海南省海南中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共19小题，满分150分，考试时间为120分钟.
注意事项:
1.答卷前.考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上.
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时.将答案写在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题;共58分)
一、单选题:本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2. 设向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 在中，若，则A=（ ）
A. B. C. D.
5. 已知、是两个不共线的向量，且向量，则（ ）
A 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
6. 在锐角中，角所对的边分别为，若，则下列四个结论中正确的是（ ）
A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的最小值为
7. 如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（）
A. 四点共面B.
C. 三线共点D.
8. 已知向量满足，，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求的.全部选对的得6分.都分选对的得都分分.有选错的得0分
9 如果一个矩形垂直于投影面，平行投影线不垂直于投影面，则（ ）
A. 直角的投影可能是锐角，直角，钝角
B. 矩形的投影面积小于矩形的面积
C. 平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且相等
D. 垂直于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且相等
10. 已知平面向量 ，则下列说法正确的是 （ ）
A. 向量 与的夹角为 B.
C. D. 向量 在上投影向量为
11. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，，且有两解，则b的取值范围是
D. 若，的平分线交于点D，，则的最小值为9
第Ⅱ卷（非选择题，共92分)
三、填空题:本题共3小题.每小题5分.共15分.
12. 实系数一元二次方程一根为（其中为虚数单位），则______.
13. 如图，在矩形中，，，是的中点，那么=__________．
14. 圆锥SAB的底面半径为，母线长为的中点，一个动点自底面圆周上的点绕圆锥侧面移动到，则这点移动的最短距离是__________.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正中，分别是上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且交于点P．
（1）用元表示；
（2）求证：．
16. 在中，已知．
（1）求边；
（2）若为上一点，且，求的面积．
17. 已知与所在平面相交,并且交于一点.
（1）求证：与在同一个平面内;
（2）若,求证:共线.
18. 如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向.

（1）求点D到塔底B的距离；
（2）若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高.
19. 《九章算术·商功》:“斜解立方，得两堑(qiàn)堵(dǔ).斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖(biē)臑(nà).阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注:“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云·中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.
（1）在下左图中画出阳马和鳖臑(不写过程，并用字母表示出来)，求阳马和鳖臑的体积比;
（2）若:
①在右图中，求三棱锥的高.
②求三棱锥外接球的表面积.