河南省周口市西华县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份河南省周口市西华县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了下列关于正方形的说法错误的是，已知三角形的三边长，则的值为，已知，，，则代数式的值为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式化简后能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
3．一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则第三边的长为（ ）．
A．10B．C．D．10或
4．下列关于正方形的说法错误的是（ ）
A．正方形的四条边都相等，四个角都是直角
B．正方形有四条对称轴
C．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等
D．正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离不一定相等
5．如图，在中，，，是斜边的垂直平分线，分别交于点．若，则的长为（ ）
A．8B．4C．D．
6．已知三角形的三边长，则的值为（ ）
A．7B．C．D．
7．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，圆柱的底面直径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路径是（注：取3）（ ）
A．B．C．D．
9．如图，Rt△ABC中，AB=6，BC=4，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．B．C．D．5
10．如图，在矩形中，O为中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是中点且，则下列结论正确的个数为（ ）

（1）；（2）；（3）是等边三角形；（4）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出一组常见的勾股数
12．若代数式有意义，则实数x的取值范围是
13．如图，是的边的中点，点在轴上两点的横坐标分别是，则点的坐标是
14．如图，将面积为的半圆与两个正方形拼接成如图所示的图形，则这两个正方形的面积之和为
15．如图，依次连接一个边长为5、一条对角线长为6的菱形各边的中点，得到第2个四边形，再依次连接第2个四边形各边的中点，得到第3个四边形，按此方法继续下去，则第7个四边形的面积是

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）：
16．计算：
(1)；
(2)．
17．先化简，再求值：，其中，．
18．如图，在平行四边形中，点在对角线上，请你添加一个条件使与全等，并写出证明过程．（温馨提示：证明时角的表示最好用阿拉伯数字，以下同）
19．下面是小铭设计的尺规作图．
已知：矩形ABCD．
作法：
①分别以A，B为圆心，以大于长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；
②作直线EF；
③以点A为圆心，AB为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG，BG；
根据小铭设计的尺规作图，解决下列问题：
(1)求的度数；
(2)过点D作DH//AG，交直线EF于点H．
①求证：四边形AGHD为平行四边形．
②用等式表示平行四边形AGHD的面积和矩形ABCD的面积的数量关系为________．
20．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是，点，在格点上每个小正方形的顶点称为格点按要求回答问题：

(1)直接写出的长；
(2)在网格中找到一格点，使得，，并通过计算判断的形状．
21．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）．
22．如图所示，在等边三角形ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）当四边形ACFE是菱形时，求t的值.
（3）当△ACE的面积是△ACF的面积的2倍时，求t的值.

23．在正方形中，是直线上一点，连接，交射线于点F，点G与点F关于直线对称，连接．
① ② ③
【问题解决】
（1）如图①，当点E在边上时，求证：；
【类比探究】
（2）如图②，当点E在的延长线上时，线段之间有怎样的数量关系？请说明理由：
（3）如图③，当点E在的延长线上时，线段之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式是二次根式叫做最简二次根式．
【解答】A、是最简二次根式，符合题意；
B、被开方数是小数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数是分数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2．B
【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，熟记定义并应用是解本题的关键．
根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能同类二次根式的定义解答即可．
【解答】解：A、不能与合并，故本选项不符合题意；
B、，能与合并，故本选项符合题意；
C、，不能与合并，故本选项不符合题意；
D、，不能与合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．A
【分析】根据勾股定理求解即可．
【解答】∵一直角三角形的两直角边长分别为6和8，
∴第三边的长为，
故选：A．
【点拨】本题考查的是勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
4．D
【分析】本题考查了正方形的性质，解题的关键是了解正方形的性质．利用正方形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，故A正确，不符合题意；
B：正方形有四条对称轴，故B正确，不符合题意；
C：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，故C正确，不符合题意；
D：由于正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，所以正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离一定相等，故D错误，符合题意；
5．C
【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识，掌握在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据三角形内角和定理求出的值，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，进而可得，然后根据勾股定理、直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵，，，
∴，
∵是斜边的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，
∴．
故选：C．
6．A
【分析】本题主要考查了三角形和非负数．熟练掌握三角形三边关系，二次根式性质和绝对值性质，是解决问题的关键．
根据三角形三边关系，得到，得到，，根据二次根式性质和绝对值性质即得 ．
【解答】∵三角形的三条边长分别为3、7、a，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
7．D
【分析】此题考查二次根式的化简求值，把，，代入后计算即可．
【解答】∵，，，
∴，
故选：D．
8．B
【分析】此题考查的是平面展开-最短路径问题，此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可．
【解答】在侧面展开图中，
的长等于底面圆周长的一半，即，
∵
根据勾股定理得：，
∴从点A爬到点B的最短路径长，
故选：B．
9．C
【解答】解：设NB=x，则AN=6−x，
由翻折的性质可知：ND=AN=6−x，
∵点D是BC的中点，
∴BD=BC=×4=2，
在Rt△NBD中，由勾股定理可知：ND²=NB²+DB²，即(6−x) ²=x²+2²，
解得：x=，
∴BN=，
故选C
10．C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，从而判断出是等边三角形，判断出（3）正确；设，根据等边三角形的性质表示出，利用勾股定理求出，得到，再求出，然后利用勾股定理列式求出，从而判断出（1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确．
【解答】解：∵，点G是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故（3）正确；
设则，
由勾股定理得，，
∵O为中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，故（1）正确；
∵，
∴，故（2）错误；
∵，，
∴，故（4）正确；
综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）．
故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，设出然后用a表示出相关的边是解题的关键．
11．（答案不唯一）
【分析】解答此题要用到勾股数的定义，已知的三边满足， 则是直角三角形，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：∵，
∵是勾股数，
故答案为：（答案不唯一）．
12．且
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
13．
【分析】本题主要考查了中位线定义和性质应用，解题的关键是由点的横坐标求出线段的长度．由的横坐标求出线段的长度，结合中位线的定义和性质，得出的长度，从而得到B点的横坐标．
【解答】解： 是的边的中点，
是的中位线，
，，
两点的横坐标分别是，
，
，
点的坐标是．
故答案为：．
14．32
【分析】此题考查的知识点是勾股定理，关键是由面积为的半圆求出半圆的直径，再根据勾股定理求出这两个正方形面积的和．首先由面积为的半圆求出半圆的直径，即直角三角形的斜边，再根据勾股定理求出两直角边的平方和，即是这两个正方形面积的和．
【解答】解： 半圆的面积为，设圆的半径为，
则，
，
则图中直角三角形的斜边长为，
设图中两个正方形边长分别为，则
，
两个正方形的面积之和为：．
故答案为：32．
15．
【分析】本题考查了菱形、矩形得性质与判定，三角形的中位线，解题的关键是先求出菱形的面积，再求出矩形的面积，以此类推，找出规律计算即可．
【解答】解：如下图，

