2023-2024学年江苏省南通市海门中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海门中学高一（下）期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. 7B. 6C. 5D. 3
2.已知复数a−i1+2i是纯虚数，则实数a=( )
A. −1B. 35C. 2D. −2
3.已知cs2α=−12，则sin2α=( )
A. 14B. 12C. 34D. 32
4.在△ABC中，若A=30∘,B=45∘,BC=2 3，则AC=( )
A. 2B. 3C. 6D. 2 6
5.如图，在矩形ABCD中，M是CD的中点，则( )
A. AC=32AM−12BM
B. AC=32AM−BM
C. AC=AM−32BM
D. AC=12AM+12BM
6.设△ABC的面积为S，若AB⋅AC=2S，则角A=( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
7.若tan2α=43，则4cs2α−3sin2α1−cs2α=( )
A. −12B. 2C. −2或12D. −12或2
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c−b=2bcsA，则ca−b的取值范围是( )
A. (−1,2)B. (32,2)C. (32,3)D. (2,3)
9.下列说法正确的是( )
A. z⋅z−=|z|2，z∈C
B. i2024=−1
C. 若|z|=1，z∈C，则|z−2|的最小值为1
D. 若−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，则p=8
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A. 若bcsC+ccsB=b，则△ABC是等腰三角形
B. 若a=2，b=3，A=30∘，则符合条件的△ABC有两个
C. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
D. 若sin2B+sin2C=sin2A，则△ABC为直角三角形
11.如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴，e1,e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ斜坐标系，若OM=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OM的斜坐标，记为OM=(x,y)在θ=π3的斜坐标系中，a=(−1,1),b=(1,1)，则下列结论正确的是( )
A. a−b=(−2,0)B. |a|=2 2
C. a⊥bD. a−b与b的夹角为5π6
12.已知向量a=(0,−3)，b=(1,m)，若向量b在向量a上的投影向量为−12a，则m=______.
13.已知2sinβ−csβ+2=0，sinα=2sin(α+β)，则tan(α+β)=______.
14.已知△ABC的外接圆半径为1，则AB⋅AC的最小值是______.
15.已知角α和β满足csα+csβ=−49.
(1)若β=2α，求csα的值；
(2)若β=α+π2，求sin2α的值.
16.如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=10，∠BAC=60∘，M，N分别为BC，AC边上的中点，AM，BN相交于点P.
(1)求BC；
(2)求cs∠MPN的值.
17.已知函数f(x)= 3cs(π2−2x)−2cs2x+1.
(1)若α∈(0,π),f(α2)=1，求α的值；
(2)若β∈(π2,π),f(β)=−12，求cs(β+π6)的值.
18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB+C2=asinB.
(1)求角A；
(2)若D为AB的中点，且4CD= 7AB，求cs∠ACB.
19.在凸四边形ABCD中，DC=2AD.
(1)若A，B，C，D四点共圆，∠ADC=2π3,AC= 7,AB=BC+AD，求四边形ABCD的面积；
(2)若DA⊥AB,∠ADC=∠BCD,∠BDC=π6，求BCAD的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
根据条件进行数量积的运算即可求出(a−b)2=3，从而得出|a−b|= 3.
【解答】
解：∵|a|=|b|=1,=2π3，
∴(a−b)2=a2−2a⋅b+b2=1−2×1×1×(−12)+1=3，
∴|a−b|= 3.
故选：D.
2.【答案】C
【解析】解：∵a−i1+2i=(a−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=a−2−(2a+1)i5是纯虚数，
则a−2=0且2a+1≠0，
故实数a=2.
故选：C.
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为cs2α=−12=1−2sin2α，
所以sin2α=34.
故选：C.
利用二倍角公式即可求解．
本题主要考查了二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为在△ABC中，若A=30∘,B=45∘,BC=2 3，
所以由正弦定理BCsinA=ACsinB，可得2 312=AC 22，
解得AC=2 6.
故选：D.
由已知利用正弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由图可知：AC=AM+MC=AM+12AB=AM+12(AM+MB)=32AM−12BM.
故选：A.
平面向量的线性运算，利用加减法运算以及数乘运算即可得到结果．
本题考查平面向量的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由2S=AB⋅AC，得bcsinA=bccsA，
因为csA≠0，所以tanA=1，
因为A∈(0,π)，所以A=π4.
故选：B.
运用三角形面积公式及向量的数量积，得到tanA=1，从而求出A.
本题考查了三角形的面积公式和平面向量的数量积公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为tan2α=43=2tanα1−tan2α，整理可得2tan2α+3tanα−2=0，
解得tanα=−2或12，
则4cs2α−3sin2α1−cs2α=4cs2α−6sinαcsα2sin2α=4−6tanα2tan2α=2.
故选：B.
利用二倍角的正切公式化简已知等式可得2tan2α+3tanα−2=0，解得tanα的值，进而利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为c−b=2bcsA，则由正弦定理得sinC−sinB=2sinBcsA，
又sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
所以sinAcsB+csAsinB−sinB=2sinBcsA，
则sinB=sinAcsB−sinBcsA=sin(A−B)，
所以B=A−B，即A=2B，则C=π−A−B=π−3B，
所以0