安徽省皖北五校联盟2024届高三第二次联考数学试卷

这是一份安徽省皖北五校联盟2024届高三第二次联考数学试卷，共14页。试卷主要包含了答題前､考生务必用直径0，“”是“直线与直线平行”的，已知实数满足，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。

命题学校：蒙城一中 考试时间：2024年5月10日
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答題前､考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答題卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
2.已知为复数且（为虚数单位），则共轭复数的虚部为（ ）
A.2 B. C.-2 D.
3.已知等差数列的公差，且成等比数列，则（ ）
A.2 B.4 C.5 D.6
4.“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.在锐角中，角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
6.甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在，四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ）
A.96种 B.132种 C.168种 D.204种
7.已知不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.一组数据是公差为-2的等差数列，若去掉首末两项，则（ ）
A.平均数变大 B.中位数没变
C.方差变小 D.极差没变
10.已知的内角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A.若，则一定是等腰三角形
B.若，则一定是等边三角形
C.若，则一定是等腰三角形
D.若，则一定是钝角三角形
11.已知正四面体的棱长为3，下列说法正确的是（ ）
A.平面与平面夹角的余弦值为
B.若点满足，则的最小值为
C.在正四面体内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为
D.点在内，且，则点轨迹的长度为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若为一组从小到大排列的数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是__________.
13.已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线相切于点，连接，在中，设，则的值为__________.
14.对于函数，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为求__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数.曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求在上的最大值和最小值.
16.（15分）
如图.在平行四边形中，，四边形为正方形，且平面平面.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的正弦值.
17.（15分）
现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验.将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验.首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为.
（1）求首次检验抽到合格产品的概率；
（2）在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；
（3）将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；
方案二，从另外一个箱子中抽取.比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.
18.（17分）
设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合.交圆于两点，过作的平行线交于点.
（1）设动点的轨迹为曲线，求曲线的方程.
（2）曲线与轴交于.点在点的右侧.直线交曲线于点两点不过点，直线与直线的斜率分别是且，直线和直线交于点.
①探究直线是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；
②证明：为定值，并求出该定值.
19.（17分）
在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数（质数）.历史上研究索数在自然数中分布规律的公式有“费马数”；还有“欧拉质数多项式”：.但经后人研究，这两个公式也有局限性.现有一项利用索数的数据加密技术—DZB数据加密协议：将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数，比如分数的分子分母分别乘以同一个素数19，就会得到加密数据.这个过程叫加密，逆过程叫解密.
（1）数列中经DZB数据加密协议加密后依次变为.求经解密还原的数据的数值.
（2）依据的数值写出数列的通项公式（不用严格证明但要检验符合）.并求数列前项的和.
（3）为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数是方程的两个根是的导数.设.证明：对任意的正整数，都有.（本小题数列不同于第（1）（2）小题）
颍上一中 蒙城一中 淮南一中 怀远一中 涡阳一中
2024届高三第二次五校联考·数学
参考答案､提示及评分细则
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.B 根据集合的运算性质.选B.
2.C 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数.即可得到其共轭复数.从而得到其虚部
【诡利】因为.所以.所以.则共轭复数的虚部为-2.
故选C.
3.A 【分析】根据等差数列和等比数列的知识列方程.化简求得正确答案.
【诈解】依题意，是等差数列.且成等比数列.所以.由于.所以.
故选A.
4.D 当时.两直线重合，故选D.
5.B 【详解】.所以，则.即.由正弦定理.
故选B.
6.C 根据排列.组合公式本题答案选C.
7.A 【分析】分离参数转化为，构造函数.利用导数法求出即为所求.
【详解】不等式有解，即，只需要，令.令..所以函数在上并调递增，又，所以存在..使得.即.印0.即.所以函数价上单调递堿.在上单调递增，，又由.可得.故选A.
8.B 【解析】将实数满足通过讨论得到其图像足椭圆､双曲线的一部分组成的图形.借助图像分析可得的取值就是图像上一点到直线距离范围的2倍.求出切
线方程根据平行直线距离公式算出最小值，利最大值的极限值即可得出答案.
【详解】因为实数满足.
所以当时.其图像位于焦点在：轴上的作圆第一象限.
