河南省商丘市2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题（A卷）

这是一份河南省商丘市2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题（A卷），共8页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，在中，角的对边分别为，若，则为，已知复数，则下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第4节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.化简（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则（ ）
A.B.C.D.
3.在中，，，，则（ ）
A.B.C.D.
4.（ ）
A.B.C.D.
5.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A.B.C.D.
6.在中，角的对边分别为，若，则为（ ）
A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形
7.若向量的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（ ）
A.B.C.D.
8.在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A.若为纯虚数，则
B.若为实数，则
C.若在复平面内对应的点在直线上，则
D.在复平面内对应的点可能在第三象限
10.关于平面向量，下列说法不正确的是
A.
B
C.若，且，则
D.
11.如图，已知正八边形的边长为1，是它的中心，是它边上任意一点，则（ ）
A.与不能构成一组基底B.
C.正在上的投影向量的模为D.的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，则__________.
13.已知，其中是实数，则__________.
14.已知平面内三点不共线，且点满足，则是的__________.心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
如图，已知在正四棱锥中，.
（1）求四棱锥的表面积；
（2）求四棱锥的体积.
16.（本小题满分15分）
已知复数，且为纯虚数.
（1）求复数；
（2）若，求复数及.
17.（本小题满分15分）
在中，角的对边分别为，已知，，.
（1）求和的值；
（2）求的面积.
18.（本小题满分17分）
已知单位向量满足.
（1）求的值；
（2）设与的夹角为，求的值.
19.（本小题满分17分）
已知函数
（1）证明：在上单调递减；
（2）求不等式的解集.
2023~2024学年度高一下学期期中联考试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1.B 由向量的减法故选B.
2.D 由，得.故选D.
3.C 由，，得，由正弦定理得，所以.故选C.
4.C .故选C.
5.A 因为，，所以在上的投影向量的坐标为.故选A.
6.B 由正弦定理得，可化为，所以，则，故为直角三角形.故选B.
7.A 两个向量的夹角是，是单位向量，，，，，
.设向量与的夹角为，，
则∴.故选A.
8.C 取中点，连接，在和上分别作点和点，使得，，过点和点分别作垂直平面和平面的直线交于点，易得点是该三棱锥外接球的球心.因为，所以，，在中，由余弦定理得，故，在Rt中，，，所以，在Rt中，，故外接球的半径，外接球的表面积.故选C.
9.AB 对于A，若为纯虚数，则解得，A正确；
对于B，若为实数，则，所以，此时，B正确；
对于C，在复平面内对应的点为，所以，即，解得或，C错误；
对于D，若在复平面内对应的点在第三象限，则无解，所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，D错误.故选AB.
10.CD 对于A，由向量的运算法则知正确，故A正确；
对于B，向量数量积满足分配律，故B正确；
对于C，向量数量积不满足消去律，故C错误；
对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，故D错误.故选CD.
11.AD 对于A，连接，，，，，，以所，在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
，，，
与平行，不能构成一组基底，故A正确；
对于B，，，，，，故B错误；
对于C，，，，在上的投影向量的模长为，故C错误；
对于D，取的中点，则，，，，两式相减得，当点与点或重合时，最大，最大值为，的最大值为，当点与点重合时，最小为0，的最小值为，的取值范围为，故D正确.故选AD.
12. 由，，可得.
13.0 由，得，所以，，解得，，所以
14.垂 因为，同理，，故为的垂心.
15.解：
（1）易知该四棱锥的侧面积为四个全等三角形的面积的和，
侧面三角形的高为，
所以四棱锥的表面积为.
（2）连接、，交于点，连接，则为棱锥的高，
所以，
，
故四棱锥的体积.
16.解：（1）由，所以，
又为纯虚数，所以，
解得，所以复数.
（2）由（1）知，所以，
故，.
17.解：（1）在中，由，可得.
又由及，，可得.
由余弦定理得，得，
因为，故解得.所以，.
（2）由（1）知，，.
所以的面积.
18.解：（1）由，得，
又，所以，解得，
所以.
（2）由（1）可知，，，
所以，
又，故.
19.（1）证明：任取，，且，
则，
因为，所以，，
则，所以，
即，故在上单调递减.
（2）解：易知的定义域为，因为，
所以为奇函数，又在上单调递减，且，
所以在上单调递减.
不等式转化为，
所以，则，
解得，故不等式的解集为.