由题意可知：，
在菱形中，，
，
，
所以第一个图形的面积是，
是菱形四条边的中点，
，
，
同理，
四边形为矩形，
，
所以第二个图形的面积是，即，
以此类推，
所以第七个图形的面积是，
故答案为：．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．
（1）先将二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可求解；
（2）先将括号进行展开化简，再合并同类二次根式即可求解；
【解答】（1）
（2）
17．；
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握其运算法则，利用完全平方公式，平方差公式化简是解题的关键．对括号内的分式进行通分，再利用完全平方公式，平方差公式化简代数式，再将值代入即可求解．
【解答】解：
，
，，
原式
18．（答案不唯一），证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，由平行四边形的性质可得与全等的条件有，，再添加一组角相等或者即可证明全等．
【解答】由题意添加条件为：（答案不唯一）．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
19．(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）如图：连接BG，由题意可得EF是线段AB的垂直平分线，即；再结合作图可得，进而说明△ABG是等边三角形即可解答；
（2）①先根据矩形和垂直平分线的性质可得，再结合即可证明结论；②设EF与AB交于M，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）解：如图：连接BG，
由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴△ABG是等边三角形，
∴；
（2）解：①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形AGHD是平行四边形；
②解：设EF与AB交于M，
∵S2=AD•AB，S1=HG•AM=AD•AB=AD•AB，
∴S2=2S1，
故答案为：S2=2S1．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，正确的识别图形并发现有用条件是解答本题的关键．
20．(1)
(2)图见解析，是直角三角形
【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可；
（2）根据勾股定理画出线段，，并根据勾股定理的逆定理判断的形状．
【解答】（1）解：；
（2）解：如图：点即为所求的格点，

，
是直角三角形．
【点拨】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解答此题的关键．
21．此车超速，理由见解析.
【分析】本题主要考查勾股定理与实际问题；根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出汽车的速度，再与此路段限速每小时千米比较，由此即可求解．
【解答】此车超速．
理由：，，
是等腰直角三角形．
米．
在中，，
．
米．
由勾股定理得米，
米．
汽车的速度（米/秒）千米/小时千米/小时．
答：此车超速．
22．（1）见解析；（2）8；（3）t=秒或秒
【分析】（1）判断出△ADE≌△CDF得出AE=CF，即可得出结论；
（2）先求出AC=BC=8，进而判断出AE=CF=AC=8，即可得出结论；
（3）先判断出△ACE和△ACF的边AE和CF上的高相等，进而判断出AE=2CF，再分两种情况，建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，

∵AG∥BC，
∴∠EAC=∠FCA，∠AED=∠CFD，
∵EF经过AC边的中点D，
∴AD=CD，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∵AE∥FC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）如图2，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=8，
∵四边形ACFE是菱形，
∴AE=CF=AC=BC=8，且点F在BC延长线上，
由运动知，AE=t，BF=2t，
∴CF=2t-8，t=8，
将t=8代入CF=2t-8中，得CF=8=AC=AE，符合题意，
即：t=8秒时，四边形ACFE是菱形，
故答案为8；
（3）设平行线AG与BC的距离为h，
∴△ACE边AE上的高为h，△ACF的边CF上的高为h，
∵△ACE的面积是△ACF的面积的2倍，
∴AE=2CF，
当点F在线段BC上时（0＜t＜4），CF=8-2t，AE=t，
∴t=2（8-2t），
∴t=；
当点F在BC的延长线上时（t＞4），CF=2t-8，AE=t，
∴t=2（2t-8），
∴t=，
即：t=秒或秒时，△ACE的面积是△ACF的面积的2倍，
【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
23．（1）证明见解析；
（2），理由见解析；
（3）
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）连接，由点与点关于直线对称，可得，，四边形是正方形，证明，可得到，由此可证得；
（2）连接，由点与点关于直线对称，可得，，四边形是正方形，证明，可得到，由此可证得；
（3）连接，，类比前两问，由点与点关于直线对称，可得，，再证，可得到，由此可证得．
【解答】（1）如图，连接．
点与点关于直线对称，
，．
四边形是正方形，
，．
又，

．
．
，即．
（2）．理由如下：
如图，连接．
点与点关于直线对称，
，．
四边形是正方形，
，．
又，
．
，
．
，即．
（3），如图所示．
连接，，
点与点关于直线对称，
，．
四边形是正方形，
，．
又，
．
，
．
，即．