当时.其图像位于焦点在轴上们双曲线第四象限.
当时.其图像位于焦点在轴上的双曲线第二象限，
当时.其图像不存在.
作出圆锥曲线和双曲线的图像如下，其中图像如下：
任意一点到直线的距离
所以
结合图像可得的范围就是图像上一点到直线距离范围的2倍.
双曲线其中一条渐近线与直线平行
通过图形可得当曲线上一点位于时.取得最小值
当直线上一点靠近双曲线的渐近线时取得最大值.不能取等号
设与其图像在第一象限相切于点
由
因为或（舍去）
所以直线与直线的距离为
此时
直线与直线的距离为
此时
所以的取值范围是
故选B.
二､多选题：木题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中.存多项符合题目要求.
9.BC 本题选BC.
10.BCD 是等腰或直角三角形.故A错，答案是.BCD
11.ABC 【分析】对于A，建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量.结合法向量夹角余弦公式即可验算：对于B，可得.故只需求出O到而的距离验算御可；对于.用人正四面体内切球半径与小四面体外接球半径（含参）比较大小.得出参数（体积）范围即可判断：对于D.用几何法得出点Q的轨迹不是一个完整的圆即可判断.
【详解】将正四面体补全为正方体.并如图建系.
，
.
设面的一个法向量，面的一个法向量
，
所以，取，解得.
所以面的一个法向量.面的一个法向量.
设平面与平面夹角为时.A对.
.
则共面，正四面体棱长为3.
则正方体棱长为.
所以，B对.
大正四面体内切球半径，
小正四面体棱长为.此外接球半径.
对.
分别在上取使，延长至使，
.取的中点作以为球心，
为半径的球面上，且在内，作在平面上的射影.
为图中.显然不是一个完整的圆.
的轨迹长度不为错.
故选ABC.
三､填空题：本题共3小题.每小题5分.共15分.
12.7 .常数项为展开式第3项.答案：7
13. 根据抛物线性质
14.-3 当函数恰有两个㲆点时.切点的横坐标恰为.当函数恰有四个零点时，切点的横坐标恰为.求得.以及.故本题答案为-3.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）依题意可知点为切点.代入切线方程可得.
.即，
又由得，，
而由切线的斜率可知
，即.
由解得
（2）由（1）知，
.
令.得或.
当变化时.的变化情况如下表：
最大值为13，最小俏为.
16.（15分）
解：（1）在中.，由余弦定理得，
，即，
住，则.即.
因平面平面.平面平面平面.
于是得平面，又平面.
所以.
（2）因四边形为正方形.即由（1）知F两两垂直.
以点为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系.如图､
.
.设平面的一个法向量，
则令，得.
而.于是得点到平面的距离
.
所以点到平面的距离为.
（3）由（2）知，设平面的一个法向量，
则.令.得，
.设平面与平面夹角为.则有
，
所以平面与平面夾角的正弦值为.
17.（15分）
解：（1）设首次检验选到甲箱记为件：，选到乙箱记为事件，抽到合格品记为事件
则首次检验抽到合格品的概率
.
（2）在首次抽到合格品的条件下，等次抽到甲箱的概率
.
（3）由上一小问已知：在.首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率
则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率
若选择方案一.则在二次检验抽到合格品的概率
若选择方案二.则在二次检验抽到合格品的概䋇
由于
所以，选择方案一，住二次检验抽到合格品的概率更大.
18.（17分）
解：因为故.
所以，敌.
又圆的标准方程为.从而.所以.
由题设得.由椭圆定义可得点的轨迹方程为：：
.
（2）①设点.直线
联立方程得整理得.
，
，
所以，
即，
因为，所以.
化简整理可得.即，
所以直线过定点；
②解：设直线和直线的斜率为.
由椭圆第三定义得.又由①得，
所以.所以；
19.（17分）
（1）解：根据费马数
求得
（2）解：根据上：面的数据得数列的这项公式为
经检.验：的数㑂符合该公式.（如改卷时发现其他通项､检､检､符合也给分，不检､险不给分）
数列前项的和
（3）证明：
由依次可得（基本不等式取等条件不成立.）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
D
B
C
A
B
BC
BCD
ABC
-2
2
0
-
0
+
13
单调递减
单调递增
13