶点到x轴的距离为2，得出顶点纵坐标的绝对值=2，解方程求出m的值即可．
【解答】解：，
∴抛物线（m是常数）的顶点坐标为，
∵顶点到x轴的距离为2，
∴，
即或，
解得或，
故选：D．
6．B
【分析】此题考查了概率公式．由正方体表面展开图的形状可知，此正方体还缺一个上盖，故应在图中四块相连的空白正方形中选一块，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：因为共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，
所以剩下7个小正方形．
所以在其余的7个小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的小正方形有4个，
因此先从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键．先根据一次函数的图象判断k，b，m，n的正负，再结合有理数的运算法则判断即可．
【解答】解：由图象可知，，的正负不确定，
∴，，，
∴A，C，D正确，B不一定正确．
故选B．
8．A
【分析】本题考查圆的定义、圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟知相关定理并能准确运用是正确解决本题的关键．
先证明B、C、D在同一个圆上，再运用圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出结论．
【解答】解：，
点B、C、D在以A为圆心，为半径的圆上，
如下图，在优弧上任取一点F，连接，，
，
，
，
，
故答案为：A．
9．D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理．连接，延长交于，设，由正方形推出，证得，得到，，根据三角形中位线定理得到，由勾股定理求出得到，据此求解即可．
【解答】解：连接，延长交于，连接，
四边形是正方形，
设，
，，，
，，
为的中点，
，
，
，，
，
点为的中点，
，
为的中点，
，
，
，
∴，
故选：D．
10．B
【分析】设，，其中，，联立得，即，可得，，待定系数法求直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为，同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为．由，可知直线，与轴的交点关于轴对称，即直线，关于轴对称，进而可判断A的正误；如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，，，证明，则，可得，证明，则，可得，，由，，可得，即，为定值，进而可判断B的正误；当，联立得方程组，可求得，，由，，可得，进而可判断选项C的正误；根据，可知当时，的面积有最小值，为，进而可判断选项D的正误．
【解答】解：设，，其中，，
联立得，即，
∴，，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为．
令，得，
直线与轴交点的坐标为．
同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点的坐标为．
∴，
直线，与轴的交点关于轴对称，即直线，关于轴对称，故选项A正确；
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，，，
又∵，
∴，
∴，
解得，
由对称可知，为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
，
∵，
∴，
∴，即为定值，故选项B错误；
当，联立得方程组，
解得，或；
∴，，
∴，，
∴，故选项C正确；
∵，
当时，的面积有最小值，为，故选项D正确，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数综合，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握二次函数与一次函数综合，一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了零指数幂，立方根．熟练掌握零指数幂，立方根是解题的关键．
先分别计算零指数幂，立方根，然后进行减法运算即可．
【解答】解：由题意知，，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
【解答】解：∵代数式与2的值互为相反数，
∴，
两边都乘以，得
，
∴，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查根据图形的面积求值．设点C的坐标为，进而得到，，根据的面积为5，列出方程进行求解即可．
【解答】解：∵点C在反比例函数上，
∴设点C的坐标为，
∵轴，，
∴，，
∴，
∵的面积为5，
∴，
解得：
故答案为：．
14． ##135度 7或
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等，关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
（1）由折叠可知，代入已知条件即可求解；
（2）分两种情况：当时，当时，与共线，分别用勾股定理求出对应的值即可．
【解答】（1）解：，
．
由折叠可知．
故答案为：；
（2）解：如图1，当时，
由（1）可知，
则，
，
．
如图2，当时，与共线．
在中，，，
由勾股定理得，
，
，
设，则．
由勾股定理得，
即，
解得．
综上，的长为7或．
故答案为：7或．
15．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可．
【解答】解：
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
16．(1)
(2)甲菜地今年收获西蓝花，乙菜地今年收获西蓝花．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列代数式：
（1）分别求出甲、乙两块菜地的收获，然后求和即可得到答案；
（2）根据年两块菜地共收获西蓝花，今年共收获西蓝花，结合（1）所求列出方程组求解即可．
【解答】（1）解：，
∴今年两块菜地共收获西蓝花，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得
解得，
∴，．
答：甲菜地今年收获西蓝花，乙菜地今年收获西蓝花．
17．(1)作图见解析；
(2)作图见解析；
(3)作图见解析．
【分析】（）利用平移的性质作图即可；
（）利用利用平移的性质作图即可；
（）取格点，作直线，由网格可得，得到，因为，，所以，进而可得，即可得；
本题考查了平移作图，利用平移的性质作平行线，过一点作已知线段的垂线，掌握平行的性质，平行线的判定及全等三角形的性质是解题的关键．
【解答】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，直线，点、即为所求；
（3）解：如图，直线，点即为所求．
18．(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查整式的混合运算，探究数式的规律，找到式子的规律是解题的关键.
