2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高二（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高二（下）期中数学试卷，共11页。
3.已知数列{an}(n≥1,n∈N)的通项公式是an= 3n+1，则2 7是该数列中的第______项.
4.已知{an}为等比数列，且8a2+a5=0，则{an}的公比为______.
5.设函数f(x)=csx，则f′(−π4)=______.
6.等比数列{an}的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为______.
7.若{a,b,c}⊂{−3,−2,−1,0,1,2,3,4}，则符合条件的二次函数y=ax2+bx+c的解析式有______个.
8.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=__________.
9.已知双曲线x2a2−y22=1，其双曲线的右焦点与抛物线y2=4 3x的焦点重合，则该双曲线的方程为______.
10.记数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn(n为正整数)，则数列{an}的通项公式为______.
11.将数列{(12)n−1}(n≥1,n∈N)分组为：(1)，(12,14)，(18,116,132)，(164,1128,1256,1512)，……，则第k(k≥1,k∈N)组中的第一个数是______.
12.已知函数f(x)=xex+e−e2,x≤0− 1+x2,x>0，点M、N是函数y=f(x)图象上不同的两个点，设O为坐标原点，则tan∠MON的取值范围是______.
13.已知−4，a1，a2，−1四个实数成等差数列，4，b1，1三个正实数成等比数列，则a2−a1b1=( )
A. 12B. −12C. ±12D. ±2
14.“G= ab”是“G是a、b的等比中项”的条件( )
A. 既不充分也不必要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 充要
15.函数f(x)=−xex(a0时，f(x)=y=− 1+x2，即y2−x2=1(x>0,y0的图象如图，
设过原点且与函数f(x)(x≤0)的图象相切的直线的方程为y=kx，设切点为(x0,x0ex0+e−e2)，
所以切线方程为y=1−x0ex0+e(x−x0)+x0ex0+e−e2，
将原点坐标代入切线方程可得，x02−x0ex0+e+x0ex0+e−e2=0，即x02ex0+e−e2=0，
∴x02ex0+e=e2，
构造函数g(x)=x2e−x−e，其中x≤0，则g′(x)=(2x−x2)e−x−e≤0，
∴函数g(x)=x2e−x−e在(−∞,0]上单调递减，且g(−e)=e2，
得x0=−e，则k=1+ee0=1+e，
而函数f(x)=− 1+x2(x>0)的渐近线方程为y=−x，
设直线y=(1+e)x到直线y=−x的角为θ，则tanθ=−1−(1+e)1−1−e=2+ee，
结合图形可知，tan∠MON∈(0,2+ee).
故答案为：(0,2+ee).
作出函数f(x)的图形，求出过点过原点且与函数f(x)=xex+e−e2(x≤0)的图象相切的直线的方程，以及函数f(x)=− 1+x2，x>0的渐近线方程，利用到角公式可得tan∠MON的取值范围．
本题主要考查分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】A
【解析】解：∵−4，a1，a2，−1成等差数列，
∴−1=−4+3d，得d=1，即a2−a1=1；
又∵4，b1，1三个正实数成等比数列，
∴b12=4×1=4，即b1=2.
∴a2−a1b1=12.
故选：A.
由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a2−a1与b1的值，则答案可求．
本题考查等差数列与等比数列的性质，是基础题．
14.【答案】A
【解析】解：①当a=b=G=0时，满足G= ab，但a，G，b不成等比数列，∴充分性不成立，
②当G是a、b的等比中项时，则G=± ab，∴必要性不成立，
∴G= ab是G是a、b的等比中项的既不充分也不必要条件，
故选：A.
利用举实例判断充分性，再利用等比中项的定义判断必要性即可．
本题考查了等比数列的判断，充要条件的判定，属于基础题．
15.【答案】C
【解析】解：∵f′(x)=−ex−xex(ex)2=−x−1ex，
f′(x)=−ex−xex(ex)2=x−1ex
∴当x3时f(x)为单调函数，利用单调性直接转化为k−csx≤k2−cs2x恒成立，分离参数求解即可．
本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．x
(−∞,a3)
a3
(a3,a)
a
(a,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
x
(−∞,a)
a
(a,a3)
a3
(a3,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-