广东省湛江市霞山区2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题

这是一份广东省湛江市霞山区2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题，共10页。试卷主要包含了非选择题的作答，在数列中，已知，且，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡，上的指定位置。
2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，在复平面内z对应的点为Z，若，则点Z所在区域的面积为（ ）
A．15πB．6πC．3πD．2π
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，（ ）
A．B．2C．D．
5．若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．大学生甲、乙两名同学计划今年五·一假期期间分别从岳阳楼，承德避暑山庄，都江堰，长沙橘子洲头，苏州园林五个不同的景区随机选三个景点前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（ ）
A．36种B．48种C．60种D．72种
7．若双曲线的离心率为5，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．不确定
8．在数列中，已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数为72.5%
B．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%
C．讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
10．函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（ ）
A．
B．
C．的零点形成的集合为
D．的单调递减区间为
11．定义域为R的函数的导函数为，若是奇函数，，，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，，若，则______．
13．小明喜爱踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率为．若他下午去踢足球，则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为．已知小明在某个周末晚上去打羽毛球，则下午踢足球的概率为______．
14．已知侧棱长为l的正四棱锥的顶点都在直径为6的同一球面上，则该正四棱锥的体积的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围．
16．（本小题满分15分）
如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立．
（1）若，求A两局得分之和为5的概率；
（2）若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列．
18．（本小题满分17分）
已知抛物线C的方程为，直线与C交于A，B两点，且．
（1）求p；
（2）设C的焦点为F，直线与C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过F，当时，求点F到l距离的取值范围．
19．（本小题满分17分）
设等比数列：，c的公比为q，其中s，t都为正奇数，a，b，c构成单调递增的正项等差数列．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）把用a，c，s，t表示．
2023－2024学年度高二年级5月联考
数学参考答案及解析
一、选择题
1．A【解析】由题意．故选A．
2．A【解析】因为，所以点Z所在区域的面积为．故选A．
3．C【解析】．故选C．
4．B【解析】因为，所以设，，
由余弦定理得，，所以，所以．故选B．
5．A【解析】因为，所以是的充分不必要条件．故选A．
6．C【解析】两人恰好有两个景区相同的选法为．故选C．
7．C【解析】因为双曲线的离心率为，
所以，所以，，所以E的坐标为，C的渐近线斜率为2，
又，所以直线OE与双曲线的交点个数为2个．故选C．
8．D【解析】因为，，
因为，所以．所以，
所以，所以．故选D．
二、选择题
9．ABC【解析】讲座前中位数为，所以A正确；
讲座后问卷答题的正确率有4个85%，其余正确率的个数都小于4．所以讲座后问卷答题的正确率的众数为85%，所以B正确；
讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差，所以C正确；
讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为，所以D错误．故选ABC．
10．ABD【解析】由已知得，最小正周期，所以，所以A正确；
因为，所以，因为，且在单调递增区间内，所以，所以B正确；
令得，，所以，所以C错误；
当时，单调递减，
所以当时，单调递减，所以D正确，故选ABD．
11．BCD【解析】A．因为为奇函数且定义域为R，所以，所以A错误；
B．令，则，解得．所以B正确；
C．令得，，
即，所以C正确；
D．令得．，
因为，，所以，所以，
因为是奇函数，所以是偶函数，所以，
所以，所以，所以，所以D正确．故选BCD．
三、填空题
12．1【解析】因为，所以，所以．故答案为1．
13．【解析】设其周末晚间去打羽毛球的概率为，下午去踢足球的概率为，
则，，则，故答案为．
14．【解析】l的取值范围是，不妨设高为h，底面边长为a，
则，或，
所以，，
，故当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以．故答案为．
四、解答题
15．解：（1）定义域为R，，
令得或．
的单调增区间为和，减区间为．
（2）由（1）得，在，上单调递增，在上单调递减，
由题意得，，，，
故，
解得或，故实数a的取值范围为．
16．解：（1）因为，O为AB中点，所以，
因为D为的中点，所以，
因为在正三棱柱中，平面ABC，所以，
因为O为正三角形ABC的边AB的中点，所以，
因为，所以平面，所以，
因为，平面，平面，所以⊥平面．
（2）取的中点为连接，则，
所以平面ABC，因为，所以OB，OC，两两垂直，
以直线OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间坐标系，
所以，，．所以由（1）得，为平面的法向量．
，，
所以，，
设平面ABC的法向量为，
所以，不妨设．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17．解：（1）若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负，
所以A两局得分之和为5的概率为．
（2）因为在一局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2，
所以在一局比赛中B获胜、打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3．0.5，
若，则X的可能取值为0，3，6，9，12，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
18．解：（1）因为直线与C交于A，B两点，且，所以，所以．
（2）由已知得，，设，，
由可得，，
所以，，，
因为以MN为直径的圆经过F，所以，所以，
即，
所以
将，代入得，．
所以，且，解得或，
因为，所以，
设点F到直线MN的距离为d，
所以，
令，
所以．
19．解：（1）由题意知，又，可得，
所以，又是正偶数，所以．
（2）设等差数列a，b，c的公差为d，由题意得，，
又，，故，
可得，又，又，都为正偶数，
故，即，
又由（1）的结论得，，故有，即．
（3）设个数所构成的等比数列为，
则，，，
由，可得，
，
又，，由s，t都为正奇数，则q既可为正数，也可为负数．
若q为正数，则，插入的个数的乘积为；
若q为负数，中为负数，即共有个负数，
故，所插入的个数的乘积为，
所以当时，所插入个数的积为，
当时，所插入个数的积为．
综上所述，当q为正数时，为，
当q为负数时，为．
X
0
3
6
9
12
P
0.25
0.3
0.29
0.12
0.04