（1）依照前面式子的规律求解即可；
（2）把找到的规律，用含字母n的式子表示等式，再利用完全全平方公式计算后证明即可.
【解答】（1）第6个等式为：，
故答案为：
（2）第n个等式：．
证明如下，
左边，
右边，
∴左边＝右边
∴该等式成立．
19．树的高度为17.5米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接交于点，由题意可知，，，设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出，在中，利用锐角三角函数定义求出，然后列出关于x的方程，进而可得出答案．
【解答】解：如图，连接交于点，
由题意可知，，，
设米，
在中，，
（米），
在中，，
（米），
，
解得，即米，
（米）．
答：树的高度为17.5米．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质及判定、角三角形的性质．
（1）连接，根据切线的性质得到，然后根据直角三角形的性质可求出；
（2）连接，，得．证明是等边三角形，是等边三角形，利用角三角形的性质即可求出．
【解答】（1）解：如图1，连接．
直线是的切线，
，
．
，
，，
，
．
在中，．
（2）解：如图2，连接，，则．
由（1）知，
．
，，
．
，
，
是等边三角形，
．
，
是等边三角形，
，，
．
在中，，，
．
21．(1)92.5，94，60，补全统计图见解析
(2)八年级的学生成绩更好，理由见解析
(3)估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有1630人
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出、的值，用七年级优秀的人数除以总人数即可得的值，用总人数减去其它组的人数求出组的人数即可补全条形统计图；
（2）根据中位数和优秀率进行判断即可；
（3）用样本的优秀率估计总体优秀率，再进行计算即可求解．
【解答】（1）解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分，因此中位数，
八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多，故众数，
，即，
七年级组的人数为（人，
补全条形统计图如下：
故答案为：92.5，94，60；
（2）解：八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级的平均数都是91，八年级学生的中位数和优秀率都高于七年级，所以八年级的学生成绩更好；
（3）解：
（人，
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有1630人．
【点拨】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数等知识，理解题意，把题目中提够的统计图和所列的表格结合起来，并结合提供的数据进行综合分析是解题关键．
22．(1)见解析
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）
【分析】（1）由，可得，则，进而可证，则，证明是等腰直角三角形，进而可证．
（2）（ⅰ）如图，过点作交的延长线于点，则，，证明，则，证明，则，进而可证；
（ⅱ）证明，则，，由，可得，则是等腰直角三角形，设，则，，，证明，则，由（ⅰ）可知，则，即，整理得，可求满足要求的解为，则，根据，求解作答即可．
【解答】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
（2）（ⅰ）证明：如图，过点作交的延长线于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
（ⅱ）解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
设，则，，
∴，
，，
∴，
∴，
由（ⅰ）可知，
∴，即，整理得，
解得或（舍去），
∴，
，
∴．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切是解题的关键．
23．(1)抛物线的解析式为
(2)（ⅰ）点的坐标为；（ⅱ）的最大值为3
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线和点，得点．由点，，得点．再运用待定系数法即可求得答案；
（2）（ⅰ）由点，，得直线的解析式, 过点作轴交于点．设点，则点，得关于m的方程，解出即可；（ⅱ）由抛物线求出顶点的坐标为．由（ⅰ）知直线的解析式为，则点．设直线交于点，设点．由直线经过点，可设直线的解析式为，把点代入，得关于m的方程，解出即可．
【解答】（1）解：由抛物线的对称轴为直线和点，得点．
由点，，得点．
由抛物线经过点A，，得．
把点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：（ⅰ）由点，，得直线的解析式为．
如图1，过点作轴交于点．
设点，则点，
．
由题意，得，
整理，得，
解得（舍去）或，
则，
点的坐标为．
（ⅱ）由抛物线知，顶点的坐标为．
由（ⅰ）知直线的解析式为，则点．
如图2，设直线交于点，设点．
由直线经过点，
设直线的解析式为，
把点代入，
得，
解得（舍去）或，
即，
直线的解析式为．
当时，，即，
，
即的最大值为3．

【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，三角形的面积问题等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
91
95
%
八年级
91
93
65%