陕西省安康市高新中学、安中分校2024届高三下学期第四次考试文科数学试题

这是一份陕西省安康市高新中学、安中分校2024届高三下学期第四次考试文科数学试题，共10页。试卷主要包含了“”是“为第一象限角”的，已知满足约束条件则的最小值是，在梯形中，为线段的中点，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．3B．C．4D．5
3．演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数：
若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的平均数为（ ）
A．9.075B．9.05C．9.025D．9
4．“”是“为第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知满足约束条件则的最小值是（ ）
A．－9B．－8C．－7D．－6
6．若一段河流的蓄水量为立方米，每天水流量为立方米，每天往这段河流排人立方米的污水，则天后河水的污染指数为初始值，．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排人污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是（参考数据：）（ ）
A．98B．105C．117D．130
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
8．在梯形中，为线段的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知等比数列的各项均为负数，记其前项和为，若，则（ ）
A．－8B．－16C．－32D．－48
10．已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（ ）
A．B．1C．－1D．
11．在正四棱柱中，已知为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（ ）
A．B．C．D．
12．设双曲线的左、右焦点分别为，过．且与圆相切的直线与的左支交于点，若，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知抛物线上的点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为______．
14．已知命题，若为假命题，则的取值范围是______
15．在中，角的对边分别为为线段延长线上一点，平分，且直线与直线相交于点，则______．
16．已知实数满足，则______
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步㩐．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
（12分）
17．近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下：
利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
（I）比较A，B两公司过去6个月平均每月利润率的大小；
（II）已知这6个月内没有发生某个月两公司同时亏损的情况，则从这6个月中任意抽取2个月，求这2个月两公司均盈利的概率．
18．（12分）
记数列的前项和为，已知且．
（I）证明：是等差数列；
（I）记'求数列的前2n项和T2n．
19．（12分）
如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点．
（I）证明： 平面；
（II）若，求点到平面的距离．
20．（12分）
已知椭圆的离心率为的上顶点和右顶点分别为，点的面积为2．
（I）求的方程；
（II）过点且斜率存在的直线与交于两点，过点且与直线平行的直线与直线的交点为，证明：直线过定点．
21．（12分）
已知函数．
（I）证明：当时，；
（II）求在区间上的零点个数．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．［选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（I）求的普通方程和的直角坐标方程；
（II）若曲线分别与曲线和交于点，其中，若，求．
23．［选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知均为正数，且．
（I）证明：；
（II）求的最小值．
文科数学（老教材版）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．D 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．2
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解析（I）A公司过去6个月平均每月的利润留为，
B公司过去6个月平均的月的利润率为，
因为，所以A公司过去6个月平均每月的利润榷大于公司过去6个月平均每月的利润率．
（II）由表中数据知，公司有1个月亏损，公司有2个月亏损，因为没有发生两公司同时亏损的情况，故这6个月中有3个月是阿公司均盈利．
将这6个月编号为1，2，3，4，5，6，不妨设1，2，3月A，B两公司均盈利，
从这6个月中任意抽取2个月，有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46．56，共15利情况，满足这2个月A，B两公司均盁利的情况有12，13，23，共3科情况，故所求概率为．
18．解析（I）当时，，则．
因为，所以当时，，
两式相减得，即，
因为，所以，即，
故是以1为首项，1为公美的等美数列．
（II）由（I）知，，所以
故
．
19．解析（I）如图，取的中点，连接．
因为都是所在棱的中点，所以，所以，
因为平面，所以平面．
因为分别是和的中点，所以，
所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，因为平面，所以平面，
因为，所以平面平面，所以平面．
（II）三棱锥的体积
，
，利用余弦定理可得，
因为，所以．
设点到平面的距离为，则，即，
解得，即点到平面的距离为．
20．解析（I）设的半焦距为，由题意知，所以．
因为的面积为2，所以，
又，解得，所以的方程为．
（II）设，直线．
由，得，
则，所以．
由，得，
令，解得，所以．
所以直线的方程为，
根据对称性，可知直线所过的定点在轴上，令，
可得
，
将代入，得，
所以，故直线过定点．
21．解析（I）设，则．
设，
则，
因为在上单调递增，所以，
又因为当时，，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调迸增，所以，所以当时，．
（II），当吋，，所以在上单调递增，因为，所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点．
当吋，令，则，
当时，有，所以在上单调递减，
又因为，所以存在使得，
当时，，所以在上单调递增，
所以当时，故在上无零点，
当时，，所以在上单调递减，
又，所以在上有且仅有一个零点．
综上所述：在上有且只有2个零点．
22．解析（I）由的参数方程消去参数，得的普通方程为．
由可得，
所以的直角坐标方程为，即．
（II））得的极坐标方程为，
即．由题意知，
因为，所以，得，
所以，得．
23．解析（I）因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以，故．
（II）由柯西不等式得，
当且仅当时上式等号成立，所以．
再由柯西不等式得，
当且仅当时上式等号成立，所以的最小值为27．
9.3
8.8
8.9
9.0
8.9
9.0
9.1
8.7
9.2
9.0
9.1
9.2
利润率
月数
公司
A公司
3
2
1
B公司
2
2
2