陕西省安康市高新中学、安中分校2024届高三下学期高考模拟理科数学试题

这是一份陕西省安康市高新中学、安中分校2024届高三下学期高考模拟理科数学试题，共11页。试卷主要包含了已知复数和满足，则，在梯形中，，为线段的中点，，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数：
若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的平均数为（ ）
A．9B．9.025C．9.05D．9.075
3．“”是“为第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知复数和满足，则（ ）
A．1B．C．D．2
5．若一段河流的蓄水量为立方米，每天水流量为立方米，每天往这段河流排入立方米的污水，则天后河水的污染指数为初始值，．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排入污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是（ ）（参考数据：）
A．98B．105C．117D．130
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
7．在梯形中，，为线段的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知等比数列的各项均为负数，记其前项和为，若，则（ ）
A．－8B．－16C．－32D．－48
9．已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（ ）
A．B．1C．－1D．
10．在正四棱柱中，已知，为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（ ）
A．B．C．D．
11．若，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知抛物线上的点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为______．
14．已知命题，若为假命题，则的取值范围是______．
15．在中，角，，的对边分别为为线段延长线上一点，平分，且直线与直线相交于点，则______．
16．已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，，，且，则下列结论正确的是______．（填所有正确结论的序号）
①；②；③；④．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下：
利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
（Ⅰ）比较A，B两公司过去6个月平均每月利润率的大小；
（Ⅱ）用频率估计概率，且假设A，B两公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月A，B两公司至少有一家盈利的概率．
18．（12分）
记数列的前项和为，已知且．
（Ⅰ）证明：是等差数列；
（Ⅱ）记求数列的前项和．
19．（12分）
如图，在三棱柱中，为底面的重心，点，分别在棱，上，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若底面，且三棱柱的各棱长均相等，求平面与平面的夹角的余弦值．
20．（12分）
已知椭圆的离心率为，的上顶点和右顶点分别为，，点，的面积为2．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）过点且斜率存在的直线与交于，两点，过点且与直线平行的直线与直线的交点为，证明：直线过定点．
21．（12分）
已知函数的定义域为，其导函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；
（Ⅱ）若，满足，且，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线分别与曲线和交于点，，其中，若，求．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知，，均为正数，且．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的最小值．
理科数学（老教材版）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．D2．B3．B4．A
5．C6．C7．A8．B
9．A10．D11．C12．D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．15．
16．②③（填错或漏填均不给分）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解析（Ⅰ）A公司过去6个月平均每月的利润率为，
B公司过去6个月平均每月的利润率为，
因为，
所以公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率．
（Ⅱ）A公司过去6个月盈利的频率为，
B公司过去6个月盈利的频率为，
用频率代替概率，可知A，B两公司未来某个月盈利的概率分別为．
设两公司盈利分别为事件，，由题知与相互独立，
所以所求概率为．
18．解析（Ⅰ）当时，，则．
因为，所以当时，，
两式相减得，即，
因为，所以，即，
故是以1为首项，1为公差的等差数列。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以
故
．
19．解析（Ⅰ）如图，连接并延长，交于，延长线段，交于，连接．
因为为底面的重心，所以，
又，
所以，所以，所以．
因为，所以，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）取的中点为，连接．
因为底而，且三棱柱的各棱长均相等，
所以直线两两互相垂直．
以为坐标原点，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设三棱柱的棱长为6，则，
所以．
设平面的法向量为，
则即可取．
易知平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
20．解析（Ⅰ）设的半焦距为，由题意知，所以．
因为的面积为2，所以，
又，解得，
所以的方程为．
（Ⅱ）设，直线．
由得，
则，所以．
由，得，
令，解得，所以．
所以直线的方程为，
根据对称性，可知直线所过的定点在轴上，令，
可得
，
将代入，得，
所以，
故直线过定点．
21．解析（Ⅰ）因为，
所以（c为常数）．
因为，所以，
所以．
又，
所以曲线在点处的切线的方程为，即，
所以经过定点．
（Ⅱ）令，可得．
因为，满足，且，
所以关于的方程有两个不相等的正实数根，
则，故．
，
令函数，
则，
令，得，
因为当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当时，，
所以的取值范围为，即的取值范围为．
22．解析（Ⅰ）由的参数方程消去参数，
得的普通方程为．
由可得，
所以的直角坐标方程为，即．
（Ⅱ）由得的极坐标方程为，
即．
由题意知，
因为，所以，
得，所以，得．
23．解析（Ⅰ）因为，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
故．
（Ⅱ）由柯西不等式得，
当且仅当时上式等号成立，所以．
再由柯西不等式得，
当且仅当时上式等号成立，
所以的最小值为27．9.3
8.8
8.9
9.0
8.9
9.0
9.1
8.7
9.2
9.0
9.1
9.2
利润率
月数
公司
10%
5%
－5%
A公司
3
2
1
B公司
2
2
2