江苏省海安高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 已知函数在处的导数为3，则（ ）
A. 3B. C. 6D.
2. 10000的除去1和自己外的正因数的个数是（ ）
A. 25B. 24C. 23D. 16
3. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
4. 已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A. 3B. C. 7D.
5. 在的展开式中的系数为（ ）
A. 160B. 240C. 360D. 800
6. 已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ）
A. B. 1C. 2D.
7. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）

A. B. C. 4D. 2
8. 有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（ ）
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知分别为随机事件的对立事件，，则（ ）
A.
B
C. 若互斥，则
D. 若，则独立
10. 已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 无论M，N在何位置，为异面直线B. 若M是棱中点，则点P的轨迹长度为
C. M，N存在唯一的位置，使平面D. AP与平面所成角的正弦最大值为
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为____．
13. 已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则__________.
14. 甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率为__________.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球.
（1）将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数；
（2）从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数；
（3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数.
16 已知函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（2）求证：函数在上有且只有一个极值点．
17. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
18. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M是线段EF的中点．
（1）求证：平面BDE，并求直线AM和平面BDE的距离；
（2）求二面角的大小；
（3）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°．
19. 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
（1）该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；
（2）该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；
（3）现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值.
参考数据：.9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
998